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	TH�ORIE COMPL�TE

							DES

NOMBBES COMPLEXES

		DANS LES DIVERSES FONCTIONS

				SUIVIE D'UN COMPL�MENT

						PAR

			G. C. LOUWENRIER.

					ZALT-BOMMEL, H. J. VAN DE GARDE. 1872.

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		imprimerie de H. C. A. Thieme, � Nim�gue.

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		AVANT-MO T.

			Die Berechtigung einer neuen Theorie wird gepr�ft an ihrer Einfachheit, an ihrer Uebereinstimmung mit fr�her bekannt ge- wordenen Wahrheiten, an ihrer Umfass- lichkeit und Fruchtbarkeit. Dr. Durdik.

Bien des choses jug�es d'un certain point de vue sont tax�es �tre imaginaires , impossibles, vides de sens, etc. Oes choses regard�es d'un autre point de vue peuvent perdre ces qualifications et se montrer toutes r�elles. La Th�orie des nombres complexes et le compl�ment renferment des principes pour prouver cette v�rit�.

	Z-B.
	Z-B.			G. C. L.
				G. C. L.

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			TABLEDES MATI�RES.

		Pag. § 1. Nombres; absolus, complexes...... 1. » 2. Distinction des directions en directes et en indirectes. Signes pour la direction....... 2. » 3. Les r�ductions des nombres complexes ... 3. » 4. Les racines des Facteurs de la direction ... 4. » 5. La signification et la valeur des Fact. de la direction. 5. �> 6. Les r�gles des Fact. de la direction .... 6. » 7. La direct, indirecte dans l'extraction des racines . 8. » 8. Direction conjugu�e et oppos�e..... 12. » 9. Nombres; abstraits et concrets ..... 13. » 10. Autre mani�re de d�terminer la signification et la valeur des nombres imag....... 14. » 11. L'�quation a?' =z ± 1....... 16. » 12. La valeur des formes complexes..... 17. » 13. Suite. xⁿ = zh 1........ 19. » 14. Objection. xⁿ = ± 1....... 20. » 15. Les nombres complexes dans les Fonctions expon., goniom. et cyclom. . . . '..... 22. » 16. Les exposants......... 23. » 17. Suite........... 25. » 18. Remarque.......... 27. » 19. Les Exposants......... 30. y> 20. Les nombres imag. et les formes complexes dans les Fonct. goniom. et les cyclom�trique? . . . 32. » 21. ]/�i.y dans les Fonct. goniom..... 35. » 22. Les formes complexes dans les Fonct. cyclom. . . 35.

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		VI TABUS DES MA.TIEBES. Pag. Application de la Th�orie . . . 37. § 23. R�duction de toutes les Formes complexes . . 37. » 24. Sommes, Diff�rences....... 39. » 25. Produits.......... 39. » 26. Th�or�me de moivre. Exemples..... 40. » 27. Quotients, Remarque....... 42. » 28. Puissances.......... 43. » 29. Racines........... 43. » 30. Conclusion.......... 45. » 31, 32, 33, 34. Logarithmes...... 46. » 35. Application de la Th�orie...... 53. a 36. Opinions de Bernoulli, Leibnitz, d'Alembert, Euler 56. » 37. Conclusion.......... 58. Compl�ment. Sur le compl�ment . . . . . . . . 63. Dr. Riecke, die Rechn. mit Richtungszahlen . . 64. Formule de Montuela........ 65. R�ductions , Exemples........ 68. Comparaison de la Th�orie........ 69. Dr. Oscar Schl�milch, Algebr. Analysis .... 73. Th�or�me de C�tes........ 79. Remarques . ........ 84. Dr. Lobatto , Lessen Hoogere Algebra .... 90. Les quant, pos. et n�g. ; d�termination de la signification et de la valeur.......... 93. Les polyn�mes....... . . . 100. Duhamel, des M�thodes dans les sciences de raisonnement 102. Les op�rations avec les nombres pos. et les n�g. . 116. Le sens concret dans ces op�rations..... 122. Duhamel, sur le m�me sujet....... 126. Dr. 0. Hesse, die vier Species . . . . . .129. Les quantit�s imaginaires........ 129. Duhamel, �quation du second degr� opinion sur ce sujet 131. Duhamel, des Fonct. transcendantes de quant, imag. . 135. _eV-i.« ₌ �y-¹-* = i\x....... 140.

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		TABLE DES MATIERES. Vli Pag. Sur la g�n�ralisation . ....... 142. Duhamel, III, page 396 etc. Exponentielles et Log. imaginaires...... 144. Expressions des Sinus et Cosinus au moyen d'Exponentielles 151. La signification concr�te des quantit�s imag. et des For- mes complexes.......... 152.

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ERRATA.

Planche. � Th. c. d. n. concr�tes , lisez complexes.
Page 8, ligne 7, lisez |Ka³�(jr.f) = a\/a .{�]/�) =
» 15, » 8 en remontant, lisez a;² = -flj/�1 = 1/�1.

» 16, » 12 » » lisez l/+l,jK-H,#H-l, etc.

» 26, >) 8 » » Remarque. Sur cette page et

dans la suite se trouve que ±y dans l'exposant y/�l.y mar-
que le nombre des degr�s ; le nombre y indiquant la grandeur
de l'arc de la direction, exprime le plus souvent cette grandeur
en unit�s du rayon.
Page 36, ligne 9 , 0° lisez 0.


	»	37,
	»	66,
	»	97,
	»	121,

2 en remontant j/� 6, lisez ■$/� b.
12 » » lisez encore : ou i\\ �

(cos 1 ~f- V� 1 sin 1).
12 » » � <0, lisez < 0.

+ 12
4, Sign. + ¹² , lisez Sign. -� = -f- 3.

.� , , �an �an

125, » 14, ------ =4- a, » ------ = � a.

' +n + n

135, » 3, racine absolu, » racine absolue.

141, » 18, a+I^-'-T, » a» + K'-^tJr.

152, » 7 en remontant Bb� \/�1 , lisez:

Bb � y� 1. a sin <p.

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		§ 1. �Vombres ; absolus, complexes. Les nombres indiquent les quantit�s, et comme tels ils marquent le rapport � l'unit�. Dans l'Arithm�tique ils ne sont employ�s que pour mar- quer cette relation , soit � l'unit� abstraite , soit � l'unit� concr�te. Dans les autres parties des Math�matiques les nombres ne marquent pas simplement cette relation � l'unit� ; � l'aide de signes ils marquent encore d'autres relations , auxquelles on peut donner en g�n�ral le nom de position, de situation, de direction. Les situations, les directions les plus connues sont celles de positive et de n�gative ; la situation n�gative comme toutes les autres se rapportent � la position positive , qui sert de base � toutes les autres et par laquelle la signi- fication de toutes les autres est d�termin�e. Dans ce qui suit les nombres seront divis�s en nombres absolus et en nombres complexes. Les nombres absolus indiquent simplement la quantit� ; les nombres complexes marquent non seulement la quan- tit� , mais encore la situation, la direction. Le nom de direction est employ�, pour marquer la situation , la position , o� une grandeur se trouve comme l'indice de ses relations. 1

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Fia.C.

lig.2.

J'6

A's

Fig. 11

JigJL

�iy. iO.


	Fia. �	t		c
D			B		?
d		0^\ l	^C

Iheorit complete cks jiom.br'e's Concrets etc.- (r.CZ/.

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		Et comme les nombres repr�sentent des grandeurs , la direction dans les nombres impliquera pour les grandeurs les id�es d�riv�es de la direction comme signe des relations. La suite rendra plus clair, ce qu'il y aura d'obscur dans cette d�finition. Fig. 1. Soit O l'origine; OA une grandeur dans la direction fondamentale, positive ; on peut se figurer que la grandeur OA passe de cette position dans celle de OA' � l'aide d'une rotation de 180°, l'origine 0 restant fixe, tandis que le point A d�crit l'arc de 180°. De la m�me mani�re les autres directions peuvent �tre d�termin�es , � l'aide des arcs d�crits par la ligne sur le centre 0. Les nombres complexes renferment les deux facteurs pour indiquer ces diff�rents rapports : � a� � l.a; \/� a² = \/~ 1- l/«² = V � 1- «. signifiant : � a contient a unit�s , dont chacune se trouve dans la direction marqu�e par �1.; j/�1. a renferme a unit�s , chacune dans la direction \/ � i. § 2. Distinction des directions en directes et in- directes. Signes pour la direction. Il est n�cessaire d'observer d�j� ici, que les directions se divisent en directes ou donn�es et en indirectes ou possibles. On entend par direction directe, la direction indiqu�e directement par le facteur directif ; par direction indirecte, possible ou imaginaire, celle , non donn�e directement, mais implicitement ; elle comprend outre la direction directe, marqu�e par le facteur directif, les rotations compl�tes ou de 360, que la grandeur a faites outre celle indiqu�e par la direction directe. Pour indiquer ce qui pr�c�de , on doit savoir que dans

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		la suite pour marquer les directions dans les nombres complexes , on se servira du signe (f) suivi de l'arc ou des degr�s qui indiquent la rotation , ainsi -f- a � -f- 1. a sera = \|0°. a � a \|0°. � a=�i.a » = \|180°. a � a fw , et ce sera la signification de la direction directe; la direc- tion indirecte impliquera encore les rotations possibles , et signifiera par cons�quent : Outre:-!-a = -f i.a � a\|0° encore a\|27r, a^iv, af�mr. � a = �i.a = a\7T » a^Sn, afoy, a\|(2n + l)7T. etc. etc. § 3. lies r�ductions des nombres complexes. lies op�rations par rapport aux Facteurs de la direction. Dans les math�matiques on applique aux nombres complexes les diff�rentes op�rations, par lesquelles non seulement les nombres absolus, renferm�s dans les nombres complexes subissent des r�ductions , mais aussi les signes , qui mar- quent les autres relations pr�sentent � la suite de ces op�rations des transformations particuli�res. Les op�rations principales , (l'addition , la soustraction , la multiplication, la division comme aussi l'�l�vation aux diff�rentes puissances) n'ont pas introduit d'autres directions, marquant la relation ; � les nombres ne restaient que positifs ou n�gatifs. Ce n'est que par l'extraction des racines que les facteurs de direction sont augment�s, ce qui a produit une esp�ce particuli�re de nombres , nomm�s imaginaires, impossibles etc. ; par la combinaison de ces nombres et les r�els on obtint les formes complexes , ± «zh V� 1. b. La racine d'un nombre absolu est un nombre absolu, rationnel ou irrationnel ; et dans ce cas chaque nombre ri a qu'une seule racine pour l'extraction de chaque degr�.

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		4 § 4. L'extraction des racines des Facteurs de la direction. � Dans les math�matiques se pr�sentaient les cas, que la racine �tait demand�e d'un nombre dans la position positive ou n�gative. par ex. ^y± a" = p^y± 1 -(ya". j?"a" = a; niais quel est le sens qu'on doit attacher � la demande: la racine d'une situation, d'une position, d'une direction ? Peut-�tre on ne s'est pas fait cette question, parce qu'on n'aura pas fait attention aux diff�rents �l�ments , compris dans les nombres complexes. Dans certains cas il paraissait qu'il n'y avait pas de difficult� � d�terminer les racines , on avait par ex. jK± a³ = ±a; ]y± a⁵ = ± a. en g�n�ral les racines d'un degr� impair de nombres posi- tifs ou n�gatifs donnaient un nombre positif ou n�gatif. Ainsi. ²�+l ±: a^2w+' = ± o. La r�ponse � la question : Pourquoi ? �tait tout simple- ment : que les racines �lev�es au degr� indiqu� , suivant les r�gles de la multiplication, donnaient la puissance primitive. Cette r�ponse cependant n'�claircissait pas pourquoi l'extraction de la racine d'une direction ne changeait en rien la direction primitive ; surtout puisque l'affaire �tait tout autre dans les racines d'un degr� pair ; on avait pourtant l/+ a² = ± « » et de m�me avec toutes les racines de degr� pair de nombres positifs; en g�n�ral: p\ _a2" = ± a. La raison qu'on donnait �tait la m�me que dans les racines de degr� impair ; � mais ce n'�tait pas expliquer l'affaire � fond ; on ne donnait pas les raisons de la diff�rence, que dans les racines de degr� pair d'une gran- deur positive , la direction de la racine est double, positive

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		ou n�gative , tandis que dans les racines de degr� impair d'un nombre dans la m�me direction positive la racine n'est que positive. Plus grande �tait la difficult� , qui se pr�sentait dans les racines de degr� pair de nombres n�gatifs, V/ � a² non = Hh « » et comme on ne connaissait d'autre situation et qu'on ne savait d�finir cette situation inconnue , on donnait simple- ment le nom d'imaginaire, d'impossible aux nombres re- pr�sent�s par ces racines, On les indique en g�n�ral par le signe v⁷�-1 , i; � ces nombres proviennent de la formule g�n�rale : p� a^�" = a p � i �a ]/� 1. Dans la suite on pourra juger s'il est juste de r�duire, comme on le fait g�n�ralement, a p-----1 � *a]/�1. § 5. Sur la signification et la valeur des Fac- teurs de la direction. � On est parvenu � trouver une valeur r�elle pour la forme imaginaire \/ �1, et par l� on a pu approfondir la signification de ces grandeurs , d�duite de la signification de positif* et de n�gatif comme direction , suite de rotation, La proportion ou la relation entre positif et n�gatif, peut �tre repr�sent�e, d'apr�s ce qui est dit pr�c�demment, par la proportion : + : � = 0° : 180» = 0° : t. signifiant que la relation entre ± est la m�me que 0° celle entre _rsKa dans le sens de rotation. lot) On d�terminait la signification de \/�1, � l'aide del� proposition g�om�trique : trouver la moyenne proportion- nelle de deux nombres ou grandeurs.

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Fig. 1. Soit 0 l'origine, OA � -fc-1, OA' = � 1. On aura OA" = i/(+ 1) (� 1) = V� 1- La solution de ce probl�me donnait la signification et la valeur de \/� 1 ; on voyait que , � 1 indiquant la diff�rence de direction de 180» avec -f 1 ou la direction positive, j/�1 marquait la diff�rence de 90° avec .\|- 1. La relation entre ces directions peut donc �tre exprim�e par la proportion suivante : {4-1 : ]/� 1: � lj = { 0': 90° : 1 80°] � Note. Dr. Riecke a fait une objection � ce Th�or�me dans son livre intitul� : die Rechnung mit Rich- tungszahlen etc. ; dans les annotations qui suivront la Th�orie, on trouvera la r�ponse � cette objection.

	§ 6. Sur les r�gles que suivent les Facteurs de la direction dans les diff�rentes op�rations. � Pour d�terminer les significations des autres Facteurs de direction , il sera propre d'observer et de prouver que ces Facteurs suivent en g�n�ral les r�gles des Exposants dans les dift�rentes op�rations. Pour l'addition et la soustraction on n'a pas de r�gles pour les Exposants ; il en est de m�me avec les Facteurs directifs. Remarque. Dans le compl�ment se trouve une note sur les signes -K Dans cette note il est essay� d'expliquer le sens ren- ferm� dans les exemples suivants, sur le quel les ma- th�maticiens ne sont pas encore g�n�ralement d'accord. (+a)-h( � a)=o; (\/ -~ a) + (� y/ � a) = o. (+ a) + (� b) -^ + (a� b) - � (i� a). (�a) + {+b) = � (a~b)^-h(b � a). (+ a) � (� b) - a -f- b ; (� a) � (� b) = � a + b.

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Plus tard il sera d�montr� que les expressions fy � a
f� � b peuvent toutes �tre transform�es en formes com-
plexes , dont on peut trouver la somme on le reste, qui
apr�s peuvent de nouveau �tre r�duits en quantit�s com-
plexes.

De cette r�duction il suivra, qu'il n'est pas juste de
dire que les sommes ou les restes :

y � «±r- b,

en g�n�ral �/ � ^a±V"�° ^ne souffrent point de r�duc-
tion, m�me quand les valeurs absolues de a et b sont
connues.

Dans les Produits et les ftuotients les Exposants
suivent les r�gles de l'addition et de la soustraction , le
m�me en est avec les Directions.

■a . -f- a = a/\0 . af 0 � a²f 0 » =
a . � a = a^w . a\x = a²|27r � -t- a²

\/� a . \/�a � {y�1 |/a) (]/� 1 ]/a) -
Va\\ . i/aff . = 4»- = -a.

afO⁰

^--4oo-n(--o)-it-= -i.

+ « __ a|0° _ af^r _ 4* _ _ _1>� a a^» ccJ^V7f

Dans le dernier exemple il n'�tait pas n�cessaire de
substituer la direction indirecte af�n � la direction directe
af 0 » , car en suivant la r�gle on aura :

^ = lt(0-*) = lt-r = -l,

ce qui donne le m�me r�sultat ; quand on tourne la ligne
O A = 1^0° (voyez la Fig. 1.) soit en direction positive,
soit en n�gative l'espace de 180°, elle parviendra dans les
deux cas dans la position OA' = lfjr.

Dans l'El�vation aux Puissances, comme aussi
dans l'Extraction des Racines les Exposants sont

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		multipli�s et divis�s par l'exposant marquant le degr� de l'�l�vation et de l'extraction ; il en est de m�me avec les facteurs directifs. � (■+■ a)³ = (cij0°)³ = a³p.0° = a^3/\0' = + a³(� a)⁴ = (a^Tf)* = a⁴f47T = a⁴\o' = -h a⁴ W - a)³ = {y - 1 V «)³ = W 4f)³ = V «³t� = V a³f = ai/«(V-f) � v/ �1) = �a\/�a. {V - ay ' = (V - 1 t/ a)r = (,/ aff)⁷ ■= v/ a'fj = a» \|/ af (3?r . g) = a³ y/ 4(2- . w . \|) = � V/� 1. a³ j/a* � � a³ \/� a . 7. Observation de la direction indirecte dans l'extraction des Racines. � ^'extraction des Racines demande une attention particuli�re ; dans les nombres complexes les op�rations se rapportent aux deux �l�ments int�grants de ces grandeurs, comme d�j� il est montr� dans les op�rations qui pr�c�dent ; il en est de m�me dans l'extraction des racines. Dans les op�rations pr�c�dentes on r�duisait quelquefois le r�sultat avec une direction indirecte � la direction directe. )/a?f^ = a³\Zap7T.^ = a³]/aP .-= ~ a³\/ � a. Dans l'extraction des racines on ne se borne pas � la direction directe, mais on applique encore l'extraction � la direction indirecte, pour avoir toutes les racines complexes possibles. Dans l'extraction on doit d�terminer : 1. la racine du nombre absolu, 2. » » du facteur directif. La racine du nombre absolu n'est qu'un single nombre absolu pour chaque degr� d'extraction ; il en serait ainsi avec la racine de la direction, si l'on n'avait qu'� d�terminer

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		la racine de la direction directe et non en m�me temps celle de la direction indirecte, possible, imaginaire. De l� il r�sulte que le nombre des racines d'un nombre complexe peut �tre quelquefois bien grand ; � quand on se borne cependant � la direction directe, la racine de la direc- tion comme celle du nombre absolu n'est qu'une. Par cette remarque bien des choses seront �claircies et expliqu�es � fond. En observant non seulement la direction directe , mais encore l'indirecte , on a : + a² = «2\|o» = a²f 2tt - a²f4/r � a²f 2nw. y/ + a² =. \/ + 1V⁷«² = «t� = ?t � = «²�y = etc. = afO° � ajV __ af27T etc. = -f- a, � a , H- a. etc. Cet exemple donne d'abord l'explication de la racine dou- ble dans le cas que la racine est d'un degr� pair, 1K -f- «³ = iK + 1. a = a\ J aff, aftj, «f^ etc. = a\0, ap20°,* af240°, af2?r = -f- a, «\|120°, a\|240», + a. L'exemple prouve qu'il n'est pas juste de poser comme r�gle absolue : les racines de degr� impair d'un nombre positif ne donnent que des nombres positifs. Le nombre des racines est �gal au nombre de l'indica- teur ou de l'exposant du degr� dans le cas qu'on observe la direction directe et Cindirecte. Au contraire en n'observant que la direction directe dans le nombre complexe , la racine n'est qu'une , on a: j4/ ₊ a" � af« � af0° = H- a. ■§/ -f- a³ = 4\|' = ap° = -+- a. Dans les racines de degr� impair on n�glige toutes les autres racines , parcequ"elles contiennent des facteurs direc-

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tifs , non directement positifs ou n�gatifs , mais indiquant des directions moyennes. Ces racines cependant ainsi que les autres poss�dent toutes les qualit�s des racines , cequi est d�montr� en les �levant � la puissance de l'extraction ; � on les n�glige, on les ignore ou bien elles sont tax�es impossibles, imaginaires Remarque. Plus tard il sera prouv� que ces grandeurs, tax�es comme impossibles, imaginaires, repr�sentent cepen- dant des tormes complexes, c'est � dire des grandeurs r�elles . unies � des grandeurs imaginaires , dont on fera encore conna�tre la vraie valeur, qui n'est pas toujours imaginaire, dans le vrai sens du mot. (afO »)³ = a³\|3.0» = a³j0° = -j- a³ (af 120°)³ = a³\|360» = + a³ (4240 °)³ = a³J720° = a³p?r = -)- a³. Dans les racines de degr� pair on observe � ce qu'il para�t , peut-�tre sans le savoir , non seulement la racine de la direction directe, mais encore celle de l'indirecte avec le facteur n�gatif et on n�glige les autres. De l� on obtient : \/ -\|- a¹ � ± a ; dans ce cas on n'avait que deux racines diff�rentes , qui l'une et l'autre sont observ�es. V + a² = V + L « = 4? . 4y . etc. � 4O⁰ ' 4^T ) ^etc- = + a , � a.

	, + a= fi» + 1. a = a f�, af{, a\% a\% af-? etc. = 4ov4f>4* »4t'42t = -f- a , j/�1. a, � a, �\/�1. a, + a. Cet exemple marque les 4 diff�rentes racines de T^ ■{■ a⁴;

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dont on n'observe que ± a , tandis qu'on n�glige les deux autres comme imaginaires. Toutes ces racines sont de vraies racines , comme il est montr� plus haut, et encore on pourrait s'�tonner de ce qu'elles sont n�glig�es, vu que la signification en est connue, la direction moyenne signifiant une direction r�elle, celle de 90 ■>. Le nom d'imaginaire est donc inexact � deux �gards ; d'abord puisque ce sont de vraies racines, et puis des racines � valeur r�elle, mais relative, comme il sera prouv� dans la suite.

	V' � a« = !/ � 1 o = ofj, aff , «f* etc. = af90», a�(V.90)", af(2;r . 90)" etc, = �af90» , af90» etc. = v⁷�1.«, �V�l.a, v⁷�!� a etc. La signification de j/ � l.a �tant trouv�e , comme il est indiqu� plus haut, l'application de la th�orie au m�me exemple, sert � en prouver la justesse par la conformit� des r�sultats. Les deux racines satisfont aux qualit�s requises : (af90»)² =a²\|180» = � a² (af(V . 90 "Y = a²f(2;r.l80)° = � a². Pour d�velopper les id�es sur la mani�re de d�terminer les facteurs direciifs dans l'extraction des racines, la d�termination des diff�rentes valeurs de ^-----a¹² servira � le montrer plus amplement encore. ^__ai2 = �._t. _a ₌ 4f₂> 4g, -tg. 4g. 4g, 4�> 4t> 4t, «tlar. 4^, 4�> 4^,4^0. = afl5», af45°, af75°, afl05% afl35°, afl65» ,

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		a^T. 15», afT.45», af7r.75«, aJ7T.105°, affl-.135«, afTT.165». a\|25r.l5 etc. On voit dans cet exemple que -fi-----1. a¹² n'a que 12 racines diff�rentes ; qu'il n'y en a plus , puisque en con- tinuant, les racines se r�p�teraient r�guli�rement; *otg = 4(²-f₂) = 4(²^ -�).** Cet exemple prouve ce qui est observ� ci-devant, qu'il n'est pas juste de mettre en g�n�ral : ap- � 1 = «1/-1, car on voit la diff�rence dans l'exemple pr�c�dent : ■fi-� 1 =^yjy�1 n'est pas simplement = y� 1. V�1 = t/lK � 1 » » > �V� !� § 8. Division en directions conjugu�es et oppo- s�es. � L'exemple montre encore que les 12 racines renferment des formes , qui de deux mani�res peuvent �tre combin�es deux � deux , par rapport � certaines conformit�s , qui m�ritent d'�tre remarqu�es et distingu�es par des noms. Fig. 1. Pour expliquer la derni�re remarque soit OA = 1 = -+- 1. l_ AOB = l_ AOB' = l_ A'OB" = _?». OB sera = lf�>. OB' = lf � ?«. OB'⁷ = lfsr. <p'. = 1 (�f�>°) = � lfp». Les math�maticiens donnent le nom de grandeurs con- jugu�es � OB et OB' = lfp° et lf � y»; leurs directions sont positives et n�gatives par rapport � la direction posi- tive OA , la base de la direction. OB et OB" sont oppos�es par rapport � l'origine 0. OB, OB" = lf , lf(5T . <P) = lf?, 1(� fiP) = lfP, � lf�>. Dans ce qui suit OB , OB' seront appel�es grandeurs � direction conjugu�e ; OB , OB" grandeurs � direction oppos�e.

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Ainsi dans l'exemple Ar� 1 . a¹² les nombres ou les

grandeurs :

afl5° et a^TT . 165° = af � 15°

sont conjugu�es.

ap5« et ajV . 105° = af � 75°

afl5° et ajV . 15° j

.__ _A __ sont oppos�es.

a|75° et afjr . 75° | ^vy

Cequi pr�c�de renferme la signification fondamentale et
compl�te de toutes les grandeurs imaginaires ou plut�t
de toutes les grandeurs complexes et en d�termine en m�me
temps la valeur r�elle , cependant toujours encore dans un
sens abstrait ; � dans la suite il sera essay� de trouver
le sens concret des grandeurs g�n�ralement tax�es comme
imaginaires , impossibles, et dans un sens abstrait et de
plus encore dans un sens concret.

Le mot signification compl�te demande cependant une
certaine restriction , savoir qu'il ne se rapporte ici qu'au
cas que les nombres complexes repr�sentent des grandeurs
ou des nombres ordinaires ; les nombres complexes se pr�-
sentent encore dans d'autres relations, ils peuvent �tre
Exposants, et encore dans les fonctions goniom�triques
et les cyclom�triques ils sont employ�s pour indiquer les
lignes goniom�triques ou des arcs de cercle ; les nombres
complexes figurant dans ces fonctions demandent d'�tre trait�s
s�par�ment pour en trouver la signification et la valeur.

Ce point important sera examin� plus tard.

§ 9. Distinction des nombres en abstraits et en
concrets. � Les nombres sont divis�s, dann ce qui pr�c�de,
en absolus et en complexes ; � on les divise encore en
abstraits et en concrets.

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		Les nombres abstraits indiquent des quantit�s , dont l'unit� est abstraite ; les concrets au contraire dans cette division, marquent des quantit�s, dont l'unit� est concr�te, c'est � dire, on sait quelle est la grandeur r�elle , qui repr�sente l'unit� de ces quantit�s. Dans les Math�matiques l'unit� positive �tant d�termin�e, on est parvenu dans bien des cas � trouver la grandeur , qui correspond � la grandeur n�gative ; dans les cas o� il ne se pr�sente point de grandeur , r�pondant � cette fin , les grandeurs n�gatives sont jug�es �tre impossibles , imaginaires. Dans l'Alg�bre la solution d'un probl�me donnant une grandeur repr�sent�e sous la forme imaginaire ou complexe, le probl�me est jug� imm�diatement comme impossible, imaginaire. Quand on ne sait la signification ni la valeur des nom- bres complexes dans toute leur �tendue, on ne peut s'�tonner de cette d�cision imm�diate ; � il n'en est pas ainsi quand la valeur , la signification est trouv�e ; dans ce cas, de m�me qu'avec les r�ponses n�gatives , on ne se d�cide � juger le probl�me impossible, imaginaire, qu'a- pr�s avoir prouv� , qu'il est impossible d'attacher quelque id�e concr�te � la r�ponse � forme imaginaire ou complexe. Au lieu d'ins�rer ici un trait� sur ce point, qui n'est pas des plus faciles , ni des plus agr�ables, vu que non seulement jadis , mais encore dans ce temps les opinions sur ce sujet diff�rent beaucoup, voyez les id�es de Du- hamel dans : Methodes dans les sciences de Raisonnement 2 partie page 161 etc. ; il sera plus convenable de r�server cette �tude pour la fin , quand les grandeurs ou les nombres complexes auront �t� expliqu�s dans toutes leurs relations ou dans toutes les fonctions o� ils se trouvent. § 10. Lia signification et la valeur des nombres

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		imaginaires peuvent �tre d�termin�es encore d'an- tres mani�res. � La mani�re pr�c�dente, quoique cer- tainement la plus simple , la plus naturelle et en m�me temps la plus compl�te pour d�terminer la signification et la valeur des grandeurs imaginaires, n'est cependant pas la seule pour parvenir � ce but. La signification et la valeur de j/ �1. se trouvait � l'aide de la moyenne proportionnelle entre -h 4 et � 4 , de la m�me mani�re on pourra parvenir � fixer celle des autres grandeurs imaginaires ; cependant dans tous les cas on ne parvient pas de cette mani�re � toutes les valeurs de ces grandeurs. Pour trouver la signification et la valeur de jy � 1 , on pourra regarder cette grandeur comme une des moyen- nes proportionelles entre + 1 et � 1 ; l/ � 1 �tant la seule moyenne proportionnelle entre ces deux grandeurs , on peut se figurer que jK � 1 est une des trois moyen- nes entre + 4 et � 1 ; de sorte qu'on aura : + 1 :u = �:i/ = yt2=2:l, Pour y on a trouv� la signification et la valeur de \/ � 1 = 1^90°; cherchant maintenant la moyenne entre + 1 et \/ � 1 ou entre \/ � 1 et � 1 on aura la valeur de \y � �. -4-1 : x = x : \/ � 1 ; cequi donne x^~ + 1 \/ 1 = \/ � 1 x =VV � 1 = jK�l de m�me on aura : z � j/ (� 1 j/�■ 1) = \/� 1 \y�1. La proportion continue sera donc : + 1 : jK � 1 = \y � 1 : \/ � 4 � y/ � 1 : i/_l^ _ 1_ \/�i yy �4 : � 4. De cette proportion il suit : ■f � i _ K�� _ y�\\y�\______� i _ .

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De ce qui est prouv� auparavant , il est connu que la puissance du second degr� d'une direction signifie la direc- tion prise deux fois , de sorte qu'on a : O-----4)² = i/� 1 = 2flK �4. j90° = 2fi^ �1. ainsi f⁹°° = f45° = \<y � 4. De la m�me mani�re on trouvera la signification et la valeur des autres racines de degr� pair contenues dans la forme p-----4. En appliquant cette m�thode aux formes suivantes -0/ � 1, Tjy � 4 , ^P � 4 on ne parvient qu'� trouver une seule valeur , savoir [?/ � 4 = 4\|;r et ainsi pour toutes les autres. La valeur de $/ � 4 se trouve en prenant deux moyen- nes proportionnelles , savoir : + l:i = it:y = y:l, Encore en suivant cette m�thode on ne trouve pas les diff�rentes valeurs des formes : !/+1,^+1, ^ + 1, *i?+i. Il suffira d'avoir indiqu� d'autres mani�res, et d'avoir prouv�, que les r�sultats obtenus de ces mani�res ne sont pas en contradiction avec la premi�re m�thode. La m�thode des moyennes dans les proportions conti- nues est la m�me que l'interpolation dans les s�ries g�om�- triques et arithm�tiques , qui donnerait les m�mes r�sultats.

	§ 44. Sur l'�quation xn� ±\,x=.f^±\. Ce sujet est trait� bien amplement dans tous les cours de l'analyse alg�brique. Le sujet est d�fini comme devant prouver le nombre des racines de �'unit�, nombre �gal � l'exposant de la racine n.

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		D'apr�s ces trait�s l'�quation renferme 4 cas diff�rents, pour n pair, x � -�y -+-1 renferme les racines r�elles ± 1 ; » n impair, x � "V + 1 ne renferme qu'une seule ra- cine r�elle -f 1 ; » n pair > x = ^ � 1 n'a aucune racine r�elle ; » _n impair, x � ^y � 1 renferme la racine r�elle � 1. Toutes les autres racines sont imaginaires et ont toutes la forme complexe : (cos <p -f V � 1 . sin y). Ce qui signifie r�ellement : l(cos <p -f- \/�1 . sin <p). §12. Sur la valeur des formes complexes. � De la combinaison des grandeurs'; r�elles et des imagi- naires naissent les formes complexes. « + V - i � y- Apr�s avoir trouv� la signification de ]/�l.y, on est parvenu � d�terminer la valeur complexe des formes complexes. Fig. 2. Soit OA = x , AB = y , AB' = � y. En consid�rant en m�me temps la direction de AB et AB' par rapport � OA, prise comme base de direction, on a OA= -f x; AB= i/� l.y, AB' = � i/�1 .y. Puis on a OB = \/ \ OA² + AB² j �. \/ [ x* -f- y* j ₌ R. Cette R est la valeur absolue de \/(x² -j- y²); par rapport � OA, OB a une certaine position, d�pendant des valeurs de OA et AB ; � cette position peut �tre d�termin�e par l_ AOB dont la tangente est �gale � t, La valeur complexe de OB peut donc �tre exprim�e par : OB = R t arc. tang ^y- et OB' = R f arc. tang ^. 2

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		La valeur obtenue de cette mani�re repr�sente celle de la forme complexe. On a donc la formule fondamentale : x±\/ � 1 . y � \/ (² + y²) \ arc tang ■=-?_.* B t » » H Les grandeurs x et y dans x -f- V � 1 � 2/ diff�rent par rapport � la direction. Dans le sens de la Th�orie ordinaire les grandeurs x et y de la forme x -f V�1 � y ^sont regard�es comme h�t�ro- g�nes; l'une X �tant r�elle, l'autre \/�1 . y imaginaire, impossible ; dont il suit que ces grandeurs ne sauraient �tre unies ; l'une par rapport � l'autre est de nulle valeur. Dans le sens de la Th�orie qui pr�c�de, d'apr�s laquelle ces grandeurs ne diff�rent que de direction, qui n'est pas jug�e absolument imaginaire ou impossible , ces grandeurs nonobstant la diversit� des directions , ne sont pas sans influence l'une sur l'autre , comme il sera expliqu� dans l'exemple suivant. Ne consid�rant que la direction positive et la n�gative , si quelqu'un demande : Une personne ayant fait la route repr�sent�e par les lignes OA et AB ou AB' dans les directions donn�es, quelle est la distance que la route AB ou AB' a ajout�e � la distance positive OA ? La r�ponse sera nulle, ainsi ne consid�rant que les dites directions , on a : x±\/ � 1 .y = x±0. Au contraire si l'on demande : A quelle distance du point O on est parvenu par les routes donn�es avec leurs directions; la r�ponse sera OB ou OB' comme la distance absolue ; � la distance complexe indiqu�e par les grandeurs complexes sera :

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		OB , OB' = v/(a?^a + y^a) f are tang ±\|. § 13. Suite sur a; = l^±l. Pour reprendre les racines de la dite �quation , les formes complexes qui repr�sentent les racines imaginaires : (cos P+/-1, sin 9) � l(cos 9 -f y/� 1 . sin 9) peuvent �tre r�duites � la forme complexe : l/(cos^a�> -f sin² 9) f arc tang ^\| = lfp. Par cons�quent en mettant l'arc <p pour repr�senter les arcs des diff�rentes directions on a pour les valeurs : X =p^ dti = if ±9. Encore cette forme comprend non ' seulement les ra- cines imaginaires , mais en m�me temps les r�elles, car ± 1 = lf°; = l(cos °; + 1/ -1 . sin °J). Les diff�rentes valeurs de <p se trouvent, comme il est indiqu� ci-devant dans l'exemple j>- ± 1, en �crivant pour ± 1 , les valeurs � direction directe et indirecte. + 1 =lfO, ipT, lf4�r.....ipuTT etc. dont les racines sont ^y -\|- 1 = if, ip, lt-.....lt� etc. De la m�me mani�re on trouve celles de p-* � 1 , pour les valeurs des nombres n pair ou impair, comme il est expliqu� dans ce qui pr�c�de , o� en m�me temps il est d�montr� que le nombre des racines'ne peut monter au del� de n, pour ne pas tomber dans des r�p�titions. La question d'apr�s ce qui est dit sur l'�quation x" � -+- 1, X = i>-± 1 sera : s'il est juste de la regarder comme devant prouver que le nombre des racines de l'unit� est �gal � l'indicateur du degr� de la racine? Ou bien : l'�quation bien comprise ne renferme-t-elle principalement, fondamentalement la solution de l'extraction

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		des racines de la direction dans les nombres complexes? Les nombres complexes renferment deux facteurs, l'un c'esi le nombre absolu ; l'autre c'est le facteur de la direction ; � pour avoir la racine compl�te il ne suffit pas de d�terminer le nombre absolu , c. a. d. la racine du facteur qui indique le nombre absolu, et dont dans tous les cas pour chaque racine d'un certain degr� le nombre n'est qu'un; -� mais encore on doit d�terminer la racine de la direction, la direction n'�tant pas un facteur inva- riable dans ces op�rations. Il est prouv� que la racine de la direction ne serait qu'une de m�me que celle du nombre absolu , quand on se bornait � d�terminer simplement la racine de la direc- tion directe, mais puisqu'en m�me temps on doit consid�rer la direction indirecte renferm�e implicitement dans la directe , le nombre des racines n'est pas un , le nombre d�pend de celui indiquant le degr� de l'extraction et quand on finit o� la r�p�tition des directions commence, le nombre de ces racines est �gal � ce m�me nombre. Ainsi pour n � 12 ]/� d= 1 = ]>� dr 1 � 1. On a d'abord i^- 1 = 1 ; cette unit� est la seule racine absolue du nombre absolu 1. t�t ± 1 indiquant la racine de la direction ne serait qu'une pour la direction directe i\_7l, et serait = 1 j¹-, lt-. En consid�rant la direction indirecte on trouvera les autres racines, comme il est indiqu� ci-devant. § 14. Objection sur la mani�re de consid�rer l'�quation a:¹ � ± 1. Peut-�tre encore apr�s ce qui pr�c�de, on fera l'objection: la racine de l'unit�* n'est pas

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		simplement l'unit� ; � et pour preuve on citera une multitude d'exemples, p. ex. On dit : le second nombre �lev� au 5^me degr� donne l'unit�. R�ponse. � Le 5me degr� ou la puissance demand�e donne l'unit�, c. � d., l'unit� complexe + 1 = lfO» = lf2njr , et non la simple unit� absolue. *_La _racine y^i_+V-!^ go+ 2^5) _n._est _pas _la* racine de Vunit� absolue ; � cette expression bien com- prise l'enferme implicitement deux facteurs, les racines des deux facteurs de l'unit� concr�te; � savoir t^5 -J, _A t^(10 4-2K 5) 4 4-K 1 j � ^5-i , _J _� f/(10 + 2l/5) �₄------h »/� 1--------1-------- Le facteur 1 est �gal � ty* 1, comme la simple et uni- que racine, de l'unit� absolue, et le second facteur n'est autre chose que la r�duction de (cos 72»+ j/� 1 sin 72«) c. � d. qu'on a substitu� � cos 72» et � sin 72« les valeurs des lignes goniom�triques par rapport au rayon du cercle ₌ 1. L'analyse de cette objection donne le r�sultat suivant : 1 (cos 72«+ V� 1 sin 72°) = lf72° = lf^. Ainsi tout le second membre n'est autre chose que la transformation de la direction \~; � et quand l'�quation n'�tait pas prise dans le sens qu'elle exprime implicitement, elle serait fausse, car prise explicitement j^"l n'est que

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		1, et non le second membre, qui est une forme complexe ; laquelle n'entre pas dans les grandeurs absolues � tandis que la valeur du second membre ne se trouve pas dans le premier, 1 n'�tant que l'unit� absolue, grandeur sans direction. � Ainsi la formule est fausse : f_fy ₌ y-i* ! y ^(10 + 2^5) Si l'on transformait de la m�me mani�re les autres racines du 5me degr� de l'unit� -f- 1 > on aurait toutes les expressions, -qui repr�senteraient les facteurs directifs lf-j?, lt-r- etc. sous des formes complexes. Ce qui pr�c�de suffira pour bien comprendre le sens de cette �quation ; c'est par elle qu'il n'y a plus d'incertitude sur la signification, la valeur de toutes les grandeurs complexes, car �tant en �tat de d�terminer les racines des deux facteurs dans les nombres complexes la racine compl�te est connue. L'importance de ce sujet non g�n�ralement encore re- connue ou regard�e sous ce point de vue , fera que dans la suite il sera n�cessaire d'y revenir, pour �claircir cer- tains points de l'analyse alg�brique et encore pour d�cider la question des logarithmes des nombres n�gatifs, en g�n�ral des nombres complexes et des formes complexes ; ques- tion qu'on regarde comme d�cid�e , mais dont il sera prouv� que la d�cision est fausse ou bien qu'on a laiss� le dernier mot � un th�or�me faux. § 15. Les nombres complexes dans les fonctions exponentielles, goniom�triques et cyclom�triques. Il est dit plus haut, qu'il ne suffit pas d'avoir trouv� la signification des nombres complexes dans les formes ordi- naires , pour pouvoir dire d'en conna�tre la signification, la valeur compl�te; � il est n�cessaire d'examiner si la

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		m�me signification convient � ces nombres dans les autres fonctions o� ils se trouvent. Ces nombres se trouvent encore dans les fonctions ex- ponentielles , goniom�triques et cyclom�triques. Les formules o� se trouvent ces grandeurs, sont de grande importance dans cette partie des math�matiques ; � il est donc n�cessaire d'analyser les expressions o� elles se trouvent dans ces relations, pour pouvoir d�cider sur leur signification et leur valeur et pour d�cider ainsi ce qui en est des formules elles-m�mes et des conclusions qu'on en tire. La signification trouv�e et d�termin�e, il sera clair que la plupart de ces iormules dans l'analyse alg�brique ne sont que de simples �quations identiques , ce qui se pr�- tera tout naturellement � y attacher des observations im- portantes et � en tirer des conclusions non moins int�res- santes. § 16. Sur les Exposants. Les Exposants n'�taient d'abord que des nombres entiers , absolus. La formule a^x � 1. aaa .. . donne la signification de ces nombres. � Par l'application de la r�gle des exposants dans la division , on a obtenu les exposants n�gatifs avec leur signification : a¹ ^a 'a⁷ a'* Ainsi a⁴ signifiant i.aaaa , on a obtenu pour a~* =------. Le'r�sultat de l'application est conforme � ce qu'on aurait pu obtenir par l'analyse logique; car a* signifiant i.aaaa et puisque a* est �gal � a + , il est tout cons�quent que _a � 4 signifie-----; ainsi que a⁰ = 1. aaaa⁷* ¹ Il r�sulte de ce qui pr�c�de que dans ce cas les nombres complexes ± x dans a ± * ont la signification particuli�re,

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		que le sens de direction oppos�e se rapporte ici � des op�rations contraires ou oppos�es. Dans l'�l�vation aux puissances les exposants sont multi- pli�s : (a^m)ⁿ = a^mn ; quand on rencontre des exposants � nombre fractionnaire la signification se trouve tout natu- rellement ; car de m�me que la multiplication et la division sont des op�rations contraires , comme oppos� � mi» dans les exposants se rapportera � une op�ration contraire dans les fonctions o� ces exposants se trouvent, et comme l'extraction est l'oppos�e de l'�l�vation, il suit: _amn � (ow)n. _et a} = P'a�. La signification ainsi trouv�e, s'accorde avec celle tir�e des d�monstrations alg�briques. Les Exposants se pr�sentent donc pour indiquer les op�- rations de la multiplication , de la division , de V'�l�vation aux puissances et de l'extraction des racines. � On n'a pas d'autres op�rations qui influent sur les exposants ; � dans ces op�rations les exposants sont additionn�s , sous- traits , multipli�s et divis�s, comme puissance ils se trouvent dans le cas particulier : (a^m)^m = a^m2. Il n'y a point d'op�ration qui demande l'extraction de la racine d'un exposant. Quelle est donc la signification de af � 1-^x� Au lieu de juger d'abord ces exposants comme imaginaires, ou impropres, figur�s ; il est n�cessaire d'essayer s'il n'est possible d'en trouver la signification, la valeur r�elle, et de d�terminer ainsi sous quel point de vue les formes doivent �tre regard�es o� se pr�sentent ces exposants soit comme nombres imaginaires ou complexes. Ces exposants ne doivent pas �tre nomm�s imaginaires, figur�s, s'ils ont une signification r�elle, puisque autre-

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		ment tous les exposants hormis ceux indiqu�s par des nombres entiers, absolus m�riteraient le nom d'impropre. La signification trouv�e, ils satisfont m�me dans ce cas � la signification du mot exposant, ils montrent, ils indi- quent la valeur de la forme. Aid� simplement par le raisonnement pour trouver le sens de V � 1 , on devrait dire : y/� 1 est moyenne entre -^ 1 , qui indiquent la multiplication et la division , l'op�ration moyenne indiqu�e par ce signe n'existe pas, d'o� l'on ne tirerait que la seule conclusion: les grandeurs avec des exposants de cette forme ne peuvent �tre qu'imaginaires, impossibles, et par cons�- quent l'exposant lui-m�me ne pourra avoir quelque valeur reelle , absolue. Il est donc n�cessaire d'examiner comment ils sont entr�s dans l'analyse alg�brique pour trouver ainsi quelle en peut �tre la valeur. Il est connu qu'ils doivent leur pr�sence dans les fonc- tions exponentielles � la substitution, � en analysant ces formes on parvient � leur signification, � leur valeur v�ritable. § 47. Dans l'Analyse alg�brique on trouve que les ex- pressions : eⁿv + e~ⁿv . eⁿv � e~ⁿv -------------- et --------------- 2 2. d�velopp�es en s�ries de n et de y, et compar�es aux s�ries pour cos y et sin y , deviennent identiques par la substitution de j/� 1 . � _n. De l� on tire les formules connues : DeK-l.y + e-^~ⁱ-y ---------------_------------------- cos y ; 2)_ei/-l.t/-__c-K-l.3/_ .

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		desquelles on d�duit encore les suivantes : 3)eK� 1 � y = cos y -f V � 1 . sin y ; %�K�1 -V = cos y� \/ �1 . sin y. D'apr�s ce qui est prouv� ci-devant on a : cos y -}- \/� 1 . sin y � lfj/° cos y � \/� 1 . sin y = cos y + j/� 1 . (� sin y) = cos � y -f \/ � 1 sin � y = 1 j¹�y⁰. D'o� il suit : eV�l-y = lfy⁰ � e°\|j/°; e�^�* -2/ = lf�y⁰ = e°f�y⁰. De ces �quations on peut d�duire la signification de ces exposants. Dans eK� 1 ■ y la valeur absolue �tait 1 = e°, il suit que la valeur absolue de l'exposant j/�1 . y dans la signification primitive est = 0 ; � puis _CV� i.y � i^yO ₌ _eOjy �tant un nombre complexe avec la direction ^y, il suit encore que ]/�l.y comme exposant �tant �gal � \y ne sert qu'� indiquer la direction du nombre complexe auquel il est li�, de sorte qu'on aura : ei/� i.y=e° + V� 1 ■ y = ^\y � e°\y. Pour r�sumer on pourra formuler la th�se suivante : La valeur absolue de ^ \/�1 .y comme exposant est nulle,� et ±y indique le nombre des degr�s qui marquent la direction de la valeur num�rique , absolue de la puis- sance figur�e. Ainsi le signe y/� 1 a re�u par la substitution une signification toute particuli�re ; il ne doit �tre regard� que comme un simple indice , marquant que le nombre suivant n'a pas la signification ordinaire des exposants primitifs , mais sert � indiquer les degr�s de la direction ; l'expression ef ~ -3/ = \^y* n'est donc qu'une expression nouvelle pour marquer le facteur directif.

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		La valeur des expressions exponentielles � forme com- plexe suit imm�diatement de ce qui pr�c�de : _ex + V � 1. y � _ex , _eV'- 1 . y = _ex , _eoy* _ _exy. _ex � V^�\.y � _ex* , _e� l^ � l.j/ � _ex , _eo\| � y _ _ex\| � y, § 18. Remarque. Dans les cours de l'analyse alg�bri- que on trouve que, quand on suit l'origine des formules 1. 2. 3. 4., on voit, qu'elles ne sont valables que pour la base « ; � quand on a a!/ � 1-2/ et en g�n�ral toute autre base que e, on doit r�duire l'expression � la base e. Soit a^x � ez; on a pour les Logarithmus naturelles , x\.a � z ; d'o� il suit : _al/-l.� ₌ _e\^-l.xl.a � lf(tfl.a)o _ax±V~�\.y = _ax , a±V� l-y = aP\(±y 1. a)⁰. R�ponse. � Quand on cherche dans les cours la base, la d�monstration de cette th�se, on trouve, que ce n'est que par analogie qu'on a d�duit cette r�gle, et de la mani�re qu'on l'annonce il para�t, que la raison de l'ana- logie suffit pour en tirer cette conclusion. On oublie ou plut�t on n'a pas vu par l'analyoe, quelle est la signification et la valeur de j/� 1 . dans les expo- sants ; c'est pourquoi qu'on soumet aux r�gles des expo- sants ordinaires, les exposants sous des formes tout � fait diff�rentes, des exposants � signification toute difi�- rente. On trouve p. ex. (eV-i.^-l.a! = <?-** = i, tandis que la vraie valeur sera, suivant les r�gles indiqu�es, au moins contenues dans les m�mes cours (_eV � 1. x)�/ � 1. x *� (lo�)]/�** i.x � (lx)o + V � \.x �* (lfa?)⁰ x � l\x.* Si ces exposants suivaient les m�mes r�gles, on aurait ^les �quations d�riv�es de (eV � ⁱ � <b)V� 1 � *.

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		(ets�i.xys�i.� � \^x = e°\x; dont on tirerait : e° = �_a ; ^# = o. Ce qui prouve la fausset� des �quations; ce n'est que le manque de valeur x = 0, qui fait s'accorder les diff�rentes transformations de (gV�l.^t/�l.�. Voyez encore dans le compl�ment la note sur la fameuse formule de Montucla. Pour prouver que les exposants sous ces formes ont une signification tout autre que celle de ces formes dans les fonctions ordinaires, on peut prendre la r�duction de (e<B + l/~�i.y^x�V~�\.y . regardant ces formes complexes, quoique exposants, comme soumises aux r�gles ordinaires, on aurait : (ex + f �l.y)x � ]S"�l.y _ _ex* + v* = e^x* eV* tandis que la v�ritable valeur est : (_ex + W�i.y-)x � V�\.y � (ex^yy � V�l.y � (4<\xy)\�y* = e^x%/\{x�l)y. Dans les formes ordinaires les grandeurs x et y sont homog�nes et ne diff�rent que dans la direction , comme d�j� il est indiqu� ; � tout autre il en est avec ces gran- deurs �tant exposants, dans ce cas les deux termes sont tout � fait h�t�rog�nes ; x n'est autre qu'un nombre ab- strait , absolu, tandis que le nombre y acquiert par le signe j/ � 1 la signification concr�te de degr�s. Par l'observation de cette grande diff�rence de signifi- cation s'explique la fausset� des r�sultats obtenus en la n�gligeant. Dans le compl�ment on reviendra sur ce sujet, pour le pr�sent ce peu suffira pour en tirer la conclusion suivante : et/ �1.x = aK�i.x � l^, _ex+\S�\.y � e^x\y ; a^+^�^-V � a^x\y.

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		l/�1. X impliquant la signification de o -j_ \/ � 1. on a _el/�\.x � go + K � l.a; � \^x _aV~�l.x � _ao+l^�i.x � 1\|#. Il est impossible de fournir des raisons directes qui prouvent le contraire ; au contraire en ne pas acceptant la signification et la valeur donn�es , on tombe dans des contradictions , des incons�quences comme il est prouv� dans les exemples, dont le nombre sera augment� dans la suite surtout en traitant des Logarithmes , o� la contradiction et l'absurdit� seront encore plus sensibles. Suppos� encore que \/�X d�pendait de la valeur par- ticuli�re de a, dans ce cas aussi dy~� ^x = e^�^x ^la ne serait pas juste, car on aurait alors _aV~ x � (_e la )V� x = _e la.V^ � x _et _non e^� x la 2]/�& n'est pas �gal � y�8. Ce n'est que par analogie , qu'on a dit : ay^r~^x = e^ � ^xla; on n'a pas �t� en �tat de v�rifier cette th�se, ni d'en donner quelque raison valable, vu que la signification de ces exposants est tout autre que celle des ordinaires , et par l� cette faute faite n'a pas �t� remarqu�e et ne l'a pu �tre. L'exemple ci-dessus : (gV�l.a;)!/-� l.a, ₌ ifa _ _e\^-i.x donne encore lieu � l'observation suivante : � on voit dans cet exemple que le second exposant \/�i.X n'est d'au- cune influence ; ce qui s'explique tout naturellement par le sens de \/� \.x comme exposant. Par le signe j/�4. les exposants \/�1. x sont pour -\insi dire devenus des nombres concrets, de m�me que dans l'Arithm�tique un nombre concret multipli� par un nombre concret n'a pas de sens ; ainsi dans l'exemple ci- dessus on aurait : � la direction X degr�s multipli�e par la direction x degr�s; � cette multiplication absurde ne

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	changerait en rien le premier tacteur, puisque le second comme multiplicateur n'a ni sens , ni valeur. La Th�orie donn�e est donc conforme � ce que le bon sens d�cide � priori : X° signifiant X degr�s j#° X \|#° = \x°. La justesse de la r�duction suivante est prouv�e par la th�orie des directions : <y-�\.x, _eV^�\.x ~ i<\ot).\\(C = ipx = gV^�1.2«. �tant donn�: ^oos� + V�l.siny _; i_a transformation donnerait A^osx + l^� i.�ny = .4cosa:f(_si_n _yy> _; ce qui signifie , la valeur num�rique �tant : cos X = a, sin y z= b. A^a\b =^ A^osx+V^- i.siny ₌ J> +1-^�1.5. Dans les cours on trouve que les fonctions exponentielles suivent en tout les r�gles des Exposants ordinaires et pour preuve on donne des exemples ; dans ce qui pr�c�de se trouvent des exemples , qui prouvent l'incons�quence de cette th�se. Encore pour les exposants ordinaires on a : (_em\n = e^mn = {eⁿ)^m. D'apr�s la th�se nomm�e on devrait avoir : (_em.\l/� l.n � (_eK � 1 . n.\m. ? (em.y/� \.n = (e^m-)° + �/-i.n � l_n, (_�V�l.n)m � (l\|n)w ~ \fn ^mn* := lfmn. Ce qui montre l'incons�quence de la r�gle.

§ 19. Apr�s avoir expliqu� la signification et la valeur des Exposants \/� \ .X, x ± \/� 1 .y , l'auteur sans avoir rencontr� d'autres formes non expliqu�es dans les Exposants, se proposait de d�terminer d�j� d'avance la signification des formes aK ' , a^ " aV qui pourront se pr�senter dans la suite.

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		D'apr�s la Th�orie donn�e il n'est pas difficile de d�ter- miner le sens de ces expressions, parce que les grandeurs complexes, p� 1 ,x, f�* � 1.x, p � 1.x, comme il sera prouv�, peuvent toutes �tre transform�es en formes complexes A ± j/� 1 . B , dont la signification comme exposant est d�termin�e. Cependant il a �t� cette partie de la Th�orie, parce que ces grandeurs exponentielles ne se pr�sentent pas jusqu'ici dans les Math�matiques et elles ne peuvent se pr�senter comme suites des Op�rations et des r�ductions appliqu�es aux grandeurs exponentielles connues a± ^x, a± , a±'^> �1., _ax±V � l .y.* S'il arrivait cependant qu'on en demandait la significa- tion en les pr�sentant non comme r�sultat de quelque op�ration ou r�duction , mais comme expression donn�e , on peut en d�m�ler le sens d'apr�s la Th�orie d�montr�e. Quand on demandait si le sens , d�termin� de cette mani�re d'apr�s la Th�orie, sera aussi le sens que les formes auront dans la suite, quand ces expressions se pr�- senteront dans les Math�matiques , comme la cons�quence de progr�s faits dans cette science , la r�ponse devra �tre que la signification d�termin�e maintenant ne sera certai- nement pas celle que ces formes auront dans la suite, � ces expressions ne pourront entrer dans les formes expo- nentielles � la suite des op�rations et des r�ductions con- nues et suivies jusqu'� ce jour ; elles ne peuvent y entrer que par quelque nouvelle substitution , � l'exemple de la substitution de j/ � 1 dans les Exposants ayant montr� la signification toute particuli�re que ces Exposants ont acquise, il n'est pas possible de fixer d�j� d'avance le sens de ces Exposants avant de conna�tre les substitutions ^et les r�sultats qui en d�rivent.

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		§ 20. Les nombres Imaginaires et les formes complexes dans les Fonctions goniom�triques et les cyclom�triques. � Les formules suivantes sont connues : ^e? �f � f f cos/� 1.P= -f- ; sinv/� l.p = 2pEf- En consid�rant la mani�re , dont on est parvenu � ces formules, les cons�quences tir�es de l'analyse n'�tonneront pas. Par la substitution de (/ � 1»P � 9, on a obtenu _eV�l(V-l.j>) qu'on dit �tre �gale � e^_?. Dans l'analyse des Exposants il est prouv� que \/�1 n'est qu'un signe indiquant que le nombre suivant marque les degr�s de la direction de la puissance , et non comme dans les fonctions ordinaires, renfermant en soi la direc- tion de la grandeur � laquelle il est joint, \/ �\.x � #j90. \/ � 4 dans les Exposants n'est qu'un signe, rien de plus , servant simplement pour exprimer ce qui vient d'�tre dit ; � on doit observer cependant que ce signe n'est pas introduit dans les fonctions comme tel, c. a. d. sciemment. Sans le vouloir, sans le savoir le signe est entr� dans l'alg�bre avec la signification, trouv�e par l'analyse des fonctions o� il se trouve ; � ce signe ne suit pas les r�gles des facteurs de direction, n'ayant pas de valeur num�rique , c'est pourquoi les formules dans lesquelles on a appliqu� � ce signe les r�ductions ordinaires , ont pour r�sultat d'avoir la signification et la valeur, qui en sont d�duites. Pour e^^/r~~l(^t/� I-p) on a mis e~f ; la vraie valeur au contraire est: **V�l(f-l.f) = tfy � \,9 =*** cos j/ � 1. 9 + \/ � 1. sin \/ �1. 9.

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	Pour gV^�1( �V�l.p) on a mis e?\ la valeur est _el/-_l(_K--4._P) _ ₁\|__v/_₁._?) _ cos�v⁷�l.P+l/�1. sin�j/�l.p = cos v⁷� LS"� V�!� ^sin V⁷� !� S"» D'o� il suit qu'on a pour la somme : _el^_l(K--L_?)-\|__eI^_l(-l/_l._?!) ------------------------_----------------------- =cos(i/�l.p). Il est donc clair, que la formule tr�s connue cos y�1 . <P = ^e?> ⁺ ^e ⁹ est identique, quand on met � la place de e? et e~ ? les valeurs v�ritables , d�duites des �l�ments d'apr�s les r�gies prouv�es , tandis que par une op�ration inexacte, on a obtenu le second membre de la iormule cit�e. Par l'analyse des deux formules connues , on trouvera que les membres au lieu d'�tre identiques , m�nent � des absurdit�s , ce qui ne devrait �tre, si les r�ductions suivies �taient exactes. De cos (y� 1 .9) = ^e-^Il e~f � eP

et sin {y� 1 � 9) = \|pP on d�duit: %=?-f-v/-l^E/ = cos y�\9+ \/�i .sin(i/~l.p); le second membre est �gal � 1\\/ � 1 tp. Par r�duction le premier membre devient : e? _± e-9 e-J-^P_ _ 2�^ ₌- p _ J_ 2 2 2 P. 1 par cons�quent on a : � = If]/■� 1 . tp.* i �z. est une valeur num�rique absolue ; la direction est er donc f 0 = positive ; cette direction doit s'accorder avec la direction indiqu�e \\/�l.f , d'o� il suit que !a direc- tion de l'arc imaginaire est = 0 et \/� 1 . 9 = 0. 3

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	Quelle que soit la signification de j/� 1 dans cette expression, toujours 9 devra �tre = 0 ; car si \/�1 a la m�me signification que dans les fonctions ordinaires ou dans les exposants, 9 devra �tre = 0 , pourque j/�1 .9 soit �gal � 0 ; 9 donc ne pouvant �tre que 0 , les valeurs absolues s'accordent de m�me : i i 1 -^=^i = j = l;la m�me valeur absolue, qui se trouve dans lfi/� 1 . 9 = lfl/� 1.0� lfO. Par cons�quent il est prouv� par l'analyse que ces for- mules tr�s connues sont fausses.

				_ _e^-l.?> ₊ _e-)/-l.p
				_ _e^-l.?> ₊ _e-)/-l.p
		Des formules cos 9 =

			� «, y�1-9 �e� V-^-9 sin 9 = �
			� «, y�1-9 �e� V-^-9 sin 9 = �
2(/- 1. on obtient par la substitution de (x + j/�1 . i/) � p , et par quelque transformation les formules connues : cos (X + y � 1. y) = cos a; «Lt�Z � l/ � 1. sin x ^e�szf-L sin(a> + i/�1 -2/) = sin a; ^eV + ^e~^y + V� 1 .cosa�z�2. Par l'analyse pr�c�dente on sait la valeur de l'arc mar- quant la direction indiqu�e par (j/�1 . ip) d'o� il suit que dans les formules cos (x + \/�4 .y) et sin (#■+� j/�l.y) la valeur absolue de y est = 0. Les deux formules se r�duisent par l� � : cos (x+V�i.y) = cosX^±fl^ \|/�1. sin x^^� = cos X ~y-----y � i. sin x �^� = cos x. cos X + i/-�l.r/ est donc = cos X. de la m�me mani�re on aura : sin (x-h \/�1 .y) = sin a?.

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		§ 21. La grandeur Imaginaire \/�1 . y dansles fonctions gonlom�triques. Cos. sin (j/ � 1 . y) et cos. sin. (x-i-[/�1 . y) n'a ni valeur complexe, ni absolue, et par cons�quent dans ces expressions elle est r�ellement imaginaire. Il n'�tait pas difficile de trouver a priori la signification d'un tel arc. � Le cercle et l'arc sont des lignes courbes toutes d�termin�es dans leur courbure ou leur direction , d'o� l'on peut d�duire que l'arc j/�1 .?, par rapport � l'arc ± f ne peut avoir quelque r�alit�, quelque sig- nification. En prenant sur le cercle un point o comme origine , les degr�s peuvent �tre compt�s dans des directions oppo- s�es , mais outre ces deux directions il n'y a pas d'autre, ce qui est indiqu� cependant par j/�^-Pi d'o� i' ^su^ directement que cet arc d'une autre direction , qui n'existe pas , doit �tre regard� comme imaginaire , impossible, qui n'�tant pas r�el ne peut avoir une valeur r�elle. Voyez Fig. 11. Les arcs AC et AC' se trouvent dans la direction par rapport au cercle d�crit par OA de devoir �tre indiqu� par \/� 1 . AC , \/� 1 . AC'. § 22. Lies formes complexes dans les Fonctions cyclom�triques. � Dans les cours de l'Analyse alg�- brique on trouve � encore les fonctions cyclom�triques en formes complexes , p. ex. : arc sin (\| -j- \/� 1 . v) = X + j/ � 1 . y; ce qui signifie sin (x + (/� 1 . y) = \| -f- \|/� 1 . n. En substituant dans le premier membre la valeur pr�- tendue , ils parviennent aux �quations , par lesquelles les valeurs de � et ij doivent �tre obtenues. Par la substitution de ces valeurs on a :

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sin sa ^e + ^e -+- i/� 1 cos x ^eV ~^e = � _i_ i/� 1 . >,- 2 2 * de l� les �quations : �y ,_P-y _y �y �y sin x ^e ⁺ '- = \| ; cos X e �e � ^_ 2 2 Dans ce qui pr�c�de la valeur de ]/■�■ 1 . y est d�ter- min�e dans les fonctions goniom�triques sin (x + V � 1. /) pour savoir la valeur de y. Les �quations sont par l� : sin X ^eo+f* -t- \/� 1 . cos X eo � e�o � g _{. j/ � /[_ ^ sin # . 1 + l/ � 1 . coo a; . 0° = g .j. j/ _ 1. ,j. ce qui donne sin ^b = g , cos « . o = O = >j. La formule Arc sin (g -{- \|/� 1 . y) ₌ a; -\|- y/� 1 ,'y, ne signifie par cons�quence que : arc sin \| = « ou sin iC = K.

	Dans ce qui pr�c�de on a trait� tous les cas o� se pr�sentent les grandeurs imaginaires, les formes complexes ; pour tous ces cas on a trouv� la signification et d�ter- min� la valeur tant absolue que complexe ; � plus tard il sera trait� encore la question des Logarithmes, savoir la mani�re de d�terminer les Logarithmes des nombres complexes en g�n�ral, d'o� l'on d�duira ceux des nombres imaginaires et des formes complexes.

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		Application de la Th�orie aux diff�rentes op�ra- tions avec des grandeurs Imaginaires et des formes complexes. § 23. R�duction de toutes les Formes imagi- naires et complexes � la forme X -+■ \/ � 1 . y _et R\f.* � Il est dit que toutes les grandeurs imaginaires et toutes les formes complexes , en g�n�ral tous les nom- bres complexes peuvent �tre r�duits � la forme X -�- \/� i.y, qu'on peut transformer apr�s � la quantit� complexe R^tp. Toutes les grandeurs imaginaires sont comprises dans les formes p � a , �/ � a. s Il est donn� jV � a ~ V � a = $/ � l.jj^a. � Soit iy a un nombre d�termin�, rationnel ou irrationnel ; JK a = A. f/ � 1 = (cos 45° + \/�- 1 . sin 45°) � 4f45°. On a : J^ � « = .4(cos 45° + \/� 1 ■ sin 45°) = A cos 45° + V � 1 . A sin 45° = V» ^1/2 + 1/-1. % AV± Ce qui donne t^ � a r�duite � la forme complexe x -f- i/ � 1 . y. 3 Soit donn� ]V � b = V � b = \V � 4 . f/ b . � $/ b = B et d'apr�s ce qui est prouv� on a : 1?/ � 1 = p2i° = (cos 22\| + ]/� 1 . Sin 221°). D'o� il suit : f � b = B(cos 224 -f y/� 1 . sin 224) = -Bcos 22J-f y^,� i.Bsm22_i. La valeur num�rique de b �tant donn�e, la valeur absolue des deux termes est connue par les valeurs de cos 22 >. et sin 221 ; � ainsi la grandeur y/ � b est transform�e � la forme complexe x -f- V � ^ � V-

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Il ne sera n�cessaire de donner d'autres exemples de 'a forme �. � X p. ex. p' � a ■=. p' � 4 . p" a. Soit p' a = A ; on ne devra se borner � la valeur p' � 1 = -0/ \/ � 1 = j/ � 1 = \|90° , pour avoir les 10 diff�rentes valeurs de p' � 1 . Des formes complexes comme A(cos a. ± j/�1 . sin /3) se transforment d'abord en X -f \/�1 .y, quand on sait les valeurs num�riques de A , a , /3.

	�tant donn� a -\- $/ �'1.6; on r�duit premi�rement d'apr�s ce qui pr�c�de 1^ � 1.6 � la forme � -[" j/ �1 . y, de sorte que la forme sera : *(a + X) + V* � 1 . y.** Ces exemples suffiront pour montrer que toutes les for- mes quelque compliqu�es qu'elles soient et quel que soit le nombre des termes, peuvent �tre transform�es � la forme complexe, X -j- ]/ � i.y, quand les valeurs num�riques sont connues. Un seul exemple montrera le r�sultat de ces r�ductions. � Quand on demandait la valeur de f�/�1.1000; la r�ponse serait : c'est une grandeur imaginaire, impossible, dont la valeur est nulle. C'est la r�ponse d'apr�s la Th�orie ordinaire ; il n'en est pas ainsi, quand on d�termine la valeur d'apr�s la nouvelle Th�orie. 1^�1.1000 = 1000t\| = 1000(cos22J + V/�1. sin22i) = 1000 cos 221 + y�-1. 1000 sin 22* = 1000. 0.92388+ {/ � 1. 1000. 0,38628 i= 923,88 -j- y�1. 386,28. La valeur r�elle de /lF�1. 1000 est donc /923,88, et de plus on a la valeur imaginaire de /386,28. Dans les Annotations il sera trait� de la valeur et de

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		la signification des grandeurs imaginaires , comme gran- deurs complexes, dans un sens concret. § 24. Application. Sommes, Diff�rences. � Suppos� que les formes donn�es toutes compliqu�es qu'elles soient, sont d�j� r�duites � la forme complexe X + \/�1. y. On demande de trouver la somme des formes complexes : (a±\/�l.b); � (a'± \/�l.V); (a"± y/� 1. b"). Soit a � a' -j- a" = A. V� 1 \±b=hb'±:b") =±\/�\.B. On aA±\/�1.2? = R(cos<P±V�l.sinP). R = V j A² + 2?² J ; 9 = arc. tang =~ Il ne sera n�cessaire de donner d'autres exemples plus compliqu�s, ni de transporter l'exemple en figure pour l'expliquer davantage. § 25. Produits. � Dans la Th�orie il est prouv� que les facteurs directifs suivent la r�gle des Exposants dans la multiplication. a ja. b\� = ab \U -f /3). Puisque toutes les grandeurs imaginaires peuvent se transformer en formes complexes, la multiplication est r�duite � trouver le produit de (x_±\/�i.y) (x'�zV�i-y') et en r�duisant ces formes en nombres complexes Rf�, on a � la fin : (x±V�l.y) (0±:\/� i.y') = R\ ± f' . R'\ ± <p' = RR'^dzi? + ?')■ Ce dernier produit peut ensuite �tre transform� de nouveau en �+ \/�1. y. On demande le produit de : (8 -\|- T/�1.6) (4 � V�1.3).

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		8+ V�1.6 = V (64 4- 36) \ arc tang \| = 10f36°52 . 4 � ]/� 1. 3 = i/(16 + 9) f » » 3\| = 5f-36°52'. Le produit est 50f(36°52' � 36°52') = 50f0° = + 50. Le r�sultat prouve la validit� de la Th�orie. § 16. Lie Th�or�me de Moivre. � Ce Th�or�me suit imm�diatement de ce qui pr�c�de , car le produit de diff�rentes formes complexes n'est que le produit des nom- bres complexes R\?* , qui pr�sentent la valeur sous une forme plus simple. � Quand on a R (cosP -f \/� 1- sin 9) = R\? R' (cos�" + y/�i.sm<P') = R'\?' R" (cos ?" + V� 1. sin ?") = R"\?" Le produit sera = RKR"\ (? + ?'-+- ?") = RR'R" \cos(? 4-P' + �>")+ i/�1. sm(?+?' + ?")]. Le produit continu change en Puissance, quand les fac- teurs sont les m�mes , ce qui donne le Th�or�me de Moivre. R^spf � R³ (cos 3? + ]/� 1. sin 3�>)

	Exemple. � Quel est le produit de: (4 4. ^_1. 5) (3 + 1^�1. 3) ? � 1.5 = 5f45° = 5(cos45⁰+i/�l.sin45°). En substituant les valeurs de cos , sin 45° , on a : f/_1.5 = 3,5355 -1- /�1.3,5355. 4 4. j/�1. 5 = 7,5355 + /�1. 3,5355.

^�1.3 = 3f22^ = 3(cos221- f j/�l.sin22\|) par la substitution des valeurs on a: �,-�1. 3 = 2,77163 + /� 1. 1,14804. 3+i^�1.3 = 5,77163 + /�1. 1,14804.

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		Par la r�duction de ces formes complexes en nombres complexes , on obtient : j/{7,5355² + 3,5355²J f arc tang f§~ = 8,324f25°8'. Pour le second facteur : V \ 5,77163² + 1.14804² j f arc tang ^g = 5,884fii°15'. Le produit sera : (8,324f25⁰8'j \| 5,884fll°15 J = 48,98f36°23'. En suivant la m�thode ordinaire, on obtient : 12 + 12 i^- � 1 -f 15 lV � 1 + 15 'V � 1 . V � 1 � D'apr�s la m�thode ordinaire on ne peut aller plus loin avec la transformation ; � au moins on ne peut parvenir � r�unir les quatre termes de la forme en un seul. La question est : hes produits acquis de diff�rentes mani�res s'accordent-ils en valeur ? 12 = 12. 42 jF�1 = 12f221 = 12(cos22i+v/�1. sin 22) 15]K-1 = 15f45 = 15(cos 45 -f ]/�1. sin 45) 15]K�1i^�1 = 15145, 221- = 15(cos67'-\|- J/-1. sin 671). Par les valeurs num�riques des cos sin on a : 12 = 12. 12 1^ � 1 = 11,08656 + 1/�1- 4,59216. 45 jK � 1 = 10,60650 + V �* 1.10,60650. 15 f ~ lf/ � l = 5,74020 + {/�1.13,85820. 39,43326 + ,i/ � *� 29,05686. La derni�re forme complexe transform�e en nombre com- plexe donne : 1/J39,43326² + 29,05686²j f arc tang gg\| = 48,98 f 36° 23'.

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		§ 27. ttuutlcnts. � Un exemple tout simple suffira pour montrer et pour prouver la m�thode bas�e sur les principes pr�c�dents. Soit donn�e la forme g�n�rale a\iy � b + ]y � c + ^ � a. *tr � e-p-f.* Les nombres g�n�raux �tant donn�s , qu'on obtienne par la r�duction : 4 + V" �1.3 _ 5 ^ arc tang j. _ 5^36» 52' 9+1/" �1.2 � 1^85^» » \| V 854 12"32' = A �²⁴°²⁰ = V ^ t²²⁰' =** V 1 (cos 24° 20/ + v/ � 1 � sin 24° 20') = V/ -M 0,91146 + t/ � 1 � 0,41204 J = 0,4941 + V � i . 0,2235. D'apr�s la m�thode ordinaire on aura : 4 + l/ �1 .3 _ (4 + K" � 1.3) (9 � V" � 1 ■ 2) 9 h- v _ -i. 2 81+4 = 0,4941 + Y � 1 . 0,2235. Ainsi les quotients obtenus des deux mani�res sont les m�mes. Remarque. � On dira peut-�tre , la m�thode nou- velle n'est pas plus courte que l'ordinaire. La r�ponse sera : dans cet exemple, mais en sera-t-il de m�me dans tous les autres ? La m�thode ordinaire peut-elle �tre appliqu�e � toutes les formes imaginaires quelque compliqu�es qu'elles soient ? Et encore la nouvelle m�thode n'exclut pas l'ordinaire ; � dans les exemples on se- sert de la m�thode quiest la plus convenable. La nouvelle m�thode se pr�te � toutes les formes ; � le quotient peut toujours �tre transform� � la forme com- plexe (x -j- y/ .�� 1 . y) ou au nombre complexe R\f.

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	§ 28. Puissances. � On r�duit d'abord la forme quelle qu'elle soit en (x -\- \/ � 1 . y) et en R^?. On �l�ve le nombre complexe R^9 � la puissance vou- lue , qui apr�s est transform�e en forme complexe. Exemple. Quelque polyn�me imaginaire doit �tre �lev� � la 3^me puissance ; soit que la transformation donne la forme : (4 + y/�1.3.)3 - j5farc. tang ~ J = { 5f36°52'js - 125f440°36'. D'apr�s la th�orie ordinaire on ne sait faire les pre- mi�res r�ductions pour parvenir du polyn�me � la simple forme complexe. En employant le Binome on a : (4 + y/� 1. 3)» = 4³ + 3. 4* V � l. 3 + 3. 4. <y �-1. 3)^a + (i/�1. 3.)^s = 64 + ^/� 1.144�408�i/�4.27 = �44 + 1/�1.H7 = 125. 04j>110⁰36^/. Les r�sultats prouvent l'exactitude , et la nouvelle m�- thode par sa g�n�ralit� pourra bien �tre compar�e � l'ordinaire pourque la d�cision soit � son avantage.

§ 29. Racines. Pour montrer la justesse de la m�- thode , un exemple de l'extraction du 2^me degr� sera pris premi�rement. l/{2 + 2i 1/15} = /5 + t i/3. C'est la racine obtenue suivant la mani�re ordinaire. D'apr�s la nouvelle m�thode on a: 2 -f- 2 \/~ 15 = i/64\|arc tang \/\b = 8f arc tang i/15 ainsi i/{ 2 + 2 v/�15 } = i/(8\|arc tang i/45) = 2(/2\|^ arc tang j/15.

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	Log j/15 = 0,58804 = tang 75°31'20" 2-------------------- 37⁰45'40" = a %/\l -f 1y� 15} = 2j/2 jcosa -f »/�1 sin aj. Log y8 = 0,45154 Log cos a - 9,89808 0,34962 = Log 2,237 = Log j/5. Log j/8 = 0,45154 Log sin a = 9,78702 0,23856 = Log j/3. On a par cons�quent : V { 2 -f 2 ij/15 J = 2_k-2f37°45'40^// = »/5 + ,/�1. j/3 = j/5 _+_ j/_3.

Il serait moins facile d'employer la m�thode ordinaire pour trouver la racine d'une forme imaginaire quelle qu'elle soit et de quelque degr� que ce soit. Demand�e la racine : jy (4 ₊ y� 1. 3) = j4/(5f 36°52') = jK5f9°13'. \|K5 (cos 9°13' + y�1. sin 9⁰13') = 1^5 (0,98708-fj/� 1.0,16016) �1,476 + j/�1.0,2395. L'avantage de la nouvelle m�thode bas�e sur la Th�orie pr�c�dente se manifeste par sa g�n�ralit� dans toutes les op�rations , surtout dans la Multiplication , la Division , l'El�vation aux Puissances et l'Extraction des Racines de quelque polyn�me et de quelque degr� que ce soit. D'apr�s la m�thode ordinaire dans l'El�vation aux Puis- sances et dans VExtraction des Racines , on ne peut que transformer le polyn�me en bin�me et y appliquer la for- mule du Binome ; � on obtient de cette mani�re des polyn�mes ou bien des s�ries infinies, dont les termes pour la plupart sont imaginaires, desquels il serait difficile si

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	non impossible de r�duire la valeur � la forme complexe **(x + V�4. y).**

§ 30. Conclusion. � Apr�s avoir divis� les nombres en absolus et en complexes ; apr�s avoir distingu� les facteurs des nombres complexes , en facteur de la valeur num�rique absolue , et en facteur de la direction ; � apr�s avoir trouv� la signification et la valeur de tous les fac- teurs de la direction , tant directe qu'indirecte , comme aussi les r�gles que ces facteurs suivent dans les diverses op�rations et r�ductions , on peut regarder comme prouv� ce qui suit : Que les nombres imaginaires, impossibles etc. n'existent- pas , except� dans les fonctions goniom�triques et cyclo- m�triques � forme imaginaire et complexe ; � ce sont tous des nombres r�els , possibles , qui ont une valeur r�elle. Qu'il est prouv� par la d�termination de la signification qu'on peut marquer la valeur absolue et la complexe de tous les nombres et de toutes les formes , et les r�duire � la forme g�n�rale X-h yi, y oi � la valeur num�rique complexe i?fP, et encore que quelques op�rations et quel- ques r�ductions tr�s difficiles ou bien impossibles d'apr�s la m�thode ordinaire bas�e sur la Th�orie g�n�ralement suivie sont r�duites � des r�gles et � des op�rations bien simples et toutes g�n�rales. Pour compl�ter la signification et la valeur des nombres complexes il reste de trouver la signification r�elle , con- cr�te de ces nombres qui jusqu'ici ne sont trait�s que dans un sens abstrait ; mais de m�me qu'avec les grandeurs n�gatives , qui parfois ne permettent pas dans les r�sultats de la solution des �quations , d'en trouver la signification concr�te , il arrivera avec les grandeurs imaginaires de ne

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	pouvoir indiquer la grandeur concr�te , r�pondant � la for- me imaginaire ou complexe. Les regarder cependant d'abord comme absolument imaginaires , c'est tomber dans l'ancienne erreur avec les nombres fractionnaires et les n�gatifs, qui furent consi- d�r�s bien un temps, comme impossibles, imaginaires dans les r�sultats de la solution de plusieurs �quations. Dans l'Arithm�tique les nombres ne sont qu'absolus, sans facteur de direction ; dans l'Alg�bre la direction ou la situation positive et la n�gative seules sont regard�es comme r�elles ; les autres , dont on ne savait la signifi- cation , sont jug�es imaginaires , impossibles. Le chapitre � part sera vou� � prouver que ces gran- deurs ne sont pas toujours uniquement abstraites , mais qu'elles ont pour la plupart une signification toute con- cr�te , et de plus qu'elles trouvent leur application dans bien des cas concrets.

S 31. Logarithmes. La Th�orie qui vient d'�tre expos�e conduit d'elle-m�me par ses principes sur les exposants, � la question des Log. des nombres n�gatifs. L'auteur ne commencera pas � r�p�ter le pour et le contre que les math�maticiens Bernoulli et Leibnitz, oV �lembert et Euler, et tant d'autres ont �crit sur les Log. des nombres n�gatifs. Il est connu qu'on a laiss� le dernier mot � Euler et que dans l'opinion presque ou toute g�n�rale l'id�e d'Euler est regard�e comme la vraie. Euler s'est prononc� de la mani�re suivante : Tous les nombres positifs ont un nombre infini de Log., dont il n'y a qu'un' seul de r�el ; Tous les nombres n�gatifs ont un nombre infini de Log., qui sont tous imaginaires.

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		Les formules fondamentales des Log. dans les divers syst�mes sont : e^x = y ; x � L. y. \0^X = y ; x = Log. ?/. a? = y ; a? = Log. y. Il suit de ces formules et des propri�t�s qui en d�rivent, que toute la Th�orie des Log. est bas�e sur les Expo- sants ; car le Log. d'un nombre n'est que l'Exposant de la base d'un syst�me , marquant le degr� de la puissance � laquelle la base doit �tre �lev�e pour avoir le nombre. Dans la Th�orie les Exposants sous toutes les formes sont analys�s ; la signification en est indiqu�e , la valeur est d�termin�e de Y Exposant comme aussi du nombre dans toutes ses formes, et par l� il est d�montr� que pour chaque nombre complexe on peut d�terminer l'expo- sant de la base ; le nombre complexe pris dans la direction directe ou dans l'indirecte. § 32. La formule e^x � y ; x = L. y, se rapporte aux Log. naturels. Il vaudra mieux prendre pour formule fondamentale : ax � y ; y � Log. x. puisqu'on a d�j� donn� des raisons, sur lesquelles on reviendra dans le Compl�ment, qui permettent de pr�- tendre que la direction indiqu�e par le signe \/� 1 dans les exposants , est ind�pendante de la valeur absolue du nombre a. Les nombres jcomplexes ±oc comme exposants, se rap- portent aux op�rations : a^x � a+ * = 1 . aaa___, a~^x � � ' aaa.... Les autres exposants en nombres complexes ne peuvent avoir que les formes ± j/ � 1 . x, ± (x + j/ � 1 . y). a± V � 1. x � i \| + _xo . _ax±V �i.y � _ax \| _± yO_t Les expressions de la forme ai^ � ^-^x � e±V �i.«

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		48 = 1 f ± X ne sont autre chose que des mani�res d'in- diquer les facteurs de la direction dans les nombres complexes. En passant de la derni�re formule aP±V �1-2/ � a«\| ± y. aux Log. on a : a? ± j/ ■� i.,y^=zx-\-^/\±y � Log. a^x/\±y. Cet exemple renferme la solution de la question sur les Log. des nombres complexes en g�n�ral, et en parti- culier celle sur les Log. des nombres n�gatifs. Quel est le Log. du nombre -+- A ? *± A = ± 1. k = A$l.* Soit A = ap , + A = A^O = A^lrnr ; _ap + y-i.0 - ap + i/�i.%Mt = ₊A et p + j 0 = p + � In-x � Log + A de m�me on aura pour � A^k � A\n ₌ ^4\|(2w + 1)/t. et �> + f 5T = p + f (2w + l)�r = Log � J.. Ainsi le Log. de chaque nombre complexe est un nombre complexe , represent� en forme complexe ; la situation, la direction du nombre complexe, dont on cherche le Log est jointe dans l'Exposant � sa valeur absolue par le signe \|/�1 , et toujours les directions du nombre complexe et du Log. ou de l'Exposant sont parfaitement �gales. Dans la question des Log. il n'est pail� d'autres nombres que des n�gatifs , on pourra donc compter que l'affaire est termin�e par ce qui pr�c�de ; on peut la juger d�cid�e math�matiquement. § 33. Il sera � propos d'ins�rer ici le principal fonde- ment sur lequel Euler basait son opinion. Cette base �tait la formule : _ex + V� i.y = e^x(cosy -j-1/�1. sin y).

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		D'apr�s la Th�orie cette formule peut �tre �crite : _ex+t/�l.y _ _ex(cos y -f \/�1. sin y) = ^ f y. De cette formule il a tir� les suivantes: _eL.(i + l/-1.2»ar _ _a _ .j. _a> _eL.a+t/�l.(2w+l)�ir _ __ _a et Log. a � L. a -f- 2jnr.» Log. � a = L. a -f (2 n -f l)x . t. La signification de i = \|/ � 1 . dans les Exposants est d�montr�e ; il est indiqu� la signification de 2»x comme expression g�n�rale de la direction indirecte -f 1 ou de la direction positive, la base des directions. La signification de (2 n -f l)z" comme expression de la direction indirecte de la direction n�gative est indiqu�e en m�me temps. Euler dit : Tous les nombres positifs ont un nombre infini de Log., dont un seul est r�el, les autres sont tous imaginaires. Ce nombre infini de Log. de -j- ^a ^es* renferm� en : Log. a = L. a -f* 2. m �j- . i pour w₌ o. Log. a = L. a-f 2.o. tt. i = L. a -f o.i =L.« -f- fo m = 4. » = L. a -f 2t . i =L. a-ff25T �L.a-\|-fo» w =2. » = L. a -j- -fer . i = L. a-f-\|4;�-= L. a-ffo» et ainsi de suite pour n ad infinitum , toujours on a : Log. a = I. a + 2 K !T . i = L. a +\| 2)ix = L,a + 'fo« ainsi tous les Log. de a ne sont que L. a -j- fo», c. a. d. Log. a avec la direction positive. Les Log. d'un nombre positif sont donc tous le Log. du nombre absolu suivi de la direction positive, exprim�e d'une infinit� de mani�res, qui toutes ne signifient que la direction positive. La direction directe ne s'exprime que d'une seule ma- ni�re ; l'indirecte d'une infinit� de mani�res, qui toutes n indiquent que la m�me direction. 4-

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		De la m�me mani�re on explique le v�ritable sens de l'infinit� des Log. imaginaires des nombres n�gatifs. Log. � a = L. a + (2 « + 1)tt . i pour n = o. Log. � a � L. a + tt . i ~L.a + jV n = 1. s = L. a + 3/T . i = L. a + JV n = _w » � L. a + (2 u + 1)3-. i = L.a + fw. Ainsi dans l'infinit� des Log. de � a tous sont L. a + fsr c. a. d. Log. a a»ec Za direction n�gative. L'infinit� est donc l'infinit� de mani�res dont on peut exprimer une direction par la direction indirecte , laquelle cependant n'indique que la m�me direction. Pourquoi ces Log. sont-ils tax�s imaginaires? Parce que dans tous on trouve le signe i � \/ � 1 , dont on n'a pas compris la signification de direction = f. Quelle est maintenant la traduction de la Th�se de Euler ? Tous les nombres positifs ainsi que les n�gatifs n'ont qu'un seul Log. pour chaque Base. Ces nombres positifs et n�qatifs , comme nombres com- plexes , ont dans leurs Log. le signe de leur direction, exprim�e non par un facteur dans le Log., mais par un terme uni au Log. absolu par le signe + suivi de i = V � 1 = \|. La direction positive, ainsi que la n�gative, peut �tre exprim�e d'une infinit� de mani�res , qui toutes ne signi- fient que la direction positive ou la direction n�gative. \ 0° = f2«,r = + 1; -t* = t(^2w + !>■ = � ^d- La valeur num�rique de ces directions comme h�t�rog�ne avec le Log. absolu ne change en rien la valeur absolue du Log. , qui dans le sens primitif et propre n'est qu'un nombre abstrait, absolu, tandis que le nombre qui se trouve apr�s le signe \/ � 1 . marque le nombre des degr�s de l'arc , mesurant la direction , Log. � 100 = Log. 102 + 1^-1.180 - '2 +f 180«.�

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		51 ou la longueur de l'arc exprim� dans la longueur du rayon du cercle prise pour unit�, Log.- 100 = Log. lOS + J^-!�<� 2+!/ �1.3,1445926. Dans le dernier cas 3,1415926 a la valeur concr�te de 3,14 � rayons du cercle* pour marquer la longueur de l'arc, mesure de la direction ; 2 n'�tant qu'un nombre abstrait, absolu. Pour faire ressortir l'absurdit� il suffira de prendre pour exemple : Log. + 1 = \|/ � 4.2»�r=f2n�r; Log. � 1 = V � 1 . (2 n + 1> = \|(2 n + 1)t en donnant � n les valeurs de 0 , 1 , 2 etc. on dit: Log. -f 1 = 0 ; 1/ � 1.2X 3,14 ; ]/ � 1 . 4 X 3,14 etc. Log. � 1 = y � 1 . 3,14 ; y � 1 . 3 x 3,14 ; 1/-1.5X 3,14 � ad inf. Pour se sauver de la contradiction, de l'absurdit�, puis- que dans tout syst�me Log. 1=0) on r�pond que tous ces Log. sont imaginaires. Le vrai sens de ces formules est : Log. -j- 1 = Log. ay~� 1 -2rear ₌ Log. aO + K"�1.2»jr = 0 + � 2 W 5T. Log. � 1 = Log. a^ � 1 (2»+l)w = Log. _a0i+I/--l.(2»+l> = 0 + � (2 n + l)a-. Signifiant que le Log. de Vunit� complexe est 0, et que la direction de cette unit� dans le premier cas est la positive, marqu�e par la direction indirecte ^ 2 n n = y/ � 1 . 1 mr. Dans le second cas la n�gative , marqu�e de la m�me mani�re g�n�rale par t(2n + l)r = V � 1 (2/i + l)x. Toutes ces valeurs comme direction n'ont que l'unique valeur de la direction directe \| 2 n TT = + ; \|(2 n + 1)tt - �.

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	§ 34. Pour montrer et pour prouver que tous les nom- bres complexes ont des Log., il est n�cessaire de r�p�ter premi�rement que toutes les formes complexes peuvent �tre r�duites en nombres complexes ; et que tous les nombres imaginaires sont des nombres complexes. Par la transformation indiqu�e de tous les nombres imaginaires et des formes complexes en nombres complexes les Log. de tous les nombres sous toutes les formes et dans toutes les situations sont trouv�s. Exemples. � Les Log. des nombres positifs et des n�ga- tifs sont d�j� indiqu�s. Le Log. de \/ � 1 . A ? V- i.A = A\|\| = aLog. A + V -1.90 ainsi Log. \/.� 1 . A = Log. A + \|90^a.

Le Log. de la forme �> � 1 . A ? Soit n = 5. tf"� i . A = A^ = aLog.4 + K_i.48_; pour ne prendre que la valeur de la direction directe. ainsi Log. f � 1 . A = Log. A + f 18-. Pour avoir toutes les valeurs de i^ � 1 . A, on n'au- rait qu'� prendre V � 1 . A = A f^ , A f *, A f^ etc.. jusqu'� A f-^-. La diff�rence des Log. ne serait que la diff�rence des directions , d'apr�s la valeur prise pour ]3^ � i.A.* Log. A t^ = Log. A + fl9.18°.

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		Le Log. de la forme ]J/ � 4 . A 1 Soit n = 3. �s�\.A = � �1 . J ₌ ^f� = aLog.^ + O--1.221. ainsi Log. �-----4.-4 = Log. .4 -f. j¹ 22*�. La m�me remarque sur les autres valeurs et les autres Log. des diff�rentes valeurs complexes.

		Le Log. de la forme ^y -j- A non imaginaire ? fy + A = A\° = aLog. A + V-l.o⁰. ainsi Log. ^ -f 4 = Log. J -f fo⁰. Il ne sera n�cessaire de parler des («�4) autres valeurs complexes.

	Dans la Th�orie il est montr� que tous les polyn�mes avec des termes imaginaires de toutes les formes peuvent �tre r�duits � la forme complexe x -f \/�4. y, quand la valeur num�rique des grandeurs g�n�rales est d�termin�e ; � chaque polyn�me de cette forme peut donc �tre trans- form� en forme complexe, puis en nombre complexe, dont on peut d�terminer le Log.

§ 35. Application de la Th�orie. � Demand� le produit de = � A X � B �, l'aide de Log. Log. � A = Log. (A f 7t) - Log. .4 -f jv Log. � B = Log. (.Bf O = Log. B + \ir Log. (-A. � B) = Log. AB = (Log. A + Log. B) + f2«- = (Log. A -f- Log. B.) + la direction positive.

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		Il sera � propos d'ins�rer d'abord une des bases de l'opinion de Leibnitz. Son argument �tait : quand � 2 avait un Log. , celui de \/ � 2 serait \ Log. � 2 , et un nombre imaginaire, impossible aurait dans cette supposition un Log. R�ponse. Log. � 2 = Log. (2 ^tt) = Log. 2 -f \ir Log. V � 2 = \ Log. (2 \s) = \ Log. 2 + \\. Ces �quations sont tir�es des �quations Logarithm�tiques d'une Base quelconque; pour la Base 10 on a: \�)x+V 1.180 � 2 \-�� = � 2. dans la table on trouve x = 0,30103. ainsi 100,30103 + V-1.180 - _ 2 ; Log. -- 2 = 0,30103+f^- encore 100,150515 +1/ - 1.90 ₌₁/2\|\|=_V^/"²- et Log. i/ � 2 = 0,150515 + j\|. Non seulement le Log. y' �- 2 existe r�ellement, mais encore on est en �tat de donner toute d�termin�e la forme complexe , qui l'exprime. Remarque. Les Log. des nombres complexes sont indi- qu�s en formes complexes. Il y a cependant une grande diff�rence entre les formes complexes ordinaires et celles marquant les Log. des nombres complexes. Dans les formes complexes ordinaires ic -j- \/ � 1 . y, les quantit�s x et y sont homog�nes et ne diff�rent que de direction ; ce qui n'est pas le cas dans les formes , indiquant les Log. p. ex. Log. a^x + ^ �1-2/ = x -{■ \/� 1 . y .= � -f- f y. Les quantit�s x et y ne sont pas homog�nes, a? �tant un nombre abstrait, absolu, y �tant un nombre concret, y = y degr�s ou y rayons du cercle. Les formes complexes marquant les Log. des nombres complexes ne peuvent donc pas �tre transform�es en nom-

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	bres complexes comme les formes complexes ordinaires . dont les termes x et y sont homog�nes. Le vrai sens demande qu'on �crive Log. a®+y � 1--V = « +�J/ puisque le signe \/�1 dans l'exposant n'a pas la signi- fication de v⁷�1 dans les nombres complexes ordinaires ou les nombres imaginaires \/� 1 . y = V�%' Cette distinction Euler ne l'a pas entrevue ; quand on lit ce qui se trouve dans les oeuvres math�matiques et sur- tout ce que Dr. Riecke a �crit sur les Log. dans son livre : die Rechnung mit Pachtung s zahlen, on verra qu'on prend le signe \/ � 1 dans !e sens ordinaire de la direc- tion \ - , ou de l'unit� complexe lf~.

			D�terminer � l'aide des Log. le product (j/�2) (j/�2). Log. i/� 2 = \| Log. 2 + f\| Log. V/-2 = ->Log.2 + \|\| Log. (i/- 2) <y - 2) = Log. - 2 = Log. 2 + fjr.

		Le quotient donnera : ^L°S- �^r\| = 0 + t0°;=0 = Log. 1.

Demand�e la puissance (y'■� 2)⁴ = 4. Log. V/-2 =iLog.2+t\|. Log.(v---2)⁴ = 4(iLog. 2 + f\|) = 2 Log. 2 + 12^ = Log. 2² -f j 0 = Log. + 4.

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	Demand�e la racine j^ � 16 = i(y � 1.2. Log. � 16 = Log. 16 + \n Log. $/ � 16 = \ Log. 16 -f- I 45° = Log. jK 16 -f \ 45° = Log. 2 + \ 45 = Log. (2 . fy � 1) = Log. j^- � 1.2. Ces exemples suffiront pour montrer la m�thode et pour prouver en m�me temps que la m�thode ordinairement suivie est celle, qui r�sulte de la Th�orie des Exposants dans les diff�rentes formes. On peut compter par ce qui pr�c�de que la question sera termin�e, d�cid�e non en faveur de l'opinion de Euler, mais pour r�futer ce que sur son autorit� ou suivant ses principes les math�maticiens pour la plupart jusqu'� ce jour ont jug� �tre vrai.

§ 36. Avant de quitter le sujet il est n�cessaire de juger les autres fondements sur lesquels les deux partis basaient leurs opinions. Bernoulll fondait son opinion sur la ligne logarith- m�tique , pour prouver que les nombres n�gatifs de m�me que les positifs ont leurs Log. Soit dans l'�quation a^x = y, X l'abseisse et y l'ordonn�»; on voit qu'� la valeur X se rapportent toujours deux or- donn�es y, l'une dans la partie positive , l'autre dans la n�gative. � Ce qui s'accorde avec l'�quation , car a? = af � V a^�X = + y. ainsi X = Log. + y. En prenant les tables des Log. cette opinion est tout d'accord avec ce qui s'y trouve ; Dans les Log. de Briggs on trouve: Log. dOO = 2,00000 r�duite en �quation logarithm�tique on a :

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			57 1Q�, 00000 _ lOKW^ ₌ '»?»» IQ¹⁰⁰⁰⁰⁰ = ± 100. ainsi 2 = Log. ± 100. Leibnitz qui �tait contre la th�se que les nombres n�gatifs ont des Log. , suivait l'argument d�j� annonc�. La base en est jug�e ; il taxait les nombres dits imagi- naires , comme impossibles, non r�els ; il ne discernait pas les deux facteurs dans les nombres complexes , au moins il n'en savait la signification ni la valeur ; � surtout il ne regardait pas les Exposants des diff�rentes formes sous le point de vue expos� dans la Th�orie. Dans le temps de Leibnitz les Exposants de la forme l/�1 .X, x -f l/� 1 .y �taiert-ils d�j� connus? Il d�cidait sur les id�es g�n�ralement adopt�es ; son argumentation est cons�quente , mais la base en est fausse. Quelle aurait-�t� sa r�futation , si on lui avait present� le raisonnement suivant : Suppos� que (� 1) ne peut avoir qu'un Log. imaginaire, impossible, on aurait l'�quation suivante : Log. (� 1) = x = impossible 2 Log. (- 1) = 2 % ou Log. (� l)² = Log. -f 1 = 2 ^ Log. (+!)■= 0 par cons�quent 2^=0 X = 0 ■ ainsi Log. (-(- 1) = 0 = Log. (� 1).

		Encore Log. {y ■� 1) = % = impossible 4 Log. {y - 1) = Log. {y - l)⁴ = Log. (+ 1) = 4 _%ainsi Log. -f 1 = 0 = 4 x et x ~ Log- (y � 1) = 0 = Log. + 1.

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			D'o� il suit: Log. � 2 = Log. � 1 4- Log. 2 = 0 -f Log. 2. ce qui donne Log. � 2 = Log. 2 -{- 0 = Log. 2. Log. {y � 2) = Log. ^ �1 k2 = 0-f i Log. 2. et Log. \|/ � 2 = \| Log. 2 + 0=4 ^L°g- ²-

	D'Alembert se pronon�ait en faveur des Log. des nombres n�gatifs. Il fondait son opinion sur l'�quation ; il disait : e* = y₁ soit X = ^'. on aura : e& = � e» = ± y. et encore sur la ligne logarithm�tique comme il se trouve dans : Kl�gel, mathematisches W�rterbuch.

		La base de Euler est d�j� annonc�e et on a d�j� donn� la traduction de sa th�se , de m�me on a formul� ce qui en est des Log. des nombres complexes en g�n�ral, aux- quels toutes les formes complexes et les nombres imagi- naires peuvent �tre r�duits.

§ 37. Conclusion. On doit s'�tonner de ce que jusqu'� ce jour on n'a pas entrevu l'importance de distinguer dans les nombres complexes la signification et la valeur des �l�ments int�grants, et surtout de ce qu'on n'a pas observ� que les nombres dits imaginaires et les formes complexes dans les Fonctions exponentielles et les goniom�triques n'ont pas la m�me signification ni la m�me valeur que dans les Fonc- tions ordinaires. Encore de ce qu'on a n�glig� d'observer dans la direction l'influence, la port�e, non seulement de la directe, mais encore de l'indirecte.

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		Surtout l'�quation pour prouver le nombre des racines de l'unit� dans le sens o� on l'a pris, n'a pas contribu� peu � embrouiller les id�es, les opinions. La suite en a �t� qu'on a jug� imaginaires, impossibles des nombres et des grandeurs r�elles et qu'au contraire on a attach� la r�alit� et une r�alit� de valeurs infinies � des expressions, dont la valeur num�rique, absolue �tait nulle et l'infinit� de valeurs h�t�rog�nes avec la premi�re n'�tait qu'une. Toutes les obscurit�s dans les math�matiques � ce sujet et la dispute sur les Log., qui a occup� des esprits �mi- nents � diff�rentes reprises et durant un espace de temps si consid�rable sans parvenir � une d�cision compl�te , ne tiennent, apr�s ce qui vient d'�tre prouv�, qu'� des points en apparence de peu d'importance et de profondeur. Pour prouver que toujours encore on n'a pas devin� le vrai sens de ces sujets et la grande influence, qu'il a encore toujours dans toutes les parties des math�matiques, il sera certainement utile de relever les obscurit�s et les absurdit�s, suites n�cessaires de la mani�re dont on a regard� ces points, et de montrer en m�me temps, combien ces obscurit�s sont expliqu�es tout naturellement, de prouver l'absurdit� des cons�quences tir�es de la mani�re ordinaire de comprendre ces choses. L'auteur a pris � cette fin les oeuvres des premiers math�maticiens pour �tre s�r de ne pas critiquer des id�es et des opinions surann�es. Le compl�ment renferme la comparaison des principes des Th�ories ordinaires avec ceux, expos�s dans la Th�orie pr�c�dente.

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	TH�ORIE COMPL�TE

			DES

NOMBRES COMPLEXES DANS LES DIVERSES PONCTIONS.

		COMPL�MENT.

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		Sur le compl�ment- La Th�orie renferme les prin- cipes des nombres complexes dans les diverses Fonctions. Ces principes diff�rent de ceux , qu'on trouve dans les Oeuvres math�matiques ; il sera bien de r�pondre plus directement aux principes des opinions contraires en con- frontant les bases. Il ne sera n�cessaire de parcourir � cette fin toutes les Oeuvres math�matiques; la r�ponse aux Oeuvres prin- cipales sera en m�me temps celle aux autres. Quelques sujets , sur lesquels les opinions diff�rent encore beaucoup, demandent d'�tre trait�s plus au long qu'il n'est fait dans la Th�orie. Sur les signes ± et les quantit�s positives et les n�ga- tives ; Sur les quantit�s imaginaires ; Sur la signification concr�te des nombres complexes en g�n�ral , des imaginaires en particulier. Le compl�ment deviendrait trop grand, si l'on voulait comparer tout ce qui se trouve dans les livres de Vall�s , des Formes imaginaires en alg�bre; leur-interpr�tation en abstrait et en concret; Dr. Riccke , die Rechnung mit Pachtung s zahlen etc. , qui traitent sp�cialement les princi- paux points de la Th�orie ; ces deux livres cependant con- sult�s et compar�s par l'auteur m�ritent bien l'attention pour pouvoir se prononcer sur la diversit� des principes et des r�sultats par rapport aux nombres complexes dans les diverses Fonctions.

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		6-4

	Le compl�ment pourra �tre continu�, de sorte que toujours on pourra revenir sur des sujets oubli�s et r�pondre aux remarques , aux critiques qui seront faites.

Dr. Riecke , die Rechnung mit Richtung s zahlen. � Pag. 29. Note. La d�termination de la signification et de la valeur de j/�4 peut �tre regard�e comme le premier pas pour d�terminer les autres quantit�s imaginaires, en g�n�ral tous les nombres complexes. R. fait objection contre la mani�re de d�terminer i/�1 � l'aide de la moyenne g�om�trique; il dit qu'on a fait la faute de transporter sur les grandeurs complexes le th�or�me des quantit�s absolues. La remarque est juste, qu'il est fautif d'appliquer en g�n�ral les m�mes principes � ces diff�rentes grandeurs ; les math�matiques offrent beaucoup d'exemples dans les- quels on a suivi cette mani�re , qui a donn� lieu � bien des incons�quences et des absurdit�s. Fig. 1. R. pr�tend qu'au lieu de OA", O A'" on pour- rait conclure avec le m�me droit, que les lignes OB, OB/, OB'', OB'" etc. seraient les moyennes entre OA et OA', � de sorte qu'on aurait : OA : OB = OB : OA' + 1 :OB = OB : � 1. OB = y�i. Les lignes OA , OA' �tant des lignes complexes , OB , OB' etc. devront pour la m�me raison �tre prises com- plexes ; � la proportion sera : OA:OB = OB:OA; + 1 : lp = lff : �1.

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Il est tout clair que la proportion est fausse , quand on prend la ligne complexe OB comme moyenne entre OA , OA' � -f-1, � 1 == lfO, \\tt.; il en serait de m�me, quand on prenait pour moyennes les autres lignes OB/, OB" etc. en sens complexe. Les seules lignes complexes , comme moyennes entre OA et OA', sont les lignes OA" et OA'". OA : OA" = OA" . OA' ; -f 1 : lf\| = lf\| : � 1. OA:OA"'= OA"':OA'; -f 1 : lf�r.\|= lfr.?: � 1. Car on a : h� = ^5 = lff ; + 1. _ 1 = lfO. Ifsr =± (Iff)² ^5 = ^ = ni ; + i. - 'i ■= (if- f)" ⁼ 2 �1. l\|2jr.7T = lfV = � 1. Il ne sera n�cessaire d'expliquer l'�galit� de ces raisons ; la figure montre , que la diff�rence des directions est par- faitement �gale. L'objection de R. n'est donc pas fond�e , et on ne s'est pas tromp� de baser la signification de ]/�1 sur la d�monstration , qu'en fournit la G�om�trie, quand on prend les grandeurs non comme absolues mais comme complexes.

	lia formule t � � 2j/� 1 . L \/� 1 . dite d'apr�s Montucla trouv�e par J. Bernoulli. Hliigel, mathem. W�rterbuch. D \ Riecke , page 76 § 46. R. a d�riv� cette formule de (j/� 1)^�1. D'abord il t�che de trouver la valeur de {\/�l)" � i 5

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Par cons�quent il dit: (]/� 1)K-1 = (_et/-l.\|)l^-l = _e-l = 0,2078... R. regarde par cons�quent \/�1 , l'exposant, comme ayant la valeur de 1^?. Dans la Th�orie il est prouv� , ce qui en est de cette supposition.

			De _V�\ = _eK-l._§ ; LV-1 = 1/-1. J, il obtient jt = � 2 v⁷� 1. � V⁷� *�

		Analyse de cette solution. Quand on �tudie , ce qui se trouve dans Rieche , Kl�gel et d'autres, on voit que l'exposant \/� 1 est pris dans le sens de j/ �1.1; y/� 1 pris dans ce sens , on a : (j/_ 1)1^-1 = (lj\|)0 + K--l.l ₌ lo\|io _ ₁\|₁0₎ ou si l'on veut 1\|1° = 1 (cos 1°+ \/�1. sin 1°). C'est l� d'apr�s la Th�orie la signification et la valeur de (y� 1)V �1 et non 0,2078____

	\|/�1)1^�* peut aussi �tre pris comme signifiant: (j/ __1)V-1.0 = (!/� 1)° + 1^-1.0 ₌ 1\|0= +1. Dans les exposants i/ � 1 n'est qu'un signe , rien de plus, pour indiquer que les nombres , qui accompagnent \/� 1, comme \/� 1.00, x V� 1 , donnent les degr�s de la direction, \/-~l.oc � X \/�1 = �#°. Puisque dans {y/�l)¹^^¹ l'indice n'est suivi d'aucun nombre, on peut compter , et avec plus de raison, que la direction manque, de sorte qu'on a :

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			(j/_l)K--l =(\|/� 1)V^_4.0 rr^ � ^O + V-l.O- 1\|0° = + 1.

		5T = � 2 v⁷�1 L(\|/�1.). Cette formule est d�riv�e de la mani�re suivante: y�\ = e^-lf ; L(y� 1) = \it \/ � 1. ----------------------------------2 i/� 1. 2j/�i.i(y�ij =�». _B. ₌ _2_V/�1 L(j/�4). Analyse. Dans le second membre \ir \/� 4 , on a pris y'�1 , qui n'est que l'indice de la direction, pour l'unit� complexe Ifs ; puis multipliant les deux membres avec 2 y/�4 = 2f~ , on a obtenu la Formule, qui ne peut �tre qu'absurde. La d�rivation dans le vrai sens ne donnerait que : Z(l/-4) = i»V/-4 = 0 + ff ----------------------------------------(2 2Z(i/-l) = (0 + 4f)2

	Dans la suite on trouvera par rapport � cette formule des formules encore beaucoup plus compliqu�es, tir�es de Duhamel, des M�thodes dans les sciences de raisonnement.

On a pass� sous silence dans R. la construction g�o- m�trique de (j/�1)1^�1, bas�e sur sa mani�re de com- prendre l'expression, jointe � sa solution alg�brique.

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	R�duction de i/ (� l/ (� l/ � 1 ) ) Dans les El�ments de l'alg�bre on trouve quelquefois ces r�ductions , trait�es de la mani�re suivante : V{�V(�V � V) = \/�i.p�i.P'�i = V(� 1)⁴I§^(� l)²]^� 4 = l^(� l)^r = iF�1. Ce qui donne lieu � bien des obscurit�s et des contra- dictions pour les commen�ants. *p. ex. i/ � l. V~* 4 f/� 4 = -jy� 4** l/�4. p'� 4 = 1. Une r�duction semblable donne : ^ � lj^�l ₌ p-�\ ; v/_l = 4.

En r�duisant ces expressions suivant la Th�orie et en n'observant d'abord que la direction directe , on a : V(-V{~V~V>) = i/-l.^-i. i^-i = 4f\|.lff.lt\| = if-g = 4f457i° = 1 (cos 4571 -f. i/� 1. sin 4571°). Ou encore: \/(�j/(�V⁷ � 4)) � *v/(-i/(-4tf)) = v\-vn^i) =* v/(-i/it�) =** i/(-Mt) = m*v�> = �ft� = n�- Quand on observe en m�me temps les directions indirec- tes , on aura les diff�rentes expressions.

		Quelle est la signification et la valeur de {y-�4? « � 4 = lj- = 4f0° = -f 4.

		Trouver la valeur de <c dans : V----1 � ² = ⁱ + V�3.

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	�^-1.2 = 2f�; 1 +V_3= i/(l+3)farctang^3. Ainsi 2f� = ^/4 f arc tang j/3 = 2f30°. t¹-^ = \|30 ; X = 6.

Les nombres complexes renferment deux facteurs , -j- a = «fO; � a = ajV; \/�l. a = a\|�. Tous les nombres imaginaires j/ � La, jK� 1 . a et en g�n�ral ]/ � 1. a , �/� 1 . a,, dont les indicateurs dans les racines sont des nombres connus, repr�sentent dans leurs facteurs de direction des grandeurs constantes, ainsi S �La;² = � 1. 2 a; Sa; + a:² S � 1 - � 2x$x-\-x².0 � �2x$x. S y� 1. a;² = j^� L2a;Sa;-j-a;*.S j^� 1 = j^� 1. 2a;Sa; -}- a;². 0 = lK� 1.2 a; Sa;. etc., etc.

Pour comparer la Th�orie des nombres complexes et le contenu des oeuvres math�matiques sur les quantit�s ima- ginaires et les formes complexes, il est n�cessaire de relever les points de diff�rence, d'en trouver les raisons et de donner les fondements sur lesquels les opinions diff�rentes reposent. En �tudiant ces oeuvres, on trouve que dans la plupart

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		l'auteur fait sentir ou d�clare ouvertement, que ces quan- tit�s et ces formes renferment des obscurit�s , des incon- s�quences , m�me des absurdit�s , qu'il ne sait expliquer. Dans d'autres l'auteur les taxe comme des quantit�s imaginaires dans le vrai sens du mot ; l'op�ration sur les quantit�s n'est que machinale, on ne les comprend pas , on ne sait si l'application des r�gles est juste ou non, on ne peut v�rifier tous les r�sultats ; � on s'en sert parce que les imaginaires donnent quelquefois des r�sultats r�els, on obtient des solutions , dont on s'�tonne , qu'on n'avait pu pr�voir, qu'on ne sait expliquer. Encore d'autres continuent toujours � les nommer ima- ginaires , mais ils pr�tendent que la signification leur est connue, et dans leurs oeuvres ils les traitent d'apr�s l'id�e qu'ils y attachent ; � pour montrer la r�alit� de leurs opinions , ils transportent leurs id�es sur les quan- tit�s � des grandeurs, c'est par des constructions g�om�tri- ques qu'ils traduisent leur mani�re de les concevoir. Parmi ces derniers l'auteur de la Th�orie a trouv� des constructions en contradiction avec les principes donn�s ; par l'analyse il est parvenu � trouver la raison de la divergence, et � prouver que ses id�es contraires peuvent soutenir la comparaison de celles contenues dans ces oeuvres. L'auteur a rencontr� des passages, qui renferment que les imaginaires, par les d�couvertes faites dans ce si�cle , ont acquis la juste d�finition ; qu'on peut dire avec raison que la mani�re correcte de comprendre ces quantit�s et la m�thode � suivre dans l'application doivent �tre comp- t�es parmi les plus importantes d�couvertes du 19«»e si�cle. Encore on trouve pour r�ponse � ceux, qui demandent si les quantit�s dites imaginaires ne sont pas impossibles, et que par cons�quent, tout ce qu'on en dit, n'est qu'un

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		jeu de mots sans quelque int�r�t : � Dans les math�ma- tiques on ne peut nommer impossible que ce qui renferme des contradictions , des absurdit�s , qui ne se pr�sentent pas dans les quantit�s imaginaires. Ceux qui ont fait cette demande sont jug�s ne pas avoir fait beaucoup de progr�s dans les math�matiques. La question , il est vrai, marque que celui qui la fait , n'a pas fait beaucoup de progr�s dans les math�matiques, mais la r�ponse � la question sur l'imaginaire, l'impossible, n'�tonne pas moins l'auteur de la Th�orie. »Dans les math�matiques ne se pr�sentent pas des ab- » surdit�s dans les r�ductions , les op�rations appliqu�es a »ces quantit�s" ? ! La Th�orie en offre bien des exemples ; on est donc oblig� d'en tirer la conclusion que : ne pas les remarquer, c'est ne pas les comprendre. La diff�rence avec la Th�orie se trouve dans les points suivants : On n'a pas distingu� assez les nombres absolus des com- plexes , dans le sens indiqu�. On n'a pas approfondi la signification, la valeur des facteurs directifs dans les nombres complexes. Par la d�termination de la signification des imaginaires sous la forme \/�1 . a , on a trouv� encore la valeur des formes complexes et la mani�re de les transformer en nombres complexes ; X -(- \|/� 1 . y = i/(x² -f y²) f arc tang ^ = i?fp = R (cos ip + V�1 � ^sin 9) ; mais on s'est arr�t� l� pour la plupart ; on n'est pas parvenu � d�terminer la signification et la valeur de toutes les imaginaires, sous quelque forme qu'elles se pr�sentent;

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		on n'a pas d�termin� en g�n�ral la juste signification et la vraie valeur des quantit�s complexes. Dans l'�quation Xⁿ = ±1 . , # = j?^-" dr 1 , que toujours on ne regarde que comme la solution des diverses racines de Yunit�, on a perdu de vue suivant la Th�orie, la v�ri- table signification , savoir la d�termination de la significa- tion des diff�rents facteurs de la direction. Dans les expressions A (cos x -f j/ � 1 . sin x) on ne regarde pas assez le second facteur comme simple facteur de direction , ne signifiant que A\x,* et renfermant pour ainsi dire la clef de la signification de toutes les quantit�s complexes. Par l� on a manqu� de savoir transformer � la simple forme complexe x + ]/�1 . y toutes les quantit�s com- plexes imaginaires, tous les polyn�mes renfermant ces termes. Dans l'application des op�rations � ces quantit�s, � ces formes, � ces polyn�mes la Th�orie a montr�, combien toutes les op�rations sont r�duites � des r�gles simples et g�n�rales, qui ne laissent ni difficult�s , ni obscurit�s, dont les r�sultats non obtenus machinalement , peuvent �tre v�rifi�s. � On sait ce qu'on fait, connaissant les cho- ses qu'on traite , la m�thode qu'on suit. Connaissant � fond les facteurs de la direction , on sait que dans tout nombre complexe la direction directe donne la vraie et la simple valeur, que la direction indirecte n'a la moindre influence sur la valeur d'une quantit� , d'une grandeur complexe , que toujours on a comme parfaitement �gales : Ap = ApriTT.?. On sait que les directions indirectes ne sont d'influence que dans l'extraction des racines des nombres complexes. Le point important sur lequel la Th�orie diff�re princi- palement avec les Th�ories connues, c'est que les nombres

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	complexes imaginaires et surtout les formes complexes ont une tout autre signification, quand ils se trouvent dans les Fonctions exponentielles , goniom�triques et cyclom�triques. La Th�orie renferme les diff�rents points contraires � ceux dans les Th�ories suivies jusqu'� ce jour, et en m�me temps les fondements de ces principes divergents ; � on y trouve la validit� de ces principes prouv�e par l'applica- tion aux formules , qui par l� perdirent leur obscurit� ou montr�rent leur absurdit�. Les opinions contraires sur ces divers points , contenues, dans la Th�orie , n'ont pas �t� sans influence sur les prin- cipes des Logarithmes. Il ne sera n�cessaire de les r�p�ter ici.

Dr. Oscar SchlOmilcIi. Algebraische Analysis. En �tudiant ce que Schl. a �crit sur les imaginaires et 'les formes complexes, on voit clairement que bien des choses lui sont tout obscures ; que par rapport aux ima- ginaires , elles lui sont en beaucoup de cas encore de vraies imaginaires ; qu'il n'a pas entrevu que les imaginaires et les formes complexes dans les diff�rentes fonctions n'ont pas la m�me signification ni la m�me valeur. La signification de j/ � 1 dans les formes ordinaires ne lui est pas inconnue , de m�me que la valeur des for- mes complexes, mais il n'a pas distingu� les nombres en absolus et en complexes ; il n'a pas distingu� dans toute son �tendue la signification des facteurs directifs ; et encore il n'a pas approfondi le sens, la port�e de la distinction des directions en directes et en indirectes ; dans quels cas la distinction est importante ; dans quels cas elle n'est d'aucune influence, et ne change en rien la valeur r�elle de l'expression.

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	Dr. Oscar Schl�mllch. Chap. X , § 51, page 225. Die Functionen complexer Variabelen.

Par les remarques que Sehl. lie aux formules de cos y, sin y, de e^�^-V, e^v�^-V on voit d'abord qu'il n'a pas compris la signification de (]/�1) dans les Exposants. Il dit qu'il �tait � pr�voir que pour avoir les �quati- ky �k y ons de cos y, sin y , il devait entrer dans ^e +^e et ky �ky ^e ~^e des valeurs imaginaires ; � les valeurs de cos. et sin. �tant tout au plus l'unit� , il serait impossible de trouver pour k une valeur r�elle , qui repond�t � cette fin. Puis en faisant l'�num�ration des diff�rentes Fonctions � formes complexes , il dit que les d�finitions de ces Fonc- tions , quand les quantit�s sont r�elles , n'ont pas de sens pour les m�mes Fonctions , quand les quantit�s sont des imaginaires ou des formes complexes. P. ex. cy � �-y , sin \/�1 . y , arc tang \/�l.y. Encore il demande , si les r�gles pour les diff�rentes op�- rations en quantit�s r�elles, sont les m�mes pour les ima- ginaires et les formes complexes. La Th�orie donne les r�ponses � ces diverses questions. Dans une note Sc7d. dit que Cauchy a donn� la solu- tion de ces probl�mes. L'auteur de la Th�orie n'a pu avoir le cours de l'analyse alg�brique de Cauchy, il ne sait donc , si toutes les d�fi- nitions de Cauchy s'accordent avec celles , qu'il a donn�es ; � quand Cauchy a donn� la d�monstration , que les r�gles dans les op�rations sont toutes les m�mes pour les r�elles et les imaginaires , la Th�orie donn�e avec ses d�monstra- tions sera en opposition avec les solutions de Cauchy. Les formules �^-^-V, e�^-^-V cosj/�\.y, sin V�l.y

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sont des formules fondamentales; on doit s'�tonner un peu de la remarque de Schl. , disant que la d�rivation de ces formules n'est pas absolument juste , correcte, et cependant elles lui servent d'introduction dans les nombres imagi- naires. Les formules ne sont tout au plus que des �quations identiques , comme la Fig. 3 le montre. Soit le rayon OA = 1 , et comme base de la direction = + OA� + 1. Les autres lignes prises en sens complexe, on a : OB � lf 9 ; OB' = lf�9. 4) OB =Qc + \/~i.cB = l(cos9 + \/ � l.sin?) = e^-l-P 2)OB'=Oc + l/� l.cB' = l(cos � 9 + V� '1- sin �P) = Oc_i/� I.cB =1(008?� ]/ � i. siuP). Par l'addition et la soustraction de (1,2) on obtient: OB + OB' = 2 Oc = 2cos f = e^-l- 9 -f- e - V�\- 9.. OB + OB' = 2l/�1. cB = 2^�1. sin f = '_eV-\.9 _ _e�V�1.50. Ce qui renferme les Formules fondamentales : _eV�\.f � ip � l(cos <p -f- x/� 1. sin f») ; e�1-^-1-P = lf_$o ₌ l(cos � 9 -I- J/�1. sinP). �l^l.p �1>-� t.«? \|/_ i.tp �l^�i.<p cos ?o = ^p +e________^T . si_n © � e____ ^r-e________[ 2. ' 2^-1. La Figure montre l'identit�, la r�alit� des Formules.

	Dr. O. Schl�mllch , par 52. � pag. 327. � La preuve que Schl. n'a pas fait la distinction des facteurs directifs dans les nombres complexes , c'est qu'il regarde j/�1, i comme l'unit� imaginaire, au lieu de les prendre com- me facteurs ou indices de la direction 1^180, lff.

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		L'addition, la soustraction : � Au lieu de regarder les formes complexes , comme �tant compos�es de r�elles et d'imaginaires, il est plus juste de dire : les formes complexes renferment deux termes de quantit�s homog�nes, mais � direction diff�rente ; les premiers termes sont des quantit�s complexes pos. ou n�g. , les seconds des com- plexes � direction f90 ou ^~. Pour avoir la somme ou la diff�rence de ces Formes , -on unit les termes , qui ont la m�me direction , ou dont les directions ne sont qu'oppos�es , savoir les premiers , qui sont tous zfc ; et les seconds , qui ne sont que ± \/ �1 � La multiplication, la division. � Quand on conna�t la signification des nombres complexes , on sait que les r�gles de la multiplication et de la division des polyn�mes , dont les termes ne sont que pos. et n�g. , trouvent aussi leur application aux polyn�mes, dont les termes complexes ont toutes les directions. Dans la multiplication il transforme les Formes X -f- j/�i.y en R(cos 9 -f \/�1. sin ?) pour y appliquer l'op�ration, mais il ne passe pas de la derni�re r�duction aux nombres complexes -RJP , ce qui rend l'op�ration beaucoup plus simple, et dont on tire encore les m�mes r�sultats , obtenus d'une mani�re plus compliqu�e en suivant la m�thode ordinaire. La comparaison des op�rations qu'on trouve dans ScJd. et celles d�riv�es de la Th�orie , prouveront la simplicit� et la g�n�ralit� des derni�res. Schl. ne parle que des Formes X -+- \/�l.y; il n'est parl� de la r�duction de toutes les quantit�s imaginaires etc, etc. � la forme simple a; -f y/ � 1 � y , ni au nombre R]tp Dans le reste de cette § se trouvent des choses bien compliqu�es , qui toutes traitent les directions.

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		Schi, ne parle pas de directions dans le sens indiqu� dans la Th�orie. Au lieu d'analyser ce qui se trouve dans ScJil. , il sera cependant n�cessaire de r�p�ter quelques points de la Th�- orie , et d'y attacher des remarques. Les directions se distinguent en directes et en indirec- tes ; � les directes renferment implicitement les indirectes. Il n'y a point de diff�rence de valeurs entre les quan- tit�s , qui ne diff�rent que par rapport � leur direction de directe et d'indirecte E\f � R\f + ²»^. La diff�rence ne se trouve que dans la forme et non dans la valeur ; � la diff�rence n'a point de r�alit�. Parce que les directes renferment implicitement les indi- rectes , ce n'est que dans l'extraction des racines , qu'il est n�cessaire d'observer non seulement la directe, niais encore les indirectes , pour d�terminer toutes les diff�rentes racines possibles. Dans tout le reste l'observation des indirectes n'est d'aucune influence , et ne sert qu'� embarrasser par les formules compliqu�es , qui en r�sultent. Tous les polyn�mes � termes complexes imaginaires , ainsi que les simples formes complexes , ne sont r�ellement que des nombres complexes. Les nombres absolus peuvent �tre regard�s comme des nombres complexes � la direction \|0 = \^clmT. Tous les nombres �tant ainsi en tout de m�me na-ture , suivent en tout les m�mes r�gles par analogie, �tant r�ellement des choses analogues. Il est donc superflu de prouver , ce qui n'a besoin d'�tre prouv� encore. Z �tant = Zj'0 , les m�mes r�gles pour Z sont aussi applicables � Z'\? = Z(cos f -f y'�l.sinP). P. ex. (Z\?)m, (Zp)~�, {Z\?)~, (Zp)-~ etc.

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		Dans les cas que les exposants sont des membres entiers, la puissance n'a qu'une seule r�alit�, soit que la base soit un nombre absolu ou complexe. Quand les exposants sont des nombres fractionnaires, le nombre des diff�rentes racines , repr�sentant diff�rentes valeurs, est �gal au d�nominateur de la fraction. En r�duisant X -)- \/ � \.y en .Rfarc tang -, les deux membres de l'�quation ne sont pas absolument �gaux. Arc tang ~ a deux valeurs 9 et tt -f 9. Ainsi on aurait x -f V�l.t/ = R\? = R\{? -+■ <p); ce qui est faux, les deux valeurs R]<P et .fif^r + <p)�tant des grandeurs oppos�es. Explication. Par la r�duction des deux formes com- plexes ± \%-\- V�l'2/i ^on obtient le m�me nombre complexe , R \ arc tang ~� = R � arc tang -. ¹ *-+-X* ^X Le nombre complexe renferme ainsi deux diff�rentes formes complexes , qui sont repr�sent�es par les grandeurs R\<p et R\(ft + <p) , � suite de la double valeur de arc tang ^ = 9 et (n -f- 9). Fig. 4. Soit AE = tang 9 = tang (p . t) = etc. OC = cos 9 = cos (<p . Itt) = etc. ; BC = sin (p = sin (9. 2sr) = etc. OC' = cos (9 . �t) = cos (9. 3tt) etc. ; B'C' = sin (9. 5t) = sin (9. 3x) = etc. OC -f i/� l.BC = OB = Ef9 = #-(- i/�l.y. OC' -\|- �/t-1. B'C' = OB' = i2\|(9.7T) = � a; � \|/�l.y. Ce point non expliqu� � fond a caus� des difficult�s, qu'on Tencontre aussi dans iScM. Il dit : x -j- V' �!� V � -R f arc tang 9 , (9. hr), pour � on peut mettre toutes valeurs, pair ou impair ; mais quand on met :

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	X -f V�!�«/ � R(cos ip. kir) -f \/�1. sin ((p.kTr) le nombre k doit �tre toujours pair. La vraie et unique valeur de x -f j/�l»y ^est Af?'; de ��]/ � 1.?/ est B^f.TT.* Les directions indirectes n'influent pas sur ces valeurs , et ne regardent que la forme de l'expression. BfP - R\{<?. 2fer) ; JBflp. sr) = i2f(P. (2* + 1)tt).

Dr. O. SchlOmllch , § 53, page 233. Cette § traite principalement l'�quation x_n ± 1 = o et le Th�or�me de C�tes. La Th�orie renferme le point de vue, sous lequel cette �quation est regard�e , et la mani�re d'en d�terminer les racines. En donnant � n dans xⁿ ± 1 = o , les valeurs 6 et 5 , �les Fig. 5, 6 repr�sentent dans les lignes 0_± , 0₂ etc. les racines de ces �quations. Fig. 5. Soit le rayon du cercle = 1. ; les racines de X⁶ -f 1 = o sont X = O_x , 0₃ , O_s , O_r , 0₉ , O_u , de x⁶ - 1 = o x = 0₂ , 0₄ , 0₆ , 0₈ , 0₁₀ , OA. O, = \\l = l(cos \| + v/-i: sir. f) = OB + 1/-1.B, 0₂ = If� = (« � + I/-1- si« ^) = OC + \|/-l.C_a. Dans la Fig. 6 le cercle est divis� en'10 parties �gales, les lignes O_l , 0₂ etc. repr�sentent de la m�me mani�re les racines des �quations x^b±i = o. x⁶ + 4 = o ; 0 = O_x , O, , 0₅ , O_r, 0�. x^b � 1 = o ; a? = O_a , 0₄, 0₆ , 0₈, OA. O, = lff = l(cosf + I/-1. sin f) = OB -j- V/-1. B, 0₂ = lff = l(cos� + V/-1. sin �) = OC + V�1. C_a.

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	Ces lignes O_t , 0₂ etc. , racines de l'unit� complexe , marquent les diff�rentes directions de l'unit�, d'apr�s le degr� de la puissance de l'�quation. Le Th�or�me de C�tes est fond� sur le Th�or�me que , les racines d'une �quation �tant connues , le premier mem- bre peut �tre divis� en facteurs du premier degr� , ainsi on a pour les �quations x⁶ -\- 1 = o , X^b � 1 = o. 4) Fig. 5 (x � O_x) (x � 0₃) (x � O_s) (x � O_r) (x - 0₉) (* � ⁰ll) = ^X6 + ¹ 2) Fig.6 (x � 0₂) (x � 0₄) {x � 0₆) {x � 0₈) {x � OA= x⁶ + 1 et ainsi avec les autres �quations x⁶� 1 = o, x⁶ -f- 1 ⁼ °- Les �quations (4. 2) peuvent �tre prouv�es directement en cherchant le produit contenu des facteurs des premiers membres ; ces produits donneront les Fonctions : x⁶ -f. Aa-s + B«* + Cx³ + Dtf² -f Ex + F = x⁶ -f- i (3 x^h + Kx* -f Bx³ -f C*² -f- D«⁵ + E = «⁵ � 1 (4. Dans (3. 4) A indique la somme des Uniones , B celle des Biniones , etc. des racines des �quations. La mani�re simple d'indiqner les racines en nombres complexes O¹ = lf� = x etc. dans x⁶ -f 1 = 0; 0₂ = 1 f-f = x etc. dans «⁵ � 1 = o , se pr�te � trouver facilement les valeurs de A , B , C etc. dans (3. 4).

Pour prouver les Formules (1. 2) et pour d�terminer les valeurs de A , B , C etc. dans (3. 4), il sera n�ces- saire de d�terminer premi�rement la somme et le produit de quantit�s conjugu�es et d'oppos�es.

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	Fig. 3. OB et OB' sont des grandeurs conjugu�es ; OB =\\(p � l(cosp+i/ � l.sinp). OW=\\�<p=i (cos-? + V� 1 � sin ?)=l(cos 9� \/� 1. sin?). Ainsi OB + OB' - \\9 + lf�9 = 2cos?. Le produit sera : OB. OB' = lfp.lf�f = lf(�>�P) = lfo = + 1.

		Fig. 4. OB et OB' sont des grandeurs oppos�es; OB=lf? = l(cos�> -J- V� 1- sin y,). OB' = \\9.tt- � lf? = � l(cos? + y/ � l.sinP). Ainsi OB -f OB' = \\9 + \\9. it - o. Les figures donnent les m�mes r�sultats. Fig. 3. OB = Oc+v/� 1-Bc. OB' = Oc+i/ � 1-^B'c = Oc�i/�l.Bc. OB + OB' = 20c = 2cos i Fig. 4. OB = = OcH-v⁷�l.Bc. OB' = Oc'i v-\.B'd= Oc'� y�l.Bc. OB + OB' = o.

D�termination de la somme des Uniones, des Blnlones, des Tertlones etc. Les racines de x⁶ + 1 � o sont O_x , 0₃ , 0₅, O_r, 0₉, O_n ; indiquant les diff�rentes valeurs par 1 , 3,5, 7 , 9 , 11 , la somme des Uniones sera : 1+3+5+7+9+ 11 ; � dans cette somme on a les valeurs oppos�es : 1, 7; 3, 9; 5, 11. 1 + 7 = lff + lf� - Ifg + lftg. *)■= o. et ainsi avec les autres , par cons�quent -4 = 0.

				6

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			82

Pour trouver la somme des Biniones , on mettra pour abr�vier 4.3 = lf\| . 1\|^ = lf� = 4. Les Biniones de 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 sont: -1.3, 1. 5, 1.7, 1. 9, 1.11 ₌ 4 + 6+ 8+10 + 12. 3.5, 3. 7, 3.9, 3.11, 5. 7 - 8 + 10 + 12 + 14 + 12. 5.9, 5.11, 7.9, 7.11, 9.11 =14 + 16 + 16 + 18+20. Parmi ces valeurs se trouvent les valeurs oppos�es : 4 + 10 , 6 + 12 , etc. Car: 4 + 10 = lt^+lf!^ = 1\|^ ₊ 1\|^.^ _ o et ainsi avec les autres valeurs oppos�es ; les seules va- leurs , qui ne s'an�antissent pas d'abord , sont :

		12 + 16 + 20 = lfip + l\|�5* + if- = i + _lt** + lf_f. Les valeurs \\~ , lf-j? sont conjugu�es; 2cos^ = 2 cos 120 = �2 sin 30 = � 1. 6 ainsi 1 + 2 cos � = 1 - 1 = o = B.

	La somme des Tertiones sera : 1.3.5, 1.3.7, 1.3.9, 1.3.11, 1.5.7 - 9 -f- 41 + 13 + 15 + 13 -4. 1.5.9, 1.5.11, 1.7.9, 1.7.11, 1.9.11 = 15 + 17 + 17 + 19 + 21 + 3.5.7, 3.5.9, 3.5.11, 3.7.9, 3.7.11 = 15 + 17 ₊ 19 + 19 + 21 -t- 3.9 11, 5.7.9, 5.7.11, 5.9.11, 7.9.11 = 23 + 21 + 23 + 25 + 27.

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La somme est � o , puisque toutes les valeur.« sont
oppos�es 9 + 4 5 , 44+17, 21+27, qui s'an�antissent.
Ainsi C ₌ o.

La somme des Quaterniones sera :

4.3.5.7, 4.3.5.9, 4.3.5.44, 4.3.7.9, 4.3.7.44 =

16 _(_ 48 -f. 20 -4-. 20 + 22-1-

1.3.6.44, 4.5.7.9, 4.5.7.44, 4.5.9.44, 4.7 9.44 -

24 4- 22 + 24 -f- 26 + 28 +

3.5.7.9, 3.5.7.44, 3.5.9.44, 3.7.9.44, 5.7.9.44 =

24 + 26 + 28 + 30 + 32.

La somme est, apr�s avoir ray� les valeurs oppos�es ,

24 4 28 + 32 = iff + lf�f ₊ lf_J? -

= 1 + lf^ + lf |^� = o = D.
Comme il est montr� dans les Biniones,

La somme des Quintiliones sera :
4.3.5.7. 9, 4.3.5.7.14, 4.3.5 9.11 ■'= 25 + 27 + 23 +
4.3.7.9.44, 1.5.7.9.44, 3.5.7.9.44 = 31 -f- 33 H- 35.

La somme des quintiliones s'an�antit d'abord, donc
E = o.

La valeur de F est :

4.3.5.7.9.44 = 36 = lf^ = lfo = + 4.

D�termination de la somme des (Jnioncs, des
Biniones etc. des racines de %^a � 4 � o,

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Pour abr�vier il suffira de donner les r�sultats obtenus
suivant la mani�re pr�c�dente.

Les racines de x^b � 1 � o sont, x = 0.2.4.6.8.

2 + 8 ₌ lfl' + lf^ sont conjugu�es = 2 cos ^.

4 + 6 = lf� + lf� » » = 2cos�.

o = \\o � 1.

La somme des Uniones est 1 -j- 2 cos 72 -f- 2 cos 144 = o = A.

Pour la somme 'des Biniones on obtient:

2fo + 4cos� 4- 4cos^ ₌ o - B.

5 5

La somme de Terniones et des Quaterniones est la m�me
que celle des Biniones = o � C.

La valeur de E est :

0.2.4.6.8 = 20 = lf^p - lfo = + 1.

Remarques. Au calcul , qui pr�c�de, se lient quel-
ques observations.

D'abord il est montr�, que la m�thode suivie prouve
d'une mani�re bien simple le th�or�me des facteurs du
premier membre de l'�quation %n ± 1 = o.

Encore on n'a pas op�r� avec des grandeurs imaginai-
res , impossibles , mais avec des grandeurs r�elles , ce qui
mettait en �tat de comprendre les op�rations et de juger
les r�sultats.

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		Une autre observation c'est, que de cette mani�re se pr�sentent diff�rentes relations entre les directions et les lignes goniom�triques. Les racines de xⁿ ± 1 = o sont : 'n ' ' n ' ' n...... I n n.n?>n�......n⁽^. Quand n est paiV, on a toujours , que la somme des directions est nulle ,* ainsi que la somme des unit�s com- plexes , racines de l'�quation. La raison en est, que toutes ces grandeurs ont dans ce cas deux � deux des valeurs oppos�es, qui s'an�antissent. Quand n est impair, les racines sont deux � deux des valeurs conjugu�es, dont la somme, exprim�e dans des cosinus de diff�rents degr�s, est l'oppos�e du terme im- pair , qui reste. Le nombre 360 a les facteurs impairs 3, 5, 9, 15, 45; en prenant ces nombres pour n dans les racines de xn ± i =. o, diff�rentes relations se pr�sentent. Prenant par ex. n � 45, dans X¹⁵ ±1 = o, et �cri- vant par abr�viation dans les racines 1 = lfr�* on a «=1,3,5........25 , 27 , 39. Le terme moyen 15 = tfjz- ~ � 1 '■> '^es termes 1,29 ; 3,27 ; repr�sentent des valeurs conjugu�es : 1 + 29 = lff₅ + lfg? = 2cos�. 3 + 27 = lf^ + lf^ = 2cosf?. La somme des valeurs �tant = o, on obtient l'�quation : 2{l+3 + 5 + 7 + 9 + ll + 13J= 1. x = j 1} = \|g-est par cons�quent � 12°. L'�quation indiqu�e par abr�viation sera:

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		2 {cos 12 .f cos 36 4 cos 60 + cos 84 { � 2 (sin 18 4-sin42 + sin 66 j = 1. ou 2 j cos 12 + cos 36 + cos 60 + cos 84 J = 2 ( sin 18 + sin 42 + sin 66 j f 1. Ce qui se r�duit encore � : cos 12 + cos 36 -f cos 84 = sin 18 + sin 42 + sin 66.

	Pour ne pas amplifier trop le compl�ment, l'auteur a ot�, ce qu'il avait �crit sur le Th�or�me de C�tes et sur celui de Moivre, qui n'est qu'une variante de celui de C�tes. Les Fig. 8 , 9. Servaient � expliquer la d�monstration.

Dr. O. Schlttmilch , § 54. Die Exponentialgr�ssen mit complexen variabelen. Par la substitution de x -f V � ^-U P^our ~ dans «* = Lirn. j (1 + �r ! il obtient apr�s des r�ductions : e^x + IS� � y � e^x* (cos y +� \/ � 1. sin y). La formule obtenue prouve la justesse de la Th�orie par rapport � la signification de \/ � 1 dans les exposants. La formule n'avait besoin d'�tre prouv�e encore, car _eV�i.y �tant = 1 (cos y -f \/�l.sin?/) = e°(r,osy + \/�l.siny) on avait d'abord: gx+l/�l.y � _ex, _eV� i.y = e^x. 1 (cos y + \/�1. sin y) � e^x\y. Schl. appuie beaucoup sur les formules : ^=Lim.{(l + �)»}; ^^-M = .\|(l+^=^)«\|

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	comme renfermant la d�finition des Puissances sous toutes les Formes. Il remarque encore dans une note , que les math�maticiens ont donn� la pr�f�rence � sa d�finition sur celle de Cauchy, qui la d�finit comme la somme d'une s�rie ; savoir : _eX ₊ ^t.y = 1 ₊ «+J^=�L ₊ (g ~~+ ^-l-y)'~~ ₊ _etc. Schl. est parvenu par la r�duction � : _eX ₊ 1^-4.� _ j ₍₁ ₊ x + ^-i-Vyn J _ e^x (cos y -f. j/ � 1. sin y. Ainsi e^x + f -�» = e(cos «/ -)- j/ � 1. sin y) = e^x\y. En observant la signification et la valeur de y/�1. dans les Exposants, la d�finition donn�e dans la Th�orie n'est-elle pas plus simple , toute g�n�rale et aussi math�- matique ? Par analogie Schl. dit: aV � -2/ = e^�^-V* �«. Dans la suite on reviendra sur cette formule, en trai- tant ce que Duhamel* a dit sur les quantit�s imaginaires, pour prouver directement que cette formule , obtenue par analogie, est fausse. Schl. prouve encore que : (a + V-1-V) (a' + y-1-y') = a(* +-0 + f � 1 (y + y').* Dans le cours de la d�monstration il met continuellement au lieu de cos y, y' et de sin y, y', cos y La, y'La, sin y La , y'l. a ; mais il est clair , que les expressions �crites sous cette forme, n'ont la moindre influence dans toute la d�monstration.

De la Th�orie on sait que les �quations sont identiques: 2cos?< � lfw -f- If� u ; '2 j/�1. sin u = i^u � lf� u. En �levant les deux membres de ces �quations identi-

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		ques � la m�me puissance, on obtient des relations im- portantes. En appliquant les principes de la Th�orie et prenant les puissances 5 , 6 on a : (2cost�)s = 1\|5m + 5.1 pu + 10. lfM -f lj_5_M+ 5.1 f� 3m + 10. If�m. Les termes sont deux � deux conjugu�s, qui sont plac�s les uns sous les autres , et dont la somme des valeurs est connue ; ainsi on a : 2⁵ cos⁵ u = 2 cos 5m + 10 cos 3m -f 20 cos u. 2⁴cos⁵m = cos 5m-f 5 cos 3m + 10 cos m.

	(2v/� 1. sin m)⁶ = lf 6m � 6.1f4u + 15.'lf2u � 20.1f0 + - 4\|_6m � 6.If�4m -f 15.1f2w. � 2⁶ sin⁶ m = 2 cos 6w � 12 cos 4m 4- 30 cos 2m � 20 et � 2⁵sin⁶M= cos 6m� 6 cos 4m -f 15 cos 2m-- 10.

	(2 i/�l.sinw)⁶ = lf5w � 5. If 3« -4- 10. If m. _ if_5w -+- 5. If�3m � 10. If� m. Prenant la diff�rence des ternies conjugu�s , on a : 2⁵ ]/�1. sin⁵m = \/�1J2 sin 5m � 10 sin 3m + 20sinu] et 2⁴ sin⁵ u = sin 5m � 5 sin 3m -f 10 sin m. La Fig. 6 donne l'explication de quelques transformations.

			Dr. O. SclilSmflch, § 56. Die goniom�trischen Functionen complexer B�gen.

Dans la Th�orie on a trait� ces formules et la valeur en est analys�e.

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	Cos, sm(\/�i.y) = ; cos, sin (X \ \/�l.y) = Schl. dit que ces formules repr�sentent la signification de ces Fonctions , mais il ne traduit pas le sens de ces formules. La Fig. 11. Repr�sente la valeur, la signification des arc \/ �. y. AB = arc -f- y⁰ ; AB' = arc � y⁰ ; AC = arc \/�1. y � y\9Q ; AC' = arc j/� 1. � y = arc � y\90°. Les arcs AB et AC , ainsi que AB' et AC' forment l'un avec l'autre un angle de 90°, l'angle �tant mesur� par les tangentes tir�es aux diff�rents arcs.

Dans cette § Schl. applique � ces formules des op�ra- tions , pour prouver que les formules goniorn�triques sont encore de rigueur pour les formes imaginaires et com- plexes ; toute la d�monstration n'est qu'apparence , donnant des r�sultats, qui ne sont qu'apparence, de m�me que les cons�quences. Analyse d'une seule formule : / . . . . � sin x (ev + e~v) � IX"�1. cos x (ev � e~y( cosec(a?+i/-i.y) = 2--------- ₂ ~~cob a* + _(e» + g-»)~~------ toute la signification r�elle n'en est que : cosec x = 2 ^^(l + ^-l^-l.cosxq-l) _ � cos 2a; + (1 -f-1) 2 sin x 2 sin a; __ 2 sin a; __ 1 __ ²� 2cos2a; + 2 ~ �cos2aj+l ~ �l+2sin²a; + l ^� sln� ^� ^coseca;- L'analyse des autres formules donne les m�mes r�sultats.

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		Dr. O. Schl�milch, § 57. Die cyclom�trischen Functionen complexer variabelen.

	Schi, a obtenu par des op�rations tr�s �tendues des formules tr�s compliqu�es , qui ne sont tout au plus qu'i- dentiques et ne renferment pour le reste la moindre rela- tion nouvelle. Il ne sera n�cessaire d'analyser ces formules pour en prouver l'identit�.

	Dr. O. SchlSmllch, § 55. Die Logarithmen complexer Zahlen. Dr. Lobatto , Lessen Hoogere Algebra. Logarithmen.

La preuve que l'opinion de Euler etc. est aussi celle de ces auteurs, c'est qu'ils tachent d'affermir encore cette opinion par leurs d�monstrations. Il ne sera n�cessaire d'analyser ces d�monstrations ni l'application de leur Th�orie. Schl. conclut par analogie, que la r�gle indiqu�e par Lz -f Lz' � Lzz' est aussi de rigueur pour les formes complexes. Soit z � e^x ; z\9 = 2(cos9>-\|- \/ � l.sinP) = a -f \/ � \.b � e^x + ^ -�?.* Les exposants, les Log., sont X et X -)- \/�i.9. Y a-t-il analogie entre ces exposants de nature diff�rente dans la partie \/ � 1. 9 ? La r�gle est g�n�rale mais non par analogie. Lobatto finit sa th�orie sur les Log., en disant : »Il m�rite d'�tre observ� que de m�me que chaque »ligne goniometrique appartient � une infinit� d'arcs , de

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		»m�me chaque nombre a une infinit� de Log. dont il n'y »a qu'un seul de r�el , les autres �tant tous imaginaires." Traduction de cette th�se : Il m�rite d'�tre observ� que de m�me que chaque ligne goniometrique , appartient � une infinit� d'arcs , qui n'ont la moindre influence sur la valeur primitive de ces lignes, appartenant � la direction directe ■ de m�me chaque nom- bre soit absolu soit complexe a une infinit� de Log., qui tous ont absolument la m�me signification , la m�me va- leur , � la conclusion en est, que l'infinit� des Log, se rapporte � l'infinit� des formes, sous lesquelles le seul et v�ritable Log. d'un nombre quelconque peut �tre ex- prim�. La base de l'opinion de Lobatto est la m�me que celle des autres auteurs. Lobatto � l'exemple de Cauchy pour distinguer les Log r�els des imaginaires �crit L((a)) pour indiquer la totalit� des Log., tandis que L(a) ne marque que le seul Log. r�el.

	Dr. Lobatto. Lessen Hoogere Algebra, 2e druk, p. 299. Analyse de quelques Formules.

_�K"~ 1. (p � ! 1 __ ^² -f-, -�.� __ _etc ) i � 1 2 2.3.4. � ' T ^v I ^r 2.3. 2.3.4.5. ^elu I" Cette formule est obtenue par la substitution de \/�1. <p_rLa valeur de eW�^-9 est ~~ lf?> ; la valeur absolue du second membre est �gale a : i/ ! (^d - t + ��. -^etc-)²+0° - 5. + �ik -^etc-)²1 (i � Cette expression indiquant la valeur absolue , doit �tre

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		�gale � la valeur absolue de �^�^-9 = If9 ; ainsi la valeur de l'expression est = 1. Le Facteur de la direction est �gal �: m^s m⁵ » f ~ 23 "+" 2^15^� ^etc- . ₈in ta _A t^arc ^ta"g ��>�jf---------= t^arc ^tan§ ^r� = tp- ¹ Y "+" 2.3.4 � ^e*^c- Cette valeur s'accorde avec la direction de lfp. Le num�rateur et le d�nominateur de la fraction sont �gaux � cos pet sin 9; ainsi la valeur absolue de (1) est l'unit�, puisque sin² 9 -f- cos² 9=1. Le tout n'est qu'identique, et les op�rations ne forment qu'un cercle logique.

	AS�i.ty � ¹+^v/"� 1-tang 9 1 � l^�i. tang 9' 1+ 1^-1.tangp _ . K-(l + tang*9)t9 . _ ^lp _ / «n1 1 - P- � 1. tang p V(l + tang² 9) f-p ^A I ' ^v ^r; ' l\|j_?3-_(_ 9)j= 1\|29 = el^-l.29. La formule n'est qu'identique.

Prenant les Log. des deux membres Lobatto obtient: L'exposant de e^~� � P est proprement 0 + y/ � 1. P , s'accordant, comme il est prouv� dans la Th�orie , avec le Log. de 1\|2P = Log. 1 -f- f 29, car : 1\|2P = eop9 =* _�o + l^-l.2p - _eV-\.<�p.

			Arc (sin = x) = arc (tang = p^^)

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	1/(1� %²) -f V � La - V i (l-²) + & ! f arcCtangp^-^^ltarcCtangp^^) de sorte qu'on touche ici � une incons�quence, ^arc (tong = j^pb»)) = F^� ^L°g- t^arc (^ta"g = ^(1%) car Z-l f arc (tang = ,7=^35) = il +1 arc (tang=p^jf^) = o + t arc (tang = ^~^) ainsi arc (tang =~~^_{i___xi)~~)=-�^A I ° + f^arc ^tang =~~_t^₍₁__a;2)~~ \|. Pour expliquer cette incons�quence , qui n'est qu'appa- rence avec la signification de \/�1 , il est � observer que la formule peut �tre �crite : V� 1 arc (tang = �^~) = o + f arc (tang - p^_) preuve de la valeur ou de la signification de \/�1 = f � signe de direction. Pour r�sumer cette analyse en peu de mots , la formule n'est qu'identique et la division par j/�1 correspond �: 10 Florins = � 10. 10 = J±°- Florins'

		Lies quantit�s pos. et n�g. % d�termination de la signification et de la valeur.

Pour d�terminer une chose la mani�re la plus s�re pour y parvenir c'est de remonter � son origine. Les n�g. sont le r�sultat d'une soustraction ; quand on a 8 � 5 , le reste est 3 ; ce reste est dans le vrai sens du mot, il est effectif, il est positif. Quand on a au contraire 5 � 8 , il est impossible qu'il y ait d� reste dans

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		le sens pr�c�dent ; le r�sultat de cette soustraction c'est, qu'il en reste encore 3 � soustraire ; 5-8=: � 3. Le r�sultat � 3 indique dans ses deux �l�ments, la signification de ce nombre ; la valeur absolue en est 3 unit�s, le signe (�) marque que ces 3 unit�s restent encore � soustraire. Les r�sultats 3 et � 3 proviennent de deux cas oppo- s�s; ces nombres eux-m�mes renferment dans leur signi- fication cette valeur oppos�e. 8 5 1 13 _5 _8 ] ⁼ �13 3�3 = 07 La combinaison de ces deux cas montre la valeur des r�sultats oppos�s 3 et � 3 = 0. En donnant le nom de positif � 3 , le reste de 8 � 5 ; il est cons�quent de donner celui de n�gatif au r�sultat de la seconde soustraction ; et (� 3) �tant le reste con- s�quent de 5 � 8 , il est tout naturel de donner � 3, le reste du cas oppos� , le signe (-+-) pour indiquer le r�sul- tat du cas contraire. La combinaison de ces deux cas contraires prouve la valeur oppos�e de ces deux nombres ; 3 et � 3 = -j- 3 � 3 = 0; ces deux nombres ont par l� la propri�t� de s'an�antir, de se neutraliser r�ciproquement. Ce qui pr�c�de renferme la signification et la valeur de ces quantit�s. Les opinions sur les quantit�s n�gatives sont loin d'�tre d'accord parmi les math�maticiens. Quant � la signification quelques uns les regardent com- me vides de sens ; comme n'�tant pas des grandeurs, comme n'ayant d'existence r�elle. Quant � la valeur on les taxe comme moindres que Z�ro;

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et bien qu'on soit persuad� de l'absurdit� de l'id�e de moindre que le n�ant, on montre qu'on ne saurait se passer de cette mani�re de regarder et de taxer ces grandeurs. Pour r�pondre � ces opinions , il sera propre de deman- der d'abord ce que c'est que la r�alit� d'un nombre. Un nombre est-ce quelque chose de r�el , dans le sens de mat�riel ? Certainement non. On peut r�aliser un nombre en prenant un nombre d'u- nit�s concr�tes , mais ces unit�s ne sont pas le nombre elles ne servent qu'� le faire figurer. Qu'est-ce donc que l'opinion, que les nombres n�gatifs n'ont pas d'existence r�elle ? Ne peuvent-ils �tre figur�s comme les nombres absolus? Il est prouv�, que les nombres n�g. rie diff�rent des pos., qu'en ce qu'ils indiquent avec le nombre un sens oppos�. Ce sens oppos� peut se r�aliser d'une infinit� de mani�- res ; -+- 3 et � 3, dans l'exemple pr�c�dent, indique que + 3 marque 3 unit�s qui restent apr�s la soustraction ; (� 3) au contraire 3 unit�s, qui restent encore � soustraire.' Quelle est la diff�rence de r�alit� dans ces deux cas , par rapport au nombre? Quand le nombre 3 indique une route de 3 lieues � 3 indiquera de m�me une route de la m�me longueur � le sens n�gatif joint � - 3 renferme un sens oppos� par rapport � 3 = + 3. Ce sens oppos� peut se trouver dans la direction ; soit 3 , une route � gauche , � 3 sera la m�me route � droite. -f-3 et � 3 ne sont-ce pas des nombres r�els, l'id�e jointe � ces nombres leur fait-elle perdre leur r�alit� de nombres ?

	grandeur dans les nombres se rapporte � la quantit�

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		des unit�s ; dans la r�alisation qui pr�c�de , -{- 3 et � 3 ne sont ils par figur�s dans les deux cas par 3 unit�s ; pourquoi donc les nombres n�gatifs ne sont pas de grandeurs ? Les nombres n�gatifs sont vides de sens ; les exemples , pris d'une infinit� d'autres, sont-ils vides de sens ? Ce qui est vide de sens, est de m�me vide de r�alit�. � En quoi ces exemples sont illusoires : en quoi p�chent-ils contre la raison et la cons�quence ? Surtout on en veut � ces nombres n�gatifs , quand ils sont isol�s. L'origine a fait conna�tre , que ces nombres indiquent dans leur signe n�gatif, qu'ils doivent �tre soustraits, que ce sont des nombres , qui renferment dans leur signe un sens d'oppos� aux nombres, qui n'ont pas cette marque ; que ce sens oppos� leur donne la propri�t� d'an�antir, de neutraliser un nombre absolu ou positif, qui renferme le m�me nombre d'unit�s. Quand on trouve le nombre isol� (� 3), a-t-il perdu par son isolement son existence, sa r�alit�, ne conserve- t-il pas toujours son nombre d'unit�s , sa grandeur, et la propri�t� de neutraliser le m�me nombre d'unit�s positives. Quelqu'un, qui par son isolement, ne peut montrer, ne peut appliquer ses forces, peut-an dire d'une telle personne, que ses forces n'ont pas de r�alit�, que les forces d'un tel sont illusoires , vides de sens. Quant � la valeur on les taxe comme moindres que Z�ro. Qu'est-ce que le n�ant ; qu'est-ce que moindre que le n�ant, moindre que Z�ro ? Une incons�quence, une contradiction, une absurdit�. � On le reconna�t, et cependant on continue � les taxer

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		comme tels ; on montre qu'on ne peut se passer de cette base , et cette base doit �tre le fondement des nombres alg�briques , des nombres complexes dans les math�matiques. D�rivation de cette opinion. 5 � 8 = 4�7 = 1�4 = 0 � 3; ainsi 5 � 8= �3 = 0 � 3. Une absurdit� ne peut, ne doit entrer dans les math�- matiques. Explication. 5 � 8 = 0 � 3 = � 3 ne signifie pas que les n�g. sont moindres que Z�ro , mais qu'une im- possibilit� dans la demande conduit � l'impossibilit� de l'ex�cuter ; (� 3) signifie simplement que 3 unit�s restent encore � soustraire ; il n'y a point de reste dans le sens propre ; le reste est, ce qui reste encore � faire ; le r�sul- tat est une quantit� , qui porte avec soi la position o� elle se trouve. Autre d�rivation de cette opinion. 3<5; 3 �5<5 �5; � 2 < 0. R�ponse. � ^ 0 est donc pris dans le sens de (■�2) � ^ 0, mais ^0 est une absurdit�; la valeur des n�g. comme moindres que Z�ro est donc bas�e sur la comparaison de quelque chose d'inconnu � une absurdit�. Les r�gles pour les in�galit�s sont justes, pour autant que les in�galit�s se bornent aux possibilit�s. Dans l'absurde, l'impossible les r�gles du cons�quent, du possible ne sont pas applicables. 3<5; 3 � 2 < 5 � 2 ; 1 < 3. Les cons�quences sont justes , pareeque les choses sont possibles. 7

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3<5; 3 �5<5� 5; � 2<0. L'impossible , l'absurde m�ne � l'absurde ; dans le pre- mier membre la chose est impossible ; dans le second elle est possible. Il est contradictoire , absurde l'id�e de y ^ entre l'im- possible et le possible ; de m�me cette id�e est telle entre les r�sultats. 3<5, 3 �8<5 �8; � 5< � 3; des deux cot�s il y a de l'impossibilit� ; l'impossible ne peut �tre fait ; quelle signification peut �tre attach�e au signe ^, qui du vrai a pass� machinalement dans l'ab- surde , l'impossible ? L'impossible n'a pu �tre fait ; cependant en faisant ce qu'on a pu faire, on a obtenu un r�sultat. 3 � 8 = � 5, 5�8 = � 3 ; de l'un cot� il reste encore 5 � soustraire , de l'autre 3. Ces nombres sont tous deux n�gatifs, homog�nes , le nombre d'unit�s marque la grandeur , ainsi � 5 y � 3. 3 <5; 3 � 4 <5 �4; � l< + 4. Entre le possible et l'impossible il n'y a pas de rapport de y ^ ; les r�sultats des deux cot�s sont h�t�rog�nes, entre lesquels le rapport de y ^ est vide de sens.

	Par la r�alisation les id�es pr�c�dentes sur les nombres abstraits prouveront leur v�rit� dans le sens concret. Les nombres 3, 5 etc. indiqueront des routes de la longueur de ces nombres en lieues. 3 < 5 ; 3 � 2 < 5 � 2 ; 1 Lieue < 3 Lieues.

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		3 < 5 3 � 5 < 5 � 5. � 2 Lieues < O Lieue ? En parcourant la route de 3 L. on est parvenu � la distance de ces lieues du point de d�part, de f origine, �e O ; diminuer cette route , cette distance , c'est faire la route oppos�e ; en faisant cette route inverse on passe le point 0 et l'on parvient � la distance de 2 L. de 0 dans une direction oppos�e ; en faisant la route (5 � 5) on est revenu au point 0. Quelle est la signification de � 2^0; le r�sultat a un sens r�el , quand on met � 2^0 savoir la distance n�ga- tive , oppos�e , � 2 L. y 0 L. La distance n�gative est-elle non-r�elle ; n'est-ce pas une grandeur ; cette grandeur est-elle vide de sens ? 3<5; 3 �8<5 �8; �5< �3. En faisant la route de 3 � 8 on est arriv� � la distance n�g. ( � 5 L) de 0 ; par la route de 5 � 8 on est arriv� � ( � 3 L) de 0. Ces distances sont-elles r�elles ; ces distances �tant homo- g�nes est-il juste l'in�galit� des distances: � 5 L. < � 3 L. ; ou bien � 5 L. > � 3 L. ? 3<5; 3 � 4<5� 4; _1<+1. Par la route 3 � 4 on est parvenu � la distance n�g. � IL. de 0; par 5�-4 � la distance pos. +1 L. de 0. L'in�galit� des distances est-elle juste: � 1 L. < + 1 L. ? Les distances sont h�t�rog�nes , elles ne peuvent �tre com- par�es dans leur sens complexe, et par cons�quent dans leur sens complexe il n'entre pas dans la comparaison

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	l'id�e de y ^ ; ces id�es entre les grandeurs h�t�rog�nes prises en sens complexe de leurs grandeurs est vide de sens. On pr�tend que � 5 est ^ � 3 , puisque par la trans- position des termes on a : �H 3 ^ �1_ 5. La signification de (� 5) , (� 3) est trouv�e par l'a- nalyse de l'origine de ces grandeurs. Ce sont des quantit�s , qui doivent �tre soustraites , ce sont des quantit�s oppos�es , des n�gatives. Soit � 5 < � 3 ; 8 � 5 sera > 8 � 3 ; 3 > 5. (� 5), (� 3) �tant des quantit�s homog�nes , on a : � 5 > � 3 , et 8 � 5 < 8 � 3 ; 3<5. La transposition dans les �quations et les in�galit�s est le r�sultat de ce que les deux membres sont augment�s ou diminu�s de quantit�s �gales. _3 = _3; �3 + 6 = �34-6; 4-3 = 4-3; dans la supposition de �3^ � 5, on aura d'apr�s la r�gle dans les in�galit�s 8 = 8; 8 � 3^8 � 5; 5^3; au contraire � 3 �tant ^ � 5 , comme quantit�s homo- g�nes , on a: 8 � 3^8 � 5; 5 ]> 3. Ainsi � 3 y � 5 , est en contradiction avec les r�gles dans les �quations et les in�galit�s.

Sur les Polyn�mes. Dans les math�matiques les signes (±) indiquent non seulement les op�rations , mais servent encore � distinguer les quantit�s pos, des n�g.

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		Tout polyn�me peut �tre regard� comme la combinaison de quantit�s absolues, unies par les signes des op�rations. Tout polyn�me encore peut �tre regard� comme la com- binaison de quantit�s complexes. a-\-b � c ; a\0 + 6f0 -j- e]^. Quand on trouve par le calcul la valeur des polyn�mes ; la valeur sera exprim�e d'apr�s la mani�re, qu'on a re- gard� et calcul� les polyn�mes. Quelle que soit la mani�re de les regarder et d'en cal- culer les valeurs ; les r�sultats r�duits l'un dans l'autre, montreront, que ces r�sultats obtenus en regardant les polyn�mes des deux mani�res , donnent cependant les m�mes valeurs ou des valeurs qui s'accordent. Cette v�rit� est le r�sultat de la connaissance de la signification et de la valeur des quantit�s complexes et de la connaissance des r�gles, que suivent les �l�ments int�grants de ces quantit�s dans les diverses op�rations. Par rapport aux polyn�mes compos�s de quantit�s complexes, pos. et n�g. , en les regardant comme polyn�mes compos�s de quantit�s absolues , unies par les signes (db), et en y appliquant les diverses op�rations , les r�sultats obtenus, transform�s ou traduits en quantit�s complexes donneront le vrai r�sultat complexe. Cette r�gle g�n�rale ne trouve, de restriction que dans l'extraction des racines, pour avoir la valeur compl�te. Ce qui pr�c�de, servira de base dans l'analyse de ce que Duhamel dit sur les quantit�s n�gatives dans son Oeuvre : des M�thodes dans les sciences de raisonnement, o� il critique les opinions de Euler , de d'Alembert, de Carnot, de Leibnitz et d'autres.

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		Duhamel, partie II, page 164 etc. »§ Les quantit�s n�gatives isol�es doivent �tre dites plus petites que Z�ro.'' »Euler, dans son Introduction � l'analyse infinit�simale, a dit que les quantit�s n�g. �taient moindres que Z�ro," »D'Alembert, dans le premier volume de ses Opuscules math�m., s'exprime ainsi a ce sujet : »Qu'il me soit permis de remarquer combien est fausse l'id�e qu'on donne quelquefois des quantit�s n�g., en disant que ces quantit�s sont au dessous de Z�ro. Ind�pendam- ment de l'obscurit� de cette id�e envisag�e m�tapbysique- ment, ceux qui voudront la r�futer par le calcul pourront se contenter de consid�rer cette proportion : 1 : � 1 = � 1 :1 proportion r�elle , puisque le produit des extr�mes est �gal au produit des moyens , et que d'ailleurs ZZ- � � 1 et J_ _ __a » � 1 ^� »Cependant si on regardait les quantit�s n�g. comme au dessous de Z�ro, 1 serait y �-1, et � 1 <( 1 ; ainsi il ne pourrait y avoir proportion." »Il est vrai que Leibnitz pr�tend que (� 1) n'est pas moyen proportionnel entre 1 et 1 , non plus que � 2 entre 1 et 4 , quoiqu'il avoue que � 2x � 2=1x4; parceque les quantit�s n�g. , dit-il, entrent dans le calcul sans entrer dans les rapports , et que des fractions ne sont pas la m�me chose que des rapports." »J'avoue que je ne sens pas la force ni la v�rit� de cette raison : elle tendrait � renverser toutes les notions alg�- briques par des limitations inutiles et forc�es ; et elle ne serait juste d'ailleurs qu'en supposant que les quantit�s n�g. sont au dessous de Z�ro , ce qui n'est pas." La raison de L. sera : les quantit�s n�g. entrent dans

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		le calcul, dans le sens de quantit�s oppos�es ; elles n'en trent pas dans les rapports ; puisque L. n'aura pas distin- gu� les deux �l�ments des quantit�s n�g., et par l� il ne lui a pas �t� clair, comment on pourrait d�terminer le rapport complexe de ces quantit�s complexes. Des fractions ne sont pas la m�me chose que les rap- ports ; L. a dit vrai par rapport aux quantit�s n�g. et pos. ; les fractions dans le sens primitif marquent les parties . q d'un tout ; dans ce sens -�, n'est pas une fraction , car le num�rateur et le d�nominateur ne sont pas homog�nes ; le tout serait divis� en quatre parties � valeur n�g. ; on ne peut avoir 3 parties pos. comme fraction de 4 parties n�g' I q Cependant -��. marque un rapport, savoir les deux quantit�s prises absolument ont le rapport de j, mais puisque ces quantit�s sont complexes, le rapport de leur condition, de leur situation, de leur direction est celui d'oppos� � n�g. : ainsi le rapport complexe de ±� est = � j' Par cons�quent la conclusion de d'Alembert n'est pas juste que les n�g. devraient �tre au dessous de Z�ro, pour pouvoir faire la remarque de L. Duhamel : » Carnot approuve la r�futation de d'Al., et s'exprime en ces termes au commencement de sa G�om�- trie de position." »Les notions qu'on a donn�es jusqu'ici des quantit�s n�g. isol�es, se r�duisent � deux : celle dont nous venons de parler, savoir que ce sont des quantit�s moindres que Zro ; et celle qui consiste � dire que les quantit�s n�g. sont de m�me nature que les pos. , mais prises dans un sens contraire." »D'Al. d�truit l'une et l'autre de ces notions. Il repousse d'abord la premi�re par un argument qui me para�t sans r�plique."

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		»Soit, dit-il , cette proportion : 1 _: �1 = _1 ; 1." »Si la notion combattue �tait exacte , c. �. d. si � 1 �tait plus petit que Z�ro , � plus forte raison serait-il moindre que 1 ; donc le second terme de cette proportion serait moindre que le premier ; donc le quatri�me devrait �tre moindre que le troisi�me , c. a. d. que 1 devrait �tre moindre que � 1 ; donc � 1 serait tout ensemble moindre et plus grand que 1 , ce qui est contradictoire." Dans le passage de Carnot se trouve : »Les n�g. sont les m�mes que les pos. mais prises dans un sens contraire. D'Al. d�truit l'une et l'autre de ces notions." L'auteur regrette de ne pas trouver dans Duhamel la r�futation de cette notion par d'Alembert, et de n'avoir �t� dans l'occasion de l'avoir ; ainsi il n'a pu y r�pondre. Duhamel : »Ces diverses opinions sont aussi peu fon- d�es les unes que les autres. »Et d'abord , quand on nie que les quantit�s n�g. sont moindres que Z�ro, il faudrait demander � ceux, qui l'affirment, ce qu'ils entendent par l� , autrement on ne saurait pas ce que l'on nie. Et si on l'avait fait, on aurait fini par s'entendre , car il n'est jamais venu � l'esprit de personne de pr�tendre qu'il y ait quelque chose de plus petit que rien." »Quant � la pr�tendue d�monstration de d'Al. approu- v�e par C., il est bien �trange que ces deux illustres g�om�tres n'en aient pas aper�u le d�faut." »Que signifie cette proportion 1 : �1 = �1:1? D'o� vient-elle? Comment l'entend-on? Est-elle r�sultat ou donn�e? Si l'on entend qu'on fasse les divisions d'apr�s les r�gles des signes dans le cas des polyn�mes , on dira en effet que le rapport -_z^j est � 1 , comme le second

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		~~'■, et on pourra appeler leur �galit� une proportion. Mais on n'attachera r�ellement aucun sens � ces op�rations �et les remarques faites dans le cas des v�ritables propor- tions n'auront aucune raison de s'appliquer ici : et Ton ne pourrait dire que si le premier terme d'un rapport est plus grand que le second , il en doit �tre de m�me dans l'autre." »Quelle d�finition donnera-t-on de plus grand ou plus petit, relativement � des choses qui ne sont pas des gran- deurs ?" »Ces observations suffisent pour montrer le vide de ces simulacres de raisonnements , qui se font sur des choses non d�finies , sans existence r�elle et o� l'on se sert de propositions �tablies sur des grandeurs v�ritables." Il est bien hasard� de se prononcer sur ces auteurs ; d'Al. n'a pas dit directement ce qu'il entend par des quan- tit�s n�g. , il dit simplement qu'il est absurde en tout sens de les regarder comme moindres que Z�ro ; Carnot dit que d'Al. d�truit encore la notion que les n�g. sont les m�mes que les pos. mais dans un sens contraire. Duh. ne sait pas par cons�quent quelle est l'id�e de d'Al. ; il s'�tonne de ce qu'on parle de ces choses sans les d�finir, tandis que sa propre id�e n'est autre que de dire : .des choses qui ne sont pas des grandeurs etc. , sans qu'il fournisse la raison pour cette opinion. Toujours Duhamel juge d'apr�s son id�e sur les polyn�- mes et les quantit�s n�g. isol�es ; 'il oublie que les sig- nes ± dans les polyn�mes n'indiquent pas absolument des op�rations ; et � l'�gard des quantit�s n�g. isol�es, que quand elles se pr�sentent isol�es on en conna�t cependant la sig- nification , la valeur par leur origine et le sens qui en d�rive. Quand ces quantit�s isol�es d�signent des quantit�s con- cr�tes , on en sait d'abord la valeur absolue, r�elle, il

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		ne manque que le sens relatif, qui n'influence pas la �valeur r�elle. Les cons�quences de ces id�es se montrent dans les conclusions , que Duhamel tire des op�rations sur les poly- n�mes . dont il sera parl� apr�s ; les cons�quences se manifestent ici par rapport aux proportions. On se demande , sur quel fondement Duh, se prononce sur les proportions de la mani�re suivante : »Et l'on ne pourrait dire que si le premier terme d'un rapport est plus grand que le second , il en doit �tre de m�me dans l'autre." Les rapports dans une proportion peuvent �tre tr�s diff�rents , d'apr�s les quantit�s ou les grandeurs qui entrent dans la proportion , comme il est d�j� prouv� plus haut � l'�gard des rapports complexes des quantit�s complexes ; mais toujours il est vrai que si le premier terme d'un rapport est plus grand que le second , il en doit �tre de m�me dans l'autre. D'Al. a eu raison de parler de plus grand et de plus petit, puisqu'il regardait les n�g. isol�es comme des gran- deurs ; il s'est tromp� en ne pas observant que les pos. et les n�g., quantit�s en sens complexe , sont h�t�rog�nes ; dans ce sens le rapport de y ^ est vide de sens. Duhamel oublie que dans certains cas les proportions peuvent �tre v�ritables et justes sans qu'il y ait question de plus grand et de plus petit. Duhamel fait quelques questions sur la proportion de d'Alembert et de Carnot. »Que signifie cette proportion?" La proportion renferme des quantit�s complexes abstraites ; d'Al. a montr� par le produit des extr�mes et par l'�galit� des raisons ou des rapports que la proportion r�pondait aux propri�t�s des proportions ; � elle est exacte non seulement en sens

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		abstrait, mais encore on peut la traduire en sens concret. La proportion signifie proprement : lfO : lfTT = lfr : lfO. Le produit des extremes 1\|0 . 1^0 = l^O est �gal � celui des moyens Ifw . ljv = 1\|2tt = 1\|0. L'identit� des rapports se d�montre encore de la mani�re suivante, par les propri�t�s des proportions : lfO : lfsr = 1\|�t : ljO en multipliant les termes du second rapport avec le m�me facteur \\w,* on obtient: ljO : 1\|tt = ipvr : \\x = lfO : lfzr. La proportion est juste et la signification en est expliqu�e en sens abstrait.

		»D'o� vient-elle ?" On pourrait r�pondre en disant sim- plement : pourquoi cette d�mande ? � Cependant on peut donner des r�ponses directes. Deux personnes ont fait la route d'une lieue l'une � droite, l'autre � gauche, on demande les nombres, qui marqueront le rapport de ces routes � direction oppos�e. Lieues. + 1 : � 1 =-+-1 : � 1 == �1 : + 1 comme il est prouv� ci-devant. Le rapport des longueurs absolues des routes est 1 ; le rapport des autres facteurs, le rapport des directions est une demi-rotation = \ir = \ 180. »Est-elle r�sultat on donn�e ?" Comme on veut, cequi suit imm�diatement de ce qui pr�c�de. Ces r�ponses renferment en m�me temps la r�ponse aux mots qui suivent : »mais on n'attachera r�ellement aucun sens etc."

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	R�ponse � la conclusion de Duhamel : »Ces observations suffiront etc." L'auteur s'�tonne d'entendre quelqu'un se prononcer de la sorte dans un livre , dont le but principal est de mar- quer les d�fauts et de garantir contre des opinions non bas�es sur des v�rit�s solides. Duhamel pr�tend que ses observations suffiront pour montrer le vide de ces simulacres de raisonnements. Il est vrai que les auteurs n'ont pas d�fini pr�cis�ment les choses qu'ils traitent ; ne pas d�finir pr�cis�ment une chose est un vide, un d�faut, pour se faire entendre de ceux , qui ne connaissent ces choses ; mais ne pas d�finir une chose n'est pas toujours ne pas la conna�tre , et encore, m�me dans le cas que les auteurs n'ont su les d�finir pr�- cis�ment , il n'en suit pas directement, que ces choses non d�finies sont sans existence r�elle , que ces grandeurs ne sont pas de v�ritables , et que par l� les propositions �tablies , appliqu�es � ces grandeurs ne sont justes. La seule remarque juste serait, qu'il est hasard� de compter d�finitivement sur les r�sultats obtenus sans con- na�tre parfaitement les quantit�s, les grandeurs qu'on soumet � des r�ductions, � des op�rations ; remarque � faire sur toutes les op�rations faites sur les grandeurs imaginaires en particulier, sur les complexes en g�n�ral.

Duhamel, II, page 466 etc. Dans ces §§ il traite les In�galit�s. Bien des lois Duhamel s'est prononc� sur les quantit�s n�g. comme vides de sens , comme des grandeurs qui ne sont pas des grandeurs , qui n'ont pas d'existence r�elle; dans ces §§ il va »montrer comment, contrairement � l'opinion de d'Alembert et de Carnot il peut y avoir

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		lieu de consid�rer les quantit�s n�g. comme plus petites que Z�ro" � et encore »qu'on doit regarder comme la moindre de deux quantit�s n�g. celle qui a la valeur ab- solue la plus grande." Duhamel : »Il est n�cessaire pour cela de rappeler les premiers principes du calcul des in�galit�s, qui sont si simples , que nous n'avons pas cru devoir nous en occuper sp�cialement." Apr�s avoir dit ce qu'on doit faire pour tirer d'une in�- galit� la limite de l'inconnue , il continue : »Mais si les nombres connus sont repr�sent�s par des lettres dont les valeurs puissent �tre prises arbitrairement, on sera expos� � trouver des soustractions impossibles, quand on particularisera ces valeurs; et l'un des membres, ou m�me tous les deux pourront se pr�senter sous la forme de quantit�s n�g." »Si par ex. en partant de l'in�galit� : 1) a + � ^ c + d , on tire 2) a � c ^ d � b , et que dans un cas particulier on ait d = b , et par suite a ^ c ; (1) et (2) se r�duiront � 3) a � c^O; et, comme a � c est n�g., l'in�galit� (3) exprime qu'une quantit� n�g. est plus petite que Z�ro." Dans ce qui suit, Duh. dit encore que» a � c ^ 0 n'est qu'une mani�re d'�crire a(c, qui n'aura aucun inconv�- nient ; qu'il faut se r�signer � accepter cette forme de l'in�galit� ou ne pas faire le calcul g�n�ral ; mais que ce serait se priver de l'avantage des solutions g�n�rales et sans aucun int�r�t puisque la forme bizarre du r�sultat est interpr�t� d'avance et pourra �tre chang� sans difficult�." »Et si l'on avait retranch� des deux membres une quantit�s sup�rieure au plus grand membre, les deux membres se trouveraient n�g. et celui qui aurait la plus grande valeur absolue serait indiqu� comme le plus petit."

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»Et tout cela serait d'accord avec les propositions qui ont lieu dans le cas des nombres absolus." »Par ex. , si on ajoute une quantit� absolue plus petite qu'une seconde , la somme est moindre que si on ajoutait la seconde ; or il en sera de m�me pour l'addition de quan- tit�s n�g., telle qu'on l'entend, pourvu qu'on regarde comme la moindre de deux quantit�s n�g. celle qui a la valeur absolue la plus grande." »Au reste , les in�galit�s dont les deux membres sont n�g., prendront une forme r�elle en faisant passer respec- tivement les termes d'un membre dans l'autre. � Ainsi l'in�galit� �5 <^�3 deviendra 3<^5; �2 <( 0 deviendra 0<2."

	R�ponse. La question apr�s tout ce qui pr�c�de c'est : s'il est vrai qu'on ne peut se passer dans les math�mati- ques de principes , qui ont pour r�sultats des formes bizarres ; de principes bas�s sur des absurdit�s : � 2^0, � 5 ^ � 3; qu'on doit se r�signer d'accepter ces principes ou ne pas faire le calcul g�n�ral. L'auteur, apr�s avoir d�j� parl� bien amplement sur les in�galit�s , le juge cependant � propos d'y revenir encore, pour essayer de trouver le fond de ces obscurit�s , de ces contradictions , et de chercher ainsi le moyen de les expliquer.

		Les �quations peuvent se diviser en deux esp�ces : les �quations d'�galit� et les �quations d'in�galit� ou de limite. Les deux membres des �quations d'�galit� ont la m�me valeur exprim�e en formes diff�rentes. Dans les �quations d'in�galit� ou de limite un des mem-

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bres renferme un limite exprim� par une quantit� pr�c�- d�e d'un des signes y ^. Ces signes y ^ ainsi que les signes + et d'autres, doivent �tre regard�s comme �l�ments int�grants des quan- tit�s auxquelles ils sont joints ; par cons�quent ces signes ne doivent �tre s�par�s de ces quantit�s avec lesquelles ils forment une autre esp�ce de quantit�s complexes appe- l�es limites. En observant cette id�e les �quations d'in�galit� ne four- niront point d'obscurit�s ; les r�sultats ne seront pas des formes bizarres et encore il sera prouv� que pour g�n�ra- liser le calcul on n'est pas oblig� d'accepter des contradictions. Pour revenir � l'exemple de Duhamel, o ■)■ J(cfd; cette in�galit� formera l'�quation de limite : a + b = <(c -f d), signifiant : (a + b) est �gal � un nombre plus petit que (c -\. d). Soustrayant des deux membres b -f- C, on a : a+ b-(b + c) = <(c + d) �(�-f-c), ce qui donne apr�s quelque r�duction : a�c � ((d)�b, soit d = b, on aura : a � c = � (^O)et non a � c ^ 0. Explication. Ayant d = b, ((d) sera moindre que b, ainsi le r�sultat de ((d) � b sera n�gatif et puisque ((d) est' moindre que b le reste ne sera pas Z�ro mais plus grand que Z�ro. L'�quation bien comprise ne renferme donc ni contradic- tion , ni absurdit� ; car il est tout cons�quent que a � c, a �tant ^ C, donne pour r�sultat une quantit� n�g. non �gale � Z�ro ; et ainsi l'�quation de limite est juste , car � y 0 , le limite , indique une quantit� n�g. ( y 0 ).

	Quand on a : a ^ c , ce qui implique l'�quation a =z ( ( C ),

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			et quand on diminue les deux membres de b plus grand- que a et c , on aura pour r�sultat: a � b := ( ^ c) � b , le premier membre donnera un nombre n�gatif, mais , comme c est plus grand que a , le r�sultat du second membre , de m�me un nombre n�g. , sera cependant moindre- que celui du premier. Ainsi a � b = ((c) � b, donnera pour r�sultat _(&_«) = __>(6__c). Ce qui signifie le nombre n�g. � (b � a) est plus grand que le nombre n�g. r�sultat de (b � c).

		Quand on a: 3^5; 3 = (^5), et qu'on diminue des deux cot�s de 5 , ou aura : 3 � 5 = ( ( 5) � 5; mais comme ( ^ 5) est moindre que 5, le r�sultat ne sera pas Z�ro , mais _(5 � 3) = � > 0 , on � 2 = � (> 0) ainsi � 2 est une quantit� n�g. dont le limite est une autre quantit� n�g. plus grande que Z�ro.

	Encore 3^5; 3 = (<^5), en soustrayant des deux cot�s 8 , on aura : 3 � 8 = (<5)-8; _(8_3) = �>(8 �5), ~5 = � >3, la quantit� n�g. � 5 a pour limite la quantil� n�g. � ^3.

De ces exemples il suit qu'on n'est pas forc� d'accepter la contradiction , que dans des quantit�s homog�nes il y en aurait, qui seraient plus petites � mesure que le nombre des unit�s �tait plus grand.

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	Sur la transposition : � 5 ^ � 3; 3^5. Dans ces transpositions Duhamel trouve la preuve de la v�rit� de � 5 ^ � 3. � La grandeur des quantit�s se m�- sure par le nombre d'unit�s qu'elles renferment ; l'id�e de plus grand et de plus petit ne se rapporte qu'aux quan- tit�s ou grandeurs homog�nes : entre des quantit�s h�t�- rog�nes il n'est question de plus grand ni de plus petit. � 5 et � 3 sont des quantit�s homog�nes, dont la grandeur se mesure d'apr�s le nombre d'unit�s , ainsi � 5> �3. Les n�g, par rapport aux pos. sont de valeur oppos�e ; quand on ajoute des deux cot�s la quantit� pos. 8, on a 8 � 5 = 3; 8 � 3 = 5; le r�sultat est 3 ^ 5 ; la raison en est que dans le premier cas la quantit� pos. unie � la n�g. est diminu�e de 5 unit�s, dans le second de 3 unit�s. Ainsi � 5 > � 3 et 8 = 8 donne 3 < 5.

Encore 3^5; 3 = (^_5); diminuant des deux cot�s de 8 , on a : 3 � 8 = « 5) � 8 ; � 5 = � > (8 � 5) = � ^ 3 ; � ^3=r^ � 3 �tant le limite de � 5 , marque que � 5 a pour limite une quantit� n�gative plus grande que 3; �5 = � > 3 ; � 5 > � 3. Quant � la transposition dans les �quations il n'est pas n�cessaire que dans la transposition les signes se changent ; quand on a : a = b , on obtient par la transposition b = a ; de m�me dans les �quations d'in�galit�s on peut transposer les membres sans changement de signes , pourvu que les quantit�s complexes limites conservent les �l�ments dont elles sont compos�es. Ainsi dans : � 5 )> � 3; � 5� y � 3, on a: 8

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		y � 3 = � 5 ; de m�me on peut changer les signes sans que la transposition soit exig�e ^ 3 ;= 5 ou cequi en r�sult� 3 = ^5. En confrontant cequi vient d'�tre dit sur les �quations des deux esp�ces, avec les opinions, les principes cit�s de Duhamel, on devra reconna�tre que toutes les choses qui se rapportent aux in�galit�s, s'expliquent d'une mani�re toute naturelle , que les r�gles sur les �quations d'�galit�, s'appliquent de m�me sur celles des in�galit�s, des limites, sans qu'on ait besoin d'accepter des contradictions � 5 ^ � 3, ni des absurdit�s � 2 <^ 0. Le point essentiel dans les in�galit�s , c'est de regarder les limites comme des complexes et de leur conserver durant les op�rations et les r�ductions le signe y ou ^, l'indice de la relation o� elles se trouvent. Duhamel termine ses raisonnements sur les in�galit�s en parlant encore de la multiplication et de la division ; en transcrivant ses paroles , on verra que cequi pr�c�de, ren- ferme le jugement sur ses opinions. »Ceque nous venons de dire s'applique � toutes les transpositions de termes et g�n�ralement aux additions ou soustractions des membres dea in�galit�s. Si on effectue ces op�rations suivant les r�gles ordinaires et sans s'in- qui�ter des signes des nombres, les r�sultats seront toujours exacts et r�ductibles � une forme intelligible par elle-m�me." R�marque. � Une quantit� n�g. prise n�gativement donne une quantit� pos. ; de m�me il en est quand on prend une contradiction dans un sens contraire, oppos�. � 5 <( � 3 renferme une v�rit� oppos�e, n�gative, 4-3^+5 » » » positive. Comme il est prouv� auparavant la derni�re in�galit� est obtenue en additionnant des deux cot�s le nombre -{- 8.

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Le r�sultat logique serait -f 3 y -\|- 5 ; cette in�galit� prise en sens oppos� , n�g. donne -}- 3 ^ -f- 5 ; c'est l� le r�sul- tat de l'analyse du dernier passage de Duhamel.

	Duhamel dit, que dans la multiplication et la division des in�galit�s, on doit avoir soin de s'assurer si les multi- plicateurs ou diviseurs sont des nombres pos. � Car �tant n�g. p. ex. (� a) , »si on commence par multiplier ou diviser les deux membres par (a) on aura une in�galit� vraie, mais si on change ensuite les signes des deux membres, il faut renverser le sens de l'in�galit�; car le changement de signe de tous les termes revient � un changement de membre" � (Au changement des deux mem-, bres , par cons�quent etc.) »Nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet : les cas que nous omettons s'expliqueront toujours sans difficult� par les m�mes consid�rations." »Et la conclusion de cette discussion est que si l'on veut avoir des proc�d�s g�n�raux pour le calcul des in�galit�s, on est forc� de dire que les quantit�s n�g. sont trait�es comme plus petites que Z�ro , et xllautant moindres qu'elles ont plus de valeur absolue ; et que les expressions de plus petit et plus grand seront appliqu�es d'apr�s les m�mes principes que pour les quantit�s absolues." »En proc�dant ainsi on n'est expos� � aucune erreur , � aucune difficult�, et on a l'avantage de la g�n�ralit�. Mais si l'on rejette les formes d'in�galit�s qui expriment qu'une quantit� n�g. est plus petite que Z�ro, on s'in- terdit tout calcul sur des in�galit�s dont les termes sont litt�raux et l'on ne concevrait pas qu'apr�s avoir admis les quantit�s n�g. pour g�n�raliser le calcul des �quations,

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		on s'y refus�t dans le cas des in�galit�s, lorsqu'il est bien entendu qu'on ne veut pas dire qu'il existe quelque chose de plus petit que rien , et que l'in�galit� qui le dit n'est qu'une forme sans danger qu'on peut changer d�s qu'on y aura quelque int�r�t." En lisant cette conclusion on a peine � se persuader qu'on �tudie un trait� des math�matiques ; on croit plut�t se trouver sur un tout autre terrain ; on se croit en pr�- sence de quelqu'un qui vous prescrit les r�gles � suivre dans vos actions ; qui vous dit comment vous devez regar- der les choses et les taxer ; � mais qui en m�me temps vous commande de ne pas demander le pourquoi de ceque vous ferez ; qui vous interdit de vous opposer ou d'avoir d'autres id�es sur les choses , quoique la mani�re prescrite soit en opposition avec la raison et r�pugne au bon sens ; � ce quelqu'un vous pr�vient en vous adressant des paroles consolantes, sachant qu'il vous en co�tera d'accepter ces id�es et ces r�gles comme vraies ; il vous dit : suivez mes conseils et mon instruction et tout ira bien, vous ne rencontrerez de difficult�s ; � si au contraire vous n'ac- ceptez pas, vous serez rejet�.

		Sur les op�rations avec les nombres pos. et les n�g. Le compl�ment sur les pos. et les n�g. demande de traiter encore sp�cialement les op�rations appliqu�es � ces nombres. Le sens complexe de ces nombres fait, que les op�rations qui se rapportent aux deux �l�ments, sont plus compli- qu�es et que les r�sultats obtenus d'apr�s les r�gles d�mon- tr�es , demandent encore une explication sp�ciale. L'application des op�rations � ces quantit�s complexes

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		a chang� � certains �gards la signification de ces op�rations compar�e � celle des quantit�s absolues. Cequi suit trouvera sa base dans le sens attach� aux quantit�s n�g. ; � il sera permis d'oser pr�tendre que la signification et la valeur trouv�e par l'analyse n'est pas une opinion donn�e d'une mani�re arbitraire ; il est prouv� que ce sens non fond� sur quelque absurdit� ou quelque contradiction , n'a pas rencontr� jusqu'ici des difficult�s , des obscurit�s , qui ne s'expliquaient d'une mani�re con- s�quente et raisonnable et servaient en m�me tems � prou- ver la valeur de l'id�e attach�e � ces nombres soit dans leur signification soit dans leur valeur. Les nombres pos. isol�s ne sont que des nombres abso- lus; les n�g. isol�es marquent leur origine dans le signe, dont ils sont accompagn�s ; ce sont des nombres qui res- tent � soustraire, le nom de n�g. leur est donn� pour les distinguer des' pos. ; il est indiqu� que cette d�nomination n'est pas tout � fait sans raison , n'est pas incons�quente. De cette origine on a d�riv� la signification d'oppos�e, cons�quence tir�e de l'influence de ces nombres dans leur combinaison avec les pos. Les pos. et les n�g. ne diff�rent en rien par rapport � la r�alit� des unit�s qu'ils renferment. Le facteur de pos. et de n�g. indiqu� par les signes ± ou de quelque autre mani�re, n'a la moindre influence sur la r�alit� de ces nombres ou grandeurs ; ces facteurs se rapportent uniquement aux relations, aux conditions , aux positions , aux directions etc. o� ils se trouvent. De m�me que dans les op�rations les nombres changent d'apr�s les r�ductions auxquelles ils sont assujetes, de m�me les autres facteurs varient suivant les changements qui r�sultent des diverses op�rations.

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		IJ addition. � Dans cette op�ration les quantit�s com- plexes peuvent �tre homog�nes ou h�t�rog�nes par rapport � leur facteur de relation , de direction. (+8) + (+5) = +13; (_8) + (-5) = -13. Le sens de ces exemples est clair. (+8),+ (-5) =.+ 3; (�8) + (+5) =-3. Le sens d'oppos� dans les pos. et n�g. explique les r�sultats. La soustraction. Cette op�ration renferme par rapport aux complexes diff�rents cas : 1. Les nombres sont homog�nes et la soustraction possible dans le sens direct : (+8) �(+5) = +3; (-8)-(-5) = -3; les exemples n'ont besoin d'explication. 2. Les nombres sont homog�nes ; le nombre qui doit �tre soustrait plus grand que l'autre. (+5) -(+8) = -3; (_5)-(-8) = -(-3) = + 3. Le premier exemple est d�j� expliqu� auparavant ; le second donne d'abord (■� 5) � (� 8) = � (� 3) ; le signe (�) qui pr�c�de (� 3) indique que le reste ou le r�sultat doit �tre pris n�gativement c. � d. en sens op- pos� . ainsi � (� 3) = + 3. Pour ajouter encore � la d�monstration logique, bas�e sur le sens des n�g. et la signification des signes en sens complexe, on peut trouver la valeur de � (� 3) de la mani�re suivante. Les quantit�s oppos�es (+3), (�'3) s'an�antissent, se neutralisent; (+3) -f- (�3) = 0 = Z�ro. En soustrayant des deux cot�s (� 3), on a : + a = o ~(~3) = -(-3). Il serait absurde de vouloir regarder le r�sultat de la derni�re soustraction comme une preuve que -+- 3 �tait encore moindre que Z�ro.

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		3. Les nombres sont h�t�rog�nes ; (+ 8) -, (_ 3) = + 11 ; (- 8) - (+ 3) = - U. Quand on voudrait dire d'abord dans le premier exemple � (� 3) = H- 3 , ainsi +8 + 3 = + 11 , on ferait l'ob- jection que dans ces deux exemples les signes (�) entre les deux quantit�s complexes n'indiquent pas des conditions mais des op�rations. Dans les deux exemples les quantit�s sont h�t�rog�nes , donc on ne peut soustraire les unes des autres ; le mot reste dans le sens primitif est vide de sens dans ces exemples. Dans le sens primitif le mot reste implique encore l'id�e de plus grand et de plus petit ; cette id�e n'entre non plus dans les soustractions de cette esp�ce. Quelle est donc l'id�e qu'on peut attacher � ces op�ra- tions ? Le rapport qui existe entre les pos. et les n�g. fait qu'on peut y attacher une id�e de comparaison , pour trou- ver combien ces quantit�s diff�rent les unes des autres ; combien on doit ajouter � l'une pour avoir l'autre. Les pos. et les n�g. ont un origine commun , la gran- deur de ces quantit�s marque leur distance de l'origine , les unes en direction pos. , les autres en n�g. ; en con- frontant ces deux grandeurs on trouve non seulement combien elles diff�rent par rapport � ces distances prises absolument, mais encore combien elles diff�rent les unes des autres, dans le sens : quelle est leur distance r�cipro- que ; combien on doit ajouter � l'une pour avoir l'autre. (+8) � (�3) = +11. Signifie que l'on doit ajou- ter � (� 3) la distance pos. (-f- 11) pour avoir (-\|- 8); (�8) � (+3) = �11 ; signifie que l'on doit ajouter � + 3 la distance n�g. (� 11) pour parvenir � (� 8). Ces diff�rents cas prouv�s et expliqu�s en sens abstrait <

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	seront encore pris en sens concret pour montrer que la r�alit� concr�te est d'accord avec la r�alit� abstraite. La multiplication. Dans la Th�orie la multiplication des nombres complexes a �t� trait�e en g�n�ral ; celle des pos. et des n�g. trouvera son explication , sa d�monstration dans la signification de ces nombres et de ces signes. 1. (+4) (-(-3) = +12. Signification: prenez la quantit� pos. (+4) trois fois, prenez la positivement c. a d. ne changez rien � sa relation, � sa direction pos. 2. (� 4) (4- 3) = �12. Signifie : prenez la quantit� n�g. (�4) trois fois etc. Ainsi �12. 3. (-(-4) (�3) = �12. Signifie: le facteur 3 dans le multiplicateur a le m�me sens ; le facteur (�) = � 1 indique qu'on doit prendre (+4). 3 = -f- 12 dans un sens oppos� � (-f- 12) = � 12. 4. (_ 4) (�3) = + 12. Signifie : (� 4). 3 = � 12 ; le facteur (� 1) du multiplicateur indique que le dernier produit doit encore �tre pris en sens oppos� � (�12) = +12.

lia division. Explication des diff�rents cas : Les r�sultats des diff�rents cas de la division pourraient �tre d�riv�s de la multiplication, l'explication, la d�monstra- tion directe prouve la validit� de ces r�sultats.

			12
		1.	12
		1.
				+ 3. Sign. Divisez les quantit�s pos. (+12)

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		en 4 parties �gales (-(-3) prenez les positivement c. a. d^ ne changez rien � leur relation , � leur direction. 3. �- = � 3. Sign. La m�me de (1). 3. ±1! - � 3. sign. ⁺¹² = + 3. Le facteur �1 dans le diviseur indique, qu'on doit changer encore le quotient obtenu en sens oppos� � (+ 3) = � 3. 4L. -�r- = -+-3. Sign. Les cas pr�c�dents renferment l'explication de (4) ; =1- = � 3 ; � (� 3) = + 3. En confrontant l'explication dans la Th�orie � l'�gard de la multiplication et de la division avec celle qu'on trouve ici, on pourrait croire de remarquer une certaine diff�- rence de principes. Dans la Th�orie se trouve pour r�gle de la multiplica- tion prenez le produit des facteurs comme absolus et donnez � ce produit pour facteur de direction la somme des direc- tions � Pour r�gle de la division prenez le quotient des facteurs comme absolus, et donnez � ce quotient pour facteur de direction , la diff�rence des directions du divi- dende et du diviseur. La diff�rence n'est qu'apparence dans le cas particulier des pos. et des n�g. , puisque l'expression prendre une quantit� en sens oppos� �quivaut � ajouter � sa direction la direction de (k) on (180°) et � la diminuer de cette direction � (+ 3) = (+ 3) \|t = 3fr � � 3 ; � (� 3) = (_ 3) fff � (3fff) fff = 3p7T - + 3. De m�me il en est avec la division.

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	Lie sens concret dans les op�rations appliqu�es aux quantit�s pos. et aux n�g.

Les quantit�s complexes abstraites se trouvant isol�es ont toujours un sens d�termin� , elles se rapportent aux positives qui dans un sens abstrait ne sont que les absolues. Les concr�tes se trouvant isol�es n'ont un sens d�ter- min� que par rapport � leur grandeur, leur r�alit� absolue ; se trouvant isol�es sans rapport � la concr�te positive on ne sait leur relation , leur condition , leur direction. Les exemples seront rares , s'il y en a , que les quan- tit�s se pr�sentent sans que la relation aux positives soit connue ou indiqu�e. Une quantit� relative sans relation est une contradic- tion. � Le manque de la relation n'influe cependant point sur la valeur r�elle de la quantit� ou de la grandeur. L'addition. (±8) -f (±3) = ± 11. Quelles que soient les grandeurs repr�sent�es par ces quan- tit�s , la somme indiquera le nombres d'unit�s homog�nes aux unit�s additionn�es. !)� (+ 8) + (- 8) = (+ 6) ; 2). (- 8) + (+ 8)-= (-5). 1)2). Soit que les quantit�s indiquent des routes ; les sommes marqueront les distances du point de d�part avec la direction. Soit que les quantit�s se rapportent � la possession de quelqu'un ; la possession prise comme la base , comme po- sitive ; les sommes marquent l'�tat de la possession. La soustraction. (± 8) � (± 3) = ± 5). Cet exemple n'aura besoin d'explication. (± 5) � (± 8) = � (± 3) = =F 3.

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		Quelqu'un a fait la route de 5 Lieues dans la direction du nord (-f- 5) il diminue la distance o� il est parvenu de la route de (+8), il parviendra � la distance de 3 Lieues du point de d�part dans la direction du sud (� 3). Quelqu'un poss�de f (� 5) ; la possession �tant pos., � (� 5) signifiera sa dette ; on doit diminuer sa possession de �(�8); le r�sultat sera qu'il en reste encore � (�-3) � soustraire. En sens concret la chose n'est pas impossible ; il demande � un autre /3 et signe la dette de /3; sa possession sera �(+ ³) + �(� 3) = 0, puis on lui prend les /(�3) � soustraire, le r�sultat sera qu'il lui reste /(■{■ 3). (+8)-(-3)= + H; (_8)_(₊3) = -ll. Prenant le premier exemple dans le sens de l'exemple pr�c�dent, le r�sultat est expliqu�. Le second exemple s'explique de m�me quand on prend (�8) ~ une dette de � 8 = f(�8); prendre � quel- qu'un qui ne poss�de que des dettes une somme positive , c'est augmenter ses dettes �( � 8) � �"(+ 3) = /'(�11). Quand on attache � ces exemples le sens de chercher la diff�rence, la distance des grandeurs indiqu�es , les r�sultats sont les m�mes et l'application n'a point d'obscurit�. Quelqu'un a fait la route de 8 Lieues � droite; (+ 8), un autre de 3 Lieues � gauche (� 3) ; ces personnes seront �loign�es l'une de l'autre de 11 Lieues; la distance du second au premier sera (-(- 11) Lieues ; du premier au second (�11) Lieues. La multiplication. Le multiplicateur ne peut �tre qu'un nombre abstrait.

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		Le facteur de direction dans le multiplicateur ndique la condition , la relation dans laquelle le produit doit �tre pris. �(+ 4) (+ 3) = f(+ 12); �(- 4) (+ 3) = �(- 12). Ces exemples ne demandent point d'explication. fi pris trois fois donnent /12 et comme le multipli- cateur indique que la valeur relative doit rester la m�me, on a /(±12). (-(-4) degr�s (�3) = (�12) degr�s. Quelqu'un monte de 4 degr�s (-(- 4) ; prenant cette ascension 3 fois on a 12 degr�s (-f- 12), mais comme cette ascension doit �tre prise en sens oppos� on aura pour produit la descente de 12 degr�s (� 12). /(-4) (-3) = (+12). . Prenez les /4 trois fois dans la condition oppos�e � celle o� ils se trouvent ; prenez les 3 fois en sens oppos� de leur valeur relative, etc. , etc. �(_ 4) (-3) = _/-(_4)3 =-/(-12) = /(+12). La division. En sens concret les deux exp�ces de la division , demandent une explication sp�ciale par rapport aux grandeurs et quantit�s complexes qui y entrent. l^re Esp�ce. � Pour trouver la raison entre les gran- deurs complexes , pos. ou n�g. + an i _. � an i -� � -j- n; �� � ■+- n. + a � a ' Dans ces exemples, quelles que soient les grandeurs con- cr�tes , elles ont la m�me valeur relative ; le quotient n indique la raison des deux grandeurs.

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Le signe de pos. dans le quotient indique que (+ a) est
comprise dans (± an) , n fois positivement = directement
= r�ellement.

+ an

�� = � n ;

4- a

Le nombre n se rapporte aux grandeurs prises en sens
absolu ; dans les deux exemples ces grandeurs sont oppo-
s�es , h�t�rog�nes ; le signe de n�g. dans (� n) indique
que les grandeurs oppos�es ne sont pas comprises positi-
vement les unes dans les autres , mais n�gativement, non
directement, non r�ellement.

2^e Esp�ce. � Une grandeur concr�te complexe doit
�tre divis�e en parties �gales indiqu�es par le diviseur en
nombre complexe.

+ an i � an ,
------ = 4- a ; -:� = + a.

Le quotient dans le premier exemple est pos., dans le
second n�g. cequi est tout naturel, tout r�el ; les gran-
deurs doivent �tre tout � fait homog�nes avec la totalit�
dont elles sont les parties.

On peut demander quel est le sens, quelle est l'influ-
ence du diviseur complexe dans cette esp�ce de division.

Dans les exemples donn�s le nombre n pos. n'est qu'un
nombre absolu, le signe de pos. n'est d'aucune influence.

4- an � an ,

------■ n= � a: ----- = 4- a.

� n ' � n '

Ces quotients renferment des absurdit�s dans le sens de
cette esp�ce de division.

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Dans les premiers exemples le diviseur �tait pos., la sig- nification du n�g. doit �tre d�riv�e de celle du positif. L'influence du facteur pos. (+ 1) dans la division (-)- n) �tait nulle, de l� on pourra conclure que l'oppos� de nul �tant nul, le sens de pos. et de n�g. dans les diviseurs, qui indiquent le nombre des parties dans lequel une gran- deur concr�te doit �tre partag�e, n'est d'aucune influence , et qu'ainsi ces facteurs de direction dans ce cas sont ima- ginaires , dans le sens d'aucune valeur. * ■ � +� an -h an Ainsi on a : ■=� = -� = -4- a, + n n � Dans le cas qu'on insisterait � avoir l'explication , le sens des quotients obtenus par les divisions (+m) d'apr�s les r�gles g�n�rales , la r�ponse serait : les r�sultats absurdes prouvent la v�rit� du sens et de l'influence d�riv�s logique- ment par rapport � ces facteurs dans les diviseurs. Le partage d'une possession ne peut donner des dettes; le partage de dettes ne peut donner une possession.

		Duhamel. Des methodes etc. Cliap. XIX. De quelques tentatives de d�monstration, relatives an calcul des quantit�s n�g. Isol�es.

	Duhamel dit: »Nous n'avons introduit les quantit�s n�g. isol�es que pour g�n�raliser des formules et renfermer en un seul les r�sultats diff�rents de plusieurs calculs analo- ques ; � la g�n�ralisation �tait obtenue � la condition , de les traiter de la m�me mani�re que si elles n'�taient pas isol�es , par l� il n'y avait aucune r�gle � d�montrer

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		pour le calcul , la recherche de ces r�gles n'aurait eu absolument aucun sens ;" � et »des g�om�tres �minents ont cru possible de d�montrer , pour le calcul de ces quan- tit�s isol�es, des r�gles qui dispenseraient de toute discus- sion particuli�re." Il dit en finissant : »Nous allons en indiquer quelques unes et on reconna�tra facilement combien elles sont illu- soires." -»D�monstrations de Laplace. �� Pour soustraire une quantit� algebr. d'une autre, on �crit, � la suite de la quantit� dont on soustrait, la quantit� � soustraire en changeant les signes de tous ses termes, ensuite on fait la r�duction." »Cette r�gle est �vidente quand le nombre � soustraire a le signe -j- : supposons qu'il ait le signe �, et que l'on propose de soustraire � b de a ; je dis que le r�sultat de l'op�ration est a + b. � En effet le nombre a 5= a + b �6; en retranchant � b sous cette forme , c'est �videmment effacer � b, et alors il reste a + b." Duhamel : »Dans tout cela Laplace suppose les quantit�s n�g. isol�es , et si d'abord il consid�re la soustraction d'un polyn�me, il l'abandonne aussit�t pour se demander com- ment soustraire � b de a, question qui n'a aucun sens. Pour y r�pondre, fl ajoute et retranche b de a, cequi lui donne a -j- b � b et il regarde comme �vident que retran- cher � b c'est l'effacer , ce qui est un non sens double, car c'est d'abord supposer qu'on attache un sens � la soustraction de � b , qui n'en a aucun , et ensuite que la soustraction algebr. soit la suppression n'on pas d'un nombre, mais d'une op�ration." On trouve dans cequi est dit au commencement de cet essai la r�ponse � toutes ces objections de Duhamel ; ce

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		qui est dit sur les polyn�mes marque que la suppression de � b n'est pas toujours la suppression d'une op�ration , mais qu'elle peut �tre regard�e encore comme la sous- traction d'un nombre n�g. d'apr�s la mani�re qu'on regarde le polyn�me. Laplace : »Quant au signe du produit dans la multipli- cation , il doit �tre pos. ou n�g. etc. Cette r�gle pr�sente quelques difficult�s ; on a de la peine � concevoir que le produit de � a par � b soit le m�me qui celui de a par b. »Pour rendre cette identit� sensible, nous observerons que le produit de � a par -f- b est � ab , puisque ce produit n'est que � a r�p�t� autant de fois qu'il y a d'unit�s dans b. � Nous observerons ensuite que le pro- duit de � a par b � b est nul , puisque le multiplicateur est nul ; ainsi le produit de � a par -J- b �tant � ab, le produit de � a par � b doit �tre d'un signe contraire ou �gal � + ab , pour le d�truire." »Duhamel : Cette d�monstration p�che d'abord comme la pr�c�dente , en ce qu'on se propose de multiplier � a, cequi n'a pas de sens. Et ensuite en prenant pour mul- tiplicateur b � b qui est un polyn�me, la quantit� n�g. � b n'est plus isol�e : de telle sorte que s'il prit un mul- tiplicande r�el, p. ex. m � a , il aurait d�montr� que � a multipli� par � b donne un terme -f ab au produit, quand � a et � b sont des termes de facteurs polyn�mes. Il ne prend donc m�me pas la question qu'il annon�ait, savoir : la multiplication de deux quantit�s n�g. isol�es." Il ne sera n�cessaire d'ajouter encore quelque chose � cequi est dit, pour r�pondre aux objections de Duhamel. Quant � la division Laplace dit que la r�gle des signes r�sulte de ce que le produit du quotient par le diviseur est �gal au dividende.

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Duhamel: »Quant � la division de deux mon�mes, dont l'un au moins est n�g., c'est de m�me une op�ration qui n'a pas de sens et qu'il ram�ne � la multiplication d'apr�s la d�finition qu'on en donne quand elle signifie quelque chose." L'auteur croit avoir dit assez sur la division pour en analyser et en expliquer le sens dans les diff�rents cas et les diff�rentes esp�ces. Conclusion de Duhamel. � »Et nous dirons g�n�rale- ment que toute d�monstration de r�gles sur les quantit�s n�g. isol�es ne peut �tre qu'une illusion , puisqu'il n'y a aucun sens � attacher � des op�rations arithm. sur des choses, qui ne sont pas des nombres et n'ont aucune existence r�elle." Le trait� sur les quantit�s pos. et les n�g. montre com- bien les opinions de Duhamel sont oppos�es � celles de l'auteur.

	Dr. 0. Hesse vient de publier ses principes sur le m�me sujet dans son livre: Die vier Species 1872. � L'auteur a compar� ces principes avec ceux de la Th�orie et avec ceux, expliqu�s dans le trait� pr�c�dent ; ces principes diff�rent beaucoup ; l'auteur n'y a pas trouv� des raisons pour changer ses principes.

		Sur les quantit�s Imaginaires. � Duhamel a vou� une �tude consid�rable � ces quantit�s dans son oeuvre : des M�thodes dans les sciences de raisonnement. II et III parties. 9

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		Il consid�re ces quantit�s comme v�ritablement imagi- naires , vides de sens ; il les taxe comme des simulacres de quantit�s et les regarde de m�me nature dans toutes les Fonctions o� elles se trouvent. Il applique � ces quantit�s dans les diff�rentes op�rations les m�mes r�gles qu'aux quantit�s r�elles. Partout il r�p�te que ces quantit�s ne sont qu'imagi- naires et qu'on doit se garder d'attacher des id�es de r�alit� � ces quantit�s et aux solutions, qui r�sultent de l'appli- cation des r�gles � ces quantit�s. Duhamel dit : II, page 144 etc. »Les plus grands g�om�tres n'ont pas �t� exempts du pr�jug�, qui fait regarder l'analyse alg�brique comme une sorte d'oracle, qui ne fait pas toujours des r�ponses intelligibles, mais dont les �nigmes doivent toujours renfermer un sens dont il faut s'�tudier � p�n�trer le myst�re." Duhamel continue : »La v�rit� est que l'analyse ou la synth�se que l'on a employ�e, ayant proc�d� par des d�ductions ou r�ductions que l'on a d� comprendre � mesure qu'on les a faites , il n'a d� s'introduire rien de myst�rieux." »Les formes, bizarres auxquelles le raisonnement arrive quelquefois � la fin , ont �t� cr��es par lui sans qu'il s'en dout�t, et il se croit oblig� d'expliquer leur existenee, qu'il admet comme incontestables et dont il veut se rendre compte � priori." »Ces aberrations ne sont pas rares et les quantit�s n�g. et imaginaires en offrent de nombreux exemples." »Nous pensons qu'un esprit simple mais rigoureux, qui n'avancera jamais qu'en se rendant bien compte de la d�duction ou de la r�duction par laquelle il passe, n'�- prouvera aucune de ces surprises qui causent quelquefois tant de tourment. Il pourra marcher plus lentement ;

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		mais il �chappera � toutes les obscurit�s , dont l'autre se trouvera longtemps peut-�tre embarrass�." Apr�s avoir lu comment les quantit�s imaginaires sont tax�es par Duhamel; apr�s avoir lu, qu'on doit appliquer � ces quantit�s les m�mes r�gles qu'aux r�elles , on doit avouer ne pas comprendre comment on peut se rendre bien compte des d�ductions et des r�ductions par lesquelles on passe ; comment on peut �chapper � ces aberrations, � toutes les obscurit�s dont on se trouvera embarrass�. Quand on ne comprend pas les quantit�s sur lesquelles on op�re ; quand on applique � ces quantit�s des r�gles sans savoir si cette application est juste, qu'est-ce-qu'on peut tirer des formes bizarres auxquelles on arrive ; quelle signification , quel sens peut-on y attacher ? Duhamel des �quations du second degr�. II, ehap. XX, page 171 etc. � Duhamel dit � l'�gard des racines en formes complexes de ces �quations: »qu'il peut se pr�senter des circonstances d'un genre diff�rent et qui pourraient laisser quelque obscurit� dans l'esprit, si l'on ne se rendait pas bien compte tout d'abord de la mani�re dont elles doivent �tre entendues." De l'�quation 1x � X'² = 5; il obtient (x � l)² = � 4. Duhamel: »Or avant d'aller plus loin, on reconna�t qu'aucun nombre pos. ou n�g. mis pour x ne peut rendre �gaux les membres de cette derni�re �quation. »D'o� il suit qu'aucun des moyens de solution ne s'ap- pliquerait ici. � On pourrait s'arr�ter l� et on ne ren- contrerait ainsi ni difficult�s, ni la moindre obscurit�." De cequi pr�c�de il suit que Duhamel ne reconna�t de valeur r�elle que la pos. et la n�g. Duhamel : »Or si l'on veut continuer le calcul sur

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l'�quation (x � l)² = � 4 , on aura : x � 1 -f y'� 4 ;.■ expression insignifiante." Duhamel termine le chapitre sur ces �quations en disant : »et nous ne pensons pas qu'apr�s les observations que nous avons faites, il puisse rester � ce sujet la moindre obscu- rit� sur les formes r�elles n�g. ou imaginaires." Pour r�ponse � ceque Duhamel dit sur ces �quations et les racines , il sera � propos d'ins�rer ici quelques id�es sur ces �quations et la signification des racines. Toute �quation peut �tre regard�e de deux mani�res ; d'abord comme renfermant des nombres absolus , puis comme renfermant des nombres complexes. Dans l'�quation X² � 3x -f 2 = 0 , on peut prendre les nombres comme absolus et les signes pour indiquer les op�rations. Par la r�duction on obtient : x² � 3ar _j_ -f- = -J- ;. *( � !)«= t; (f �,)� = �* cequi donne x � f =\|; f � x = \ et x � 2; x � 1. Ainsi les racines de l'�quation sont les deux nombres ab- solus 2 et 4 ; les deux facteurs du premier membre de l'�quation (x � 2) (X � 1) = 0. L'�quation prise en nombres complexes a les m�mes racines.

	_xi _ /tx � 5 = 0. Se r�duit en {x � 5) {x -f- 4) = 0. Prise en sens absolu l'�quation n'a qu'une seule racine x = 5, puisqu'on n'a point de valeur absolue pour x qui rendra le second facteur X -f 1 =0. En sens complexe l'�quation a deux racines X � + 5 ; X � � 1 et l'�quation est proprement X^O + 4#1v + 5JV = 0.

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	x"¹ -(- 3a? -f 2 = 0. En sens absolu l'�quation n'a point tle racines ; l'�quation est impossible, puisque la somme de nombres absolus ne peut �tre �gale � Z�ro. En sens complexe l'�quation a deux racines, x � � 2 ; x = � 1 ; 0 + 2) (x -f 1) = 0.

x^% -f 2# -f 5 = 0. En sens absolu, l'�quation est im- possible ; en sens complexe , elle a deux racines X = � d± v/�1.2. Ces racines sont regard�es comme des expressions in- signifiantes , l'�quation comme impossible. Pour r�aliser les nombres soit absolus , soit complexes on doit prendre pour unit� quelque grandeur concr�te. La Fig. 18 servira pour montrer la r�alit� des racines et de l'�quation prises en sens complexe. a?² + 2a: + 5 = 0 ou #²f0 + 2#f0 + 5\|0 = 0. En r�duisant les racines complexes en nombres com- plexes, on a encore: X = � 1 ± \/ � 1. 2= i/Sfarc tang ±\|. Soit arc tang i-\| = ± p. Dans la Fig. 18 (0) soit l'origine; OC sera = � 1 ; CB = -f j/ � 1. 2; CB' = � j/� 1. 2 les valeurs complexes sont marqu�es par: OB, OB' = v/5 t arc tang =\| = l/5 f ± P. ainsi a? = OC -f- CB = OB ; sc = 00 + CB' ==. OB', Pour prouver encore que ces racines sont en r�alit� les racines de l'�quation , on a en prenant la racine

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		x- � 1 + V� l-²- «a = (-1 + y/ � 1.2)² = � 3� i/� 1.4 == 5t2P. 2# = 2(�l -f \|/�1. 2)= �2 -f i/�1.4 = 2 i/ 5 \| are tang -^. Dans la Fig. on a : � 3 � i/� 1. 4 = OD -f DE ; 5f2? - OE. � 2 + i/�1.4 = EF + FG; 2 v/5 f are tang JL =EG; -f 5 = GO. De sorte que 1'�quation X² -f 2« -f 5 = 0, est repr�- sent�e par la ligne OD -f DE -f- EF -)- FG + GO = 0 ou encore par OE -f- EG + GO � 0. Pour prouver encore que l'�quation x² -f 1x -J- 5 = 0, et les racines X � � \ -±:V� !� 2 ne sont pas des �#- pressions insignifiantes, il sera � propos de leur donner un sens concret. Quelqu'un a fait une route exprim�e par l'�quation donn�e , dans laquelle X d�signe la vitesse , le mouvement par heure. ■� On demande la vitesse et la route parcourue ? La solution et l'explication donn�e prouvent la r�alit� des racines complexes et de l'�quation dont elles sont tir�es. La question principale dans les �quations du second degr� c'est de savoir en quel sens elles doivent �tre prises ; si c'est en sens absolu on s'arr�te, quand on voit que la solution ne peut donner des racines � valeur absolue ; si c'est en sens complexe , non seulement les racines n�ga- tives , mais encore toutes les racines complexes sont de vraies racines de l'�quation , qui repr�sentent des expres- sions dont on peut toujours donner la signification et mon- trer la r�alit�. Quand l'�quation n'est pas donn�e mais tir�e d'un pro-

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	bl�me on peut toujours savoir d'avance dans quel sens l'�quation doit �tre prise et l'on s'arr�te quand on est s�r que l'�quation, en sens absolu, ne donnera de racine absolu ; quand c'est en sens complexe on cherche les racines et l'on tache de d�terminer la signification concr�te des racines. Dans le morceau suivant qui traitera la signification concr�te des quantit�s imaginaires , il sera donn� quelques id�es sur ce point important. L'auteur termine cequ'il a dit sur les �quations du second degr� avec les paroles de Duhamel : nous ne pensons pas qu'apr�s les observations que nous avons faites il puisse rester � ce sujet la moindre obscurit� sur les racines de ces �quations � mais il ne comprend pas comment Duhamel a pu se servir de ces paroles. Pourtant on peut le comprendre. � Duhamel regarde les quantit�s n�g. isol�es comme vide de sens , de m�me il en est des quantit�s imaginaires ; la base des imaginaires est: {y�1)2 � _ 1. Il applique � ces quantit�s dans toutes les fonctions o� elles se trouvent les r�gles des quantit�s r�elles et pour le reste il ne se soucie du sens des r�sultats ; ces quantit�s sont vides de sens et les r�gles sont suivies machinalement.

		Duhamel, III, page 393 etc. Des Fonctions transcendantes de quantit�s imaginaires.

Des principes de la Th�orie et des opinions de Duhamel tir�es de son Oeuvre , il est clair que les id�es sur ce. sujet sont toutes divergentes.

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		L'auteur le juge � propos de compl�ter et d'expliquer encore les id�es contenues dans la Th�orie , pourqu'on soit en �tat de d�cider s'il est n�cessaire de continuer toujours � consid�rer les quantit�s dites imaginaires sous le point de vue indiqu� par Duhamel et d'autres dans toutes les Fonctions o� elles se trouvent. La base de ces Fonctions de quantit�s imaginaires est renferm�e dans les Formules : «" = '+ + &+■& + etc. Sin x = X � jjg + j^g � etc. *^Cos ^x =* * - S + Ai - ^etc-** De ces formules on a d�riv� les suivantes : e _ � -j- y i.x ₁₂ ₁₂₃ + ₁₂₃.₄ etc. _eV�La: ₌ cos a? -j- j/�4. sin. . V��.x � V�\.x* V�Lx �i/�\.x ^sinx ⁼ ^e-�2T7^�; ^cos=^e-------H--------- De gV^�l.� ₌ 1 (cos x -f v/�1. sin x) = lf# , il est d�riv� la valeur de y � 1. x et la signification de ]/ � 1 dans les exp. L'exp. \/�1.x* ne sert qu'� marquer la direction des unit�s dans la valeur absolue des puissances, auxquelles il est uni. Dans la Th�orie il est dit que X marquait les degr�s de la direction, l'application du calcul prouve que X indique l'arc de la direction exprim� en unit�s du rayon du cercle. Cauchy regarde la s�rie de e^~ �^x comme renfermant la d�finition* de ces Fonct. expon. Apr�s avoir trouv� la signification de j/� 1, on pourra au contraire regarder les Fonct. eV �1* comme donnant la valeur de ces s�ries. Encore dans la Formule dite de Montucla et dans d'autres

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		on trouve quelquefois l'exp. y�1, il sera � propos d'en prouver d'abord la valeur. _e\^�l.x � l {cos oc -f ]/�l. sin«) = lf a? ainsi e¹^� l = 1 (cos 0 + \/� 1. sin 0) = lfO = 1. l/� 1 n'�tant qu'un indice non suivi de la grandeur de la direction, il en suit qu'il n'y a pas de direction, de sorte que les unit�s sont absolues ou si l'on veut pos. L'application du calcul prouve la v�rit� de la conclusion. Pour prouver que la Fonction �V�1.« prise dans le sens indiqu� donne la valeur de cette s�rie, on n'a qu'� donner � x des valeurs d�termin�es et trouver ainsi par le calcul la valeur de la s�rie. Soit x = tt; on a : e^ � � n �* 1 (cos tv + j/ � 1. sin ar) = l (� i + v� l.o) = � l = lffl-. En substituant la valeur de tt = 3,14159 dans ^_1.� ₌ ₄ "₊>_!.,. _g_^�f₊ etc. on trouvera par le calcul que la somme des termes avec le facteur y�1 est = 0: que la somme des autres � �1. Donnant � x la valeur de % = ~~^¹*¹⁵⁹~~, on a : _el/--l.f = 1 (cos\|+ V� 1. sing) = 1(0 + l/� 1.1) = 1/-1 = lf. Par le calcul on trouvera que la somme des termes de la s�rie, qui n'ont pas le facteur \/� 1 est == 0, et que la somme des autres est = y�1.1. Pour prouver la conclusion sur \/ � 1 , on a : l'sa.H- 1 quand on regarde y�1 = y"�1.1; on a: _eV_i ₌ i (_cos i + j/_ 1. sin 1) - 1\|1 ; arc 1 = arc 57°17'44,8";

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		^e - ^l T V ^x 1.2 ^2� + 1.2.3.4 + ^elc' Par le calcul on trouve la valeur indiqu�e de la s�rie. En substituant pour \/ � 1.x, X -f- V � 1 � 2/ > ^on ^aura ^:_ex + y� \.y _ _e^x(cosy -{■ ]/� d.sin?/) = e\y.* La s�rie sera e^ + V� i.y � l₊^_+v/_l._� ₊ (A±^^ ₊ (�i^zM! + etc. Quand on voudrait trouver par le calcul , X et y �tant des nombres d�termin�s, la valeur de e^x +^~-1-y , le travail serait plus compliqu�, mais non impossible ; ce travail n'est pas n�cessaire puisqu'on sait que qx + V� \.y est = e^xl\y , et que la s�rie de gaj + I/ �l.j/ est le produit des s�ries de e^x et e^~l-9. Remarques. � Il ne sera donc pas hasard� de pr�ten- dre que la signification de \/� 1 n'est autre qu'un indice, marquant la direction ; la signification trouv�e, les exp. \/ �- \. X ne sont pas vides de sens ; ils servent � indiquer la direction, comme il est dit, et par l� il est prouv� qu'il est absurde de les regarder encore dans le sens des exp. primitifs, de dire e^~^x signifie la quantit� absolue e �lev�e � la puissance \/� 1.x. La signification de \/�1 dans ces Fonctions �tant connue, il est absurde d'appliquer � ces exp. les r�gles des exp. primitifs. (₆1/--i)l^-i = _e-i-i _; {e^-\.w)\^-\.x = e-²=~.* Dans (e^� iy/� 1, j/�1 n'est que j* = direction; qu'est-ce donc que j* . f ou direction X direction ? Certainement non f . \| � �1. Dans (e^� 1.)!/ � i.x _t y/�\, _x* n'estque\|#; qu'est- ce que \x . \x = direction x X direction x ? Certainement non � x² = �=. X*

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'[x. fa; ne doit pas �tre confondu avec lfx. lfav
\x. \x est vide de sens , on pourrait tout au plus regar-
der le second facteur comme sans influence ; dans ce cas
f# . \x sera = ^/[x; lf» . \\x repr�sente le produit d'unit�s
complexes , le produit est = lf�x.

Par la substitution les formes \/ � \-X sont introduites
dans les Fonctions expon. et ont acquis une signification
particuli�re , cependant dans les s�ries qui repr�sentent la
valeur de ces Fonctions ces formes conservent la signifi-
cation primitive qu'elles ont dans les, Fonctions ordinaires,
comme il est prouv� par le calcul avec ^ � *� » = la
s�rie ; la signification et la valeur de ces formes d�pend
des Fonctions , o� elles se trouvent.

Dans gV�1.» = e°|a;, \/�1. x = arc x � \x ; dans

les Fonctions ordinaires \/�1.x = #fg.

Par l� il est clair qu'on ne doit appliquer aux m�mes formes,
qui se trouvent en diff�rentes Fonctions les m�mes r�gles.

� x = ]/� 1. x . \/� 1 ; cependant il est fautif de
mettre e�*> � (_eV�1.*)V�1 _ou _ (_el^-iy^~ 1.*.
(_eT^-l.*)V^r--l-(lfa;)l^/--l=(4fa!)0 + l^/"-1.0=l|0=l.
(_et/-l)V-l.^₌ (-gO+l/� 1.0)V-l..r_ lt^-l.^-l|x.

_ei^-i(y� f.^-go + v� \iy-\.x) � i|i/_i.x =

1 (cos \/ � 1. x -f j/� 1. sin \/� 1. x) = 1.
De ces exemples on voit encore que :

{jS�vy�i.* n'est pas = («l^-i.^V-l.
Par l'application des r�gles ordinaires � ces exp. imagi-
naires on obtient des absurdit�s ou du moins des expres-
sions vides de sens.

v� \<y� 1.*) v� \{-v� 1.*)

e + e

Cos (y" � l.�) = "

e^x + e

�X

; dans e^ � *(K-i-*), ₍/ - 1 (y/� 1. x) est -

f(l/� 1. #) non = �

;

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	Dans la Th�orie il est prouv� que \/�1.x dans le sens de arc du cercle est v�ritablement imaginaire.

Un autre point important c'est de prouver ou du moins de donner des raisons non arbitraires, non sans fond, que les exp. \/ � 1. x sont ind�pendants de la valeur de e, et que gV�1* = _aV�\.x = lfa;. Cette opinion est en contradiction avec celle des math�- maticiens , qui tous sont d'opinion, qu'on doit suivre le principe renferm� en aS^� ^-^x = eK�-!� «�.«.. L'exp. i/� Las = 0 + V� ^'^x = 0 -j- fac. � 1 = lf ir = e^0J[v = e° + ^� * ■ n = e¹^� ■». � 1 = lf s- = a°f7T pourquoi non = �S + V-\._n �* _aK -1.? La seule raison que les math�matciens peuvent donner pour leur opinion c'est que l'exp. \/� l.X* est entr� dans les Fonctions exp. par e^ ~ � . Pourquoi tiennent-ils � cette base absolue e ? Quand ils sauront que ces exp. ne sont pas vides de sens, ne sont pas imaginaires; quand ils sauront que \/�1 n'est qu'un indice = f, continueront-ils de tenir encore � l'opinion que ces exposants d�pendent de la base de la m�me mani�re que les exposants primitifs , absolus ? Les bases a , e sont des nombres absolus, on demande avec raison , quelle influence ces nombres absolus peuvent avoir sur la direction des nombres complexes dont ils doi- vent repr�senter la valeur absolue en puissances ? Soit donn�e la quantit� absolue A ; qu'on veut transfor- mer en puissances de a et de e , on aura A = a^x � eV. Quand cette quantit� n'�tait pas absolue, mais com- plexe = � A� A\n, il serait impossible d'en trouver la puissance pour la base a ou e.

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		Par la Fonction e^~ � � e^0/\�c � 1\|# on a le moyen indiqu� par l'analysa de marquer dans les puissances par le signe y/ � 1 suivi de la grandeur de l'arc, la direc- tion des unit�s renferm�es dans le nombre complexe ; pourquoi l'emploi de ce signe doit �tre restreint au nombre absolu e, qui comme tout autre nombre absolu ne peut avoir de l'influence sur la direction , surtout encore puisque l'exposant j/�i.x = 0-j- \/� l.cc ne se rapporte par sa valeur de 0 dans le sens des exposants primitifs qu'� l'unit� ? La valeur absolue de gV~�1.* � aV�1. a = 1. A �tant ₌ a^x � eV, on aura � A � g!/ +V~�l.sr parceque chaque unit� de � A est = \\tt et par cons�- quent � A = ey + V�1.» ₌ eV^T-, pourquoi � A � ey^K � a^x\n ne serait pas = a^x + V�1.? Tout autre il en serait quand les bases a, e* �tairent des nombres complexes, dans ce cas on n'aurait pas � A = ev + V� 1. » = a + f � 1. or. Soient les bases complexes a\\ , e\\ , et qu'on demande les puissances pour ces bases de A^3. Suppos� A = a⁶ = e⁸, on aurait : Ap = (a\l)' = (tfH-V-1.)« _. �6 + V-1.3 = _a6\|3. mais puisque (ef�)⁸ = <?⁸ff n'est pas = ^3 , on aura pour compl�ter la direction ^3 : Ap = (4\|)8 + V-4.i _- («1 + l^-l.�)8 + V-l.l = (gl + IX - 1. 1)8 _> (gl + l/ _ 1. i)f/_ 1. \| ₌ g8 + I/ _1.\| . (_el + V--d.>)0+ l^-4.\| = e⁸f\|.ltl = e⁸t! = ^\|3. Ces opinions m�nent aux distinctions suivantes : (_e2)K-l. = (_e2)0 + l/-l.* = lf�; (_�l/�l.*)a - (ijx)² =if2�;

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		g2 + K"-l.-* _ _�2\|_x; e2 + \|X_1.a;. ₌ (�gi + l/'-l.^� _ (4^)2= g^ Comment ces opinions seront-elles re�ues ? La Th�orie et ce qui pr�c�de renferme le fond, les raisons de ces principes; on demandera: quel sera le pro- fit , quelle sera l'influence de ces principes ? D'abord on n'aura plus � faire avec des expressions vides de sens , impossibles , imaginaires ; � connaissant ces quantit�s, ces Fonctions on saura si les op�rations appliqu�es � ces grandeurs sont exactes ; on saura que ce ne sont plus des simulacres d'op�rations; que les r�sultats ne sont pas vid�s de sens ; on saura cequ'on fait ; on pourra � tout moment v�rifier les formules non bizarres qu'on obtient. La connaissance de ces Fonctions permet de faire des distinctions qu'on ne pouvait faire au-paravant ; cequi suit prouvera encore quelle est la signification et la valeur des formules compliqu�es, qu'on a obtenues en op�rant-ma- chinalement ; combien ces formules bizarres peuvent �tre simplifi�es pour avoir leur sens v�ritable ; combien elles doivent �tre transform�es pour bannir les absurdit�s ou les superfluit�s qu'elles renferment. Il ne sera n�cessaire de transcrire ceque Duhamel dit sur ce m�me sujet ; les opinions de Duhamel sont celles qu'on rencontre presque ou bien g�n�ralement. Les principes donn�s contiennent la critique, la r�fu- tation des principes g�n�ralement suivis, ou simplement les objections qu'on peut faire � ces principes. Sur la g�n�ralisation. Duhamel donne pour raison de

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		l'application des r�gles des quantit�s r�elles � toutes les quantit�s , les avantages de la g�n�ralisation. Qu'est-ceque la g�n�ralisation ? Appliquer des r�gles g�n�rales n'est pas g�n�raliser ; la g�n�ralisation implique donc quelque chose d'arbitraire , c'est appliquer des r�gles dans des cas o� l'on ne sait pas si les choses sont analogues. Les suites ne doivent point �tonner, savoir .qu'on a appliqu� des r�gles � des quantit�s de nature toute diff�- rente de celles qui sont soumises � ces r�gles , et que les r�sultats de cette g�n�ralisation sont vides de sens contra- dictoires ou absurdes. Par l'analyse on a essay� de trouver la signification et la valeur des nombres complexes dans les diff�rentes Fonc- tions ; par cette analyse on a trouv� quelles quantit�s complexes sont de la m�me nature , par cons�quent que les r�gles connues sont applicables � toutes ces quantit�s analogues , que ces r�gles sont g�n�rales dans ces cas ; en les appliquant on ne g�n�ralise point, on ne fait qu'agir cons�quemment. Les principes de la Th�orie, loin de priver de ces avan- tages , servent au contraire � les assurer , et � garanter contre des applications inexactes. L'application d'apr�s les principes de la Th�orie n'est ni machinale , ni arbitraire, ni conventionnelle. Il est prouv� que les quantit�s complexes dans les Fonc- tions ordinaires sont toutes de m�me nature, ainsi les r�gles des quantit�s pos, et n�g. trouvent aussi leur appli- cation aux quantit�s dites imaginaires sans qu'on ait besoin de prouver premi�rement la justesse de ces r�gles dans ces cas analogues. L'analyse a trouv� le sens des exp. imaginaires et par l� il est prouv� que ces exp. sont de nature toute diff�- rente et que par l� les r�gles des exposants primitifs ou

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	en nombres absolus ne sont pas applicables � ces exp. non analogues. Apr�s avoir trouv� le sens de ces exp. imaginaires et les r�gles qu'ils suivent, on ne g�n�ralise pas en appliquant ces r�gles aux cas analogues , ces r�gles sont g�n�rales. De m�me il en est avec les Fonctions goniom. et cyclom. en �loignant donc la g�n�ralisation, on ne se prive pas des avantages ; on ne fait que se garantir des inexactitudes. L'analyse des exemples , des Formules qui se trouvent dans Duhamel prouvera la valeur de cette assertion.

		Duhamel, III, page 396 etc. Exponentielles et Logarithmes imaginaires.

L'application des principes de la Th�orie aux exemples qui se trouvent dans Duh. , pourra servir de parall�le aux d�monstrations dans ces §§ suivants. § 310. e^a+ l/�i-b._ea'+l^�l.b' � _ea^b . _ea'^b' = _ea + a'H. b' � e^a ⁺ ^a' ⁺ ^� 1- b. y, § 313. Expressions des exponentfeiles Imagi- naires etc. Formules g�n�rales des Log. de toutes les quantit�s r�elles ou Imaginaires. Au lieu de transcrire Duhamel , il suffira de donner cequi est n�cessaire pour servir de parall�le � l'application de la Th�orie. _ex + V -\.y � e^x. e^l/"- 1-y = e^r(cos y -J- j/� 1. sin y) pour x � 0 ; e^�^V = 1 (cos y + ]/�1. sin y) y/� l.y = 0 + �# = Il (cos y -f \/� l.siny) = LA\y.

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Pour y = In n ; cos y = 1 ; sin y = 0. _e2ra»I/-l = 1 ; ]/�l.<2n7T = L. 1. La Th�orie : eV� l.'2»ar�eO+V �1.2»* = _eop_nw =_ *«°fo = �** Log -f- 1 = 0 + puTT = 0 -f fO. La signification et la valeur des directions est expliqu�e et prouv�e. De m�me L. � 1 = \/� 1 (2n + 1) a* signifiera : I. � 1 = 0 + f(2« +1) a- = 0 + fr.

	§ 314. Formule de tous les Log. d'une expres- sion Imaginaire a + J/� 1.6. Duh. obtient : �.(«+ i/� 1.6) = /,. _? + (9-j- 2w!t) i/�1. Cette formule est obtenue par un calcul bien long. La Th�orie : L.(a±\/� 1.6) = L. V⁷^² "f 6²) f arc tang =- � L. p\| ±6; la direction indirecte (±3 + 2wtt) n'a que la valeur directe, vraie de 'j'H-fl. § 315. Il serait trop long de transcrire tout le calcul de Duh. pour avoir le Log. de (a -f \/�1. b)^m + V� 1- «, il suffira de n'�crire que le r�sultat. I. (a -f I/--1. 6)«* + »/-l.« = ffli.f-n(H 2for) + j/� 1 j m Z,. ? + »» (S + 2/br) + 2Ajr}. ia Th�orie : a + l/ � 1.6 = j/ (a² + 6²) f arc tang - = p �6. a -f j/�1. &)«» + V�l.n = (p ^ 8)w + 1^�'i. n __ (?f 6)^m.(>f�)�^>' �'�« � Pwfwi�.l\|w = pmf(»i9. m). L. (a -f- j/~ 1. 6)»¹ + V~ln* = _m L. ? ■{■ f(»w9. m). (_a .j. ^/ � 1. i)m + 1/ � i.n � _em L. /s + J/� 1 (mS. n).

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		146

	De cette expression Duh. parvient au cas particulier, la Formule de Montucla , par la supposition de a .== O,, b ~ 1, m .= 0, n � 1. (j/.-l)!/ �1 = _e� (ZF + 2fc?r) + 2fcwl/"� 1, et L. (y �1)1/�1 == - (f + 2/fcTT) + Si* ,/�1. La Th�orie: Par la supposition de n = 1 , on a: (j/_ 1)1^�1 = (j/_l)I/-l.l - 1\|\|)V--1.1 ₌ (lf\|)0 + 1^-1.1 :'r 4\|l. Log. {y-\y-\ = h. �fi = L.1 +fi = o + fl. Autrement on a : (V/�1)^-1 = (lf~)^I/-¹ = lfO = 1. Log. (i/� 4)V�1 = L. lfO = 0 + fO.

§ 316. D�veloppement en S�rie du Log. d'une quan- tit� imaginaire. Duhamel : »Nous avons vu que toute expression imagi- naire (a -f V� 1- b) a un Log. de m�me forme." La Th�orie : De m�me forme quant � l'ext�rieur. Soit a + \/ � 1. b = e^m + ^f/� 1- n, on a : L. (a -+- \/ � 1. b) = m -+- \/ � 1. « _� m -f- fn. Tout autre il en est, quand on observe la valeur, la signification des termes de ces formes. Dans a T \/ � i.b, a et b ne sont que des nombres abstraits, dans m -\- \|/�1. h , m est un nombre abstrait, n au contraire est un nombre concret. Dans a+ V � 1. & = «»» +1^-l.n = g^fn = e'^m(cos n + v/ � 1. sin w) , on voit que n indique la grandeur de l'arc en unit�s du rayon du cercle ; ce nombre concret n'ajoute rien � la

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		valeur du Loe , qui n'est autre qu'un nombre abstrait. Il est prouv� que e^m + V~\.n n'est que e^m. eV�l.n � e^m . e° + v� Lw , cequi montre que par rapport au Log. -\/ � 1. « n'a que la valeur de Z�ro. Quand on connait le sens des quantit�s imaginaires et des formes complexes dans les Fonctions ordinaires, on sait que ces quantit�s sont de m�me nature que les autres quantit�s complexes dites r�elles et que par cons�quent il est superflu d'en vouloir prouver encore le sens par le d�veloppement en s�ries.

	§ 317. Duhamel: »Nous pouvons d�duire de la Forme L. (1 -f V � !�#) ⁼ la s�rie, un d�veloppement impor- tant celui d'un arc au moyen de sa tangente." Cette d�duction importante a �t� faite sans les quanti- t�s imaginaires, pourquoi donc vanter cette d�duction � l'aide de quantit�s imaginaires qu'on taxe comme telles, mais qui ne le sont pas. Pour celui qui connait la valeur des quantit�s qui se pr�sentent dans ces d�ductions , l'analyse alg�brique montre des beaut�s, des perfections, qui portent � l'admiration de cette science , � une admiration non aveugle. Pour le reste tout cequi se trouve dans ce § et le sui- vant pour prouver les formules suivantes est superflu, parceque, connaissant les quantit�s qu'on substitue, on sait qu'on ne substitue que des quantit�s de m�me esp�ce -et qu'ainsi l'analogie suffit pour �tre s�r de l'exactitude.

1' Quand o. tend vers Z�ro, on a: Lim. -i- ~ '-'- -� 1 ^de m�me il en est avec :

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		*L.{\ + \S-~\.x)* *L.(\ + a+ l^�i.b)* V~\.x ' a + V� 1. b ' cequi est sans contredit, sans d�monstration , puisque par- la connaissance des quantit�s ces choses sont analogues. La conclusion que Duhamel fait suivre � cette partie- demande une analyse particuli�re. § 320, page 412. � »Il serait superflu de multiplier »davantage les exemples sur le calcul des exponentielles »et des log. des quantit�s imaginaires." »Les contradictions que l'on pourra quelquefois rencon- »trer ne seront qu'apparentes et tiendront � ceque l'on »aura oubli� qu'une quantit� quelconque r�elle ou imagi- »naire � une infinit� de Log. � Il n'y aura donc pas »lieu de s'�tonner si deux calculs conduisent � des expres- »sions diff�rentes pour le Log. d'une m�me quantit� ; il »suffira , pourqu'il n'y ait pas contradiction , que ces ex- »pressions diff�rentes soient comprises dans la formule »g�n�rale des Log. d'une m�me quantit�." Ce passage a un sens double. Il est vrai, quand on entend par contradictions apparentes des contradictions qui ne sont pas des contradictions ; et quand on entend de m�me par une infinit� de Log. , des Log. qui ne sont autre qu'en apparence, qui r�ellement ne sont qu'un. Dans ce cas seul le passage est vrai et tous les Log. diff�rents en apparence , ne diff�rent pas r�ellement et sont compris dans la formule g�n�rale des Log. Tout autre il en est quand on entend par une infinit� de Log. , une infinit� de Logo, qui diff�rent r�ellement les uns des autres ; cequi n'est pas , comme il est prouv� de diff�rentes mani�res. Tout autre il en est, quand on entend par rapport � l'autre id�e , qu'il n'y aura pas lieu de s'�tonner que le

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			149

		calcul du Log. d'un nombre ne conduit pas d'abord � celui, qu'on obtient par un autre calcul, puisque le nom" bre infini de Log. diff�rents, renferme tous les deux. Cequi suit prouve que la derni�re opinion est celle de Duhamel. »Ainsi le Log. d'une puissance n'est pas n�cessairement »le produit du Log. de la quantit� par le degr� de la »puissance , vu qu'on peut prendre des valeurs in�gales »pour les Log. des facteurs �gaux. »Si par ex. on consid�re un nombre positif (a), et qu'on »d�signe par (L. a) son Log r�el , le Log. de (a²) ou de �>(aa) n'est pas n�cessairement (2 L. a) parceque les Log. »des deux facteurs sont L. a ± In tt \/ � 1 pour le pre- »mier, et L. a±1riK \/�1 pour le second , les nombres »entiers n et n' pouvant �tre diff�rents." »Le Log. du produit (a²) est donc d'apr�s la r�gle »d�montr�e 2 I, a + 2 (n f n') f \/�1 et 2 L a n'est »qu'une valeur particuli�re." »Voici maintenant une des difficult�s qu'on a �lev�es sur »l'emploi des Log. des quantit�s qui ne sont pas des nom- »bres r�els et positifs. � On a dit (a²) est le carr� de »(��) aussi bien que de (-f a); son Log. est donc aussi »bien 2 L. (� a) que (2 L. a) , donc L. (� a) = (L. a), »cequi est faux." »Mais Euler a tr�s bien lev� cette difficult� en faisant »remarquer que le Log. de (a²) n'est n�cessairement ni »(2 L. a) ni (2 L. � a) et que par cons�quent on ne peut »conclure (L. a) = L. (� a) etc.'^J R�ponse. � Le Log. d'une puissance est n�cessaire- ment le produit du Log. de la quantit� par le degr� de la puissance. L.a^% = 2 L. a. Soit L. a = L. a -f V� !� 2m-t

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			150

		et L. a = L. a -j- V � 1. Iri-x. On a : 2 L. a = 2 L. a + i/� � 2(» + «>� Quelle que soit la valeur de n et de n' toujours 2(n + n')5T sera �gal � (2&5t), quand on prend A = (n -f ⁿ') ! P^arcons�quent on aura : 2L.a=2L.a+ \/�* 1 2^ = 2 L. a + j/�1.0 = 2 L. a. La signification de la direction indirecte Z/ctt n'est autre que la direction positive = ^0 = -(-. Cette difficult� n'est que la suite des notions inexactes qu'on donne des Log. , suites toutes naturelles de ne pas avoir compris la signification des directions directes et indirectes , de ne pas avoir compris le vrai sens des ex- pressions imaginaires et la valeur des signes , qui y entrent, et par l� le vrai sens des Log. comme exposants, dans les formes , qui expriment les valeurs complexes des quantit�s. On oublie toujours que les v�ritables Log. ne sont que des nombres abstraits absolus simplement complexes dans le sens de positif et de n�gatif ; se rapportant aux op�ra- tions et que les Log. ri influent en rien sur les directions. a¹ est le carr� de (�a) et de (-)- �) , son Log. est donc aussi bien 2 L. (� a) que 2 L. a ou 2 L. (-(- a). Il est faux que L. (� a) est = L. (+ ci) ou L. a. D�monstration. L. (� �) � L. 4⁵¹" = L. a -f- IV. L. (� a) = L.* (af-)* = L. a²\|2~ a 2 L. (� a) � 2 L. (af/T) = 2 L. a + f2sr = 2 L. a -f f 0 = 2�/.a. L. (+o).= �,.(40) = �. a + fO. �. (+ a)2 = �. (4O)² = L. a²f0 = 2 L. a -f- f 0 = 2 �. a. Kuler e�t lev� la difficult�, s'il avait su dire: le Log, de a² est n�cessairement 2 �. a et 2 L. � a , car : L. a² = 2 �. a = 2 �. � a ; mais �. a = �. a -j- f 0 ; �. � a = �. a -f \|^.

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		451

	En r�ponse � toutes ces difficult�s apparentes il suffira de rappeler, que l'on peut parvenir au m�me lieu par des routes diff�rentes ; qu'on peut avoir le m�me r�sultat ob- tenu ou d�riv� de diff�rentes choses. Il sera dit assez pour faire comprendre les principes de la Th�orie sur ce sujet. La conclusion est : quand on ne comprend pas les choses, on ne comprend pas les r�sultats qui en d�rivent ; on ne comprend pas le v�ritable sens des conclusions qu'on en tire.

§ 322. Expression des sinus et cosinus au moyen d'exponentielles. Duhamel prouve dans la Premi�re Partie des M�- thodes etc. § 45 , page 26 , que du faux on peut quel- quefois d�duire le vrai. Les expressions des sinus et cosinus au moyen d'expo- nentielles, prouvent qu'en appliquant aux quantit�s inconnues les r�gles des quantit�s connues , on peut quelquefois du vraiment imaginaire d�duire le r�el : oob(/-1.)= S-f�; sm(v/� i.x)* = ^e_iT^~j-; mais ce r�sultat bienque r�el en apparence , est faux puisque la d�duction est inexacte ; le v�ritable imaginaire ne produit pas la r�alit�. Et pour en finir avec les M�thodes ; le r�sultat des �tudes attentives sur le sujet des imaginaires diff�re beau- coup de ceque Duhamel s'imagine devoir en �tre le r�sultat. Le r�sultat n'est point : M�thodes III, § 291 , »tout cela est �vident et incontestable" ; on se demande avec raison : � quoi peuvent servir ces fictions de calculs, qui ne sont pour la plupart qu'un amusement bizarre,

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			452

		qu'un travail imaginaire , n'offrant de remarquable que la complexit� du r�sultat obtenu d'une multitude de mat�riaux combin�s r�guli�rement sur une base arbitraire ? Y a-t-il autre chose que dans ces jeux d'enfants, o� avec un grand nombre de pi�ces de toutes formes , on parvient � construire des figures , qui surprennent par leur �l�gance (?) et leur r�gularit� (?) ? A ces questions qu'il �tait naturel de se faire , l'auteur a r�pondu d'apr�s les principes de sa Th�orie.

	Sur la signification concr�te des quantit�s ima- ginaires et des formes complexes. L'Histoire des math�matiques apprend que bien longtemps dans la solution des probl�mes les r�sultats en nombres fractionnaires on en n�gatifs �taient regard�s en g�n�ral comme l'indice de l'impossibilit� de la demande. Maintenant encore les r�sultats en nombres imaginaires ou en formes complexes sont consid�r�s comme la marque que le probl�me est imaginaire, impossible. Dans la Th�orie non seulement la signification et la valeur de ces quantit�s est d�termin�e en sens abstrait, mais encore l'exemple de � V � 1.100 et le r�sultat complexe d'une �quation du second degr� ont montr� que ces expressions ne sont pas imaginaires, au contraire qu'elles renferment en sens concret des valeurs r�elles. La Th�orie a prouv� que toutes les quantit�s complexes peuvent �tre r�duites en nombres imaginaires ou en formes complexes, il suffira donc de voir s'il n'est possible de trouver , de d�terminer la valeur concr�te de ces quantit�s, tax�es encore comme vides de sens, comme indices de l'impossibilit� des probl�mes dont elles sont les r�sultats.

»

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			153

		Dans la M�canique les formes sont pour la plupart des grandeurs complexes renfermant les deux �l�ments qui se rapportent aux deux facteurs dans les nombres complexes, savoir la force absolue et la direction de la force. Chaque force complexe peut �tre r�duite en deux forces qu'on peut exprimer par une forme complexe. Fig. 12. Soit Oe la direction positive; OB, OC, 01), OE , des lignes complexes , repr�sentant des forces agissant sur le corps 0. Chaque force peut �tre r�duite dans les deux forces repr�sent�es dan la Figure. 0B = 06+ i/�l.&B ; 0C = Oc + y � l.cC; OD = Od + y� 1. dB ; OE = Oe -f- \|/� 1. eE. Il est clair de quelle mani�re on peut trouver la r�sul- tante de ces forces ; quand on n'observe que la direction positive , 06 + Oc -f Od + 0^e ^sera l^a r�sultante posi- tive des forces donn�es. La r�sultante totale sera: (06 + Oc -f. Od + Oe) + \/� 1 (6B + cC + dD + «E) = y { (Ob + Oc -f Od + Oef + (JB -f cC + dD 4- eE)²1 » , bB + cC + dD + eE �^arctanS ~~Ob+Oc + Orf + �~~? Les forces i/�1.5B, y�l.cC etc. sont-elles r�elle- ment imaginaires , sont-elles vides de sens, sont-elles absolument nulles ? Elles ne sont nulles que dans le cas que la direction pos. est la seule qui est observ�e ; dans le cas que le corps 0 ne peut �tre remu� que dans la direction pos. Dans ce cas ces forces sont sans effet, mais non vides de sens , non imaginaires. La construction de la r�sultante complexe de ces forces est toute claire ; dans le cas que la direction pos. n'est pas la seule qui est observ�e, la grandeur et la direction

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de cette force totale prouve que les forces imaginaires ne sont pas sans r�alit�. Ainsi les grandeurs imaginaires ne sont pas vides de sens , ne sont pas absolument imaginaires , nulles, ce n'est que les circonstances ou les limitations particuli�res qui les rendent relativement nulles. Une autre question sur les grandeurs complexes c'est: une grandeur complexe est �gale � deux autres grandeurs exprim�es dans une forme complexe , comment cette �galit� doit �tre entendue ? i-,a grandeur complexe prise en sens absolu est-elle �gale � la somme des deux autres grandeurs prises �galement en sens absolu ? La grandeur complexe renferme implicitement non ex- plicitement les deux autres grandeurs; Fig. 12. OB renferme implicitement 06 et bB , cequi est montr� par la r�duction et ainsi avec toutes ces autres grandeurs.

	Par la distance d'un lieu � un autre on entend dans les math�matiques la longueur de la ligne droite. Pour parvenir d'un lieu � un autre on ne peut pas toujours suivre la ligne droite. Quand la distance de deux places est A et le temps employ� pour y parvenir B , la vitesse absolue ~ ne suf- fira pas toujours pour atteindre le but. Suppos� la vitesse exprim�e par a -f V� i. b, la vitesse absolue sera a -f b , mais la longueur \/�i.b sera pour ainsi dire un chemin perdu , puisque la vitesse a -j- b n'aura servi qu'� l'approcher de la longueur a du but, ainsi a = _n.

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155

Si la vitesse a �t� R^9, R marquera la vitesse absolue,
^9 indiquera la direction avec la distance positive , la ligne
directe au but.

Fig. 13. R\? = a + l/� 1.6; i/� 1. b sera nul par
rapport � la distance positive, la grandeur imaginaire est
nulle relativement mais non absolument.

Soit la distance directe , positive A ; la vitesse complexe
R\? ; dans combien de temps il arrivera ?

R\? =. a + V�1.6, ainsi le temps sera

Quelqu'un se rend � la m�me place avec la vitesse com-
plexe R ; il emploie m minutes ; par quelle forme sa
vitesse sera exprim�e?

On aura R\x = - � Or ; Fig. 13.

Ainsi \/{R²�Or²) � rS sera la vitesse perdue, et

la direction de R sera tare tang ^-.

i ° Or

Un autre se rend au m�me lieu avec la vitesse »jV,
quand il y parviendra ?

-r- =-----= Un temps n�g.dontla signification est connue.


Quand la vitesse �tait sofa ? A _ A _ I/�1.A	v-i.i;	on ne con-
*«if V~ � * ~^x**	v-i.i;	on ne con-

nait qu'un temps pos. et n�g. , ainsi ce temps indiqu� est
v�ritablement imaginaire et la chose est impossible.

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		156

	Les figures qui repr�senteraient ces probl�mes, montre- raient le sens de ces r�sultats.

	La Fig. 17 repr�sente un autre exemple. La distance OA = 10 ; la vitesse OC = 4 ; le temps � 5. L'�quation serait 10 = 4.5; prenant la vitesse en sens complexe 4fsc , l'�quation sera 5. A^x � 10 ; t⁰⁵ ⁼ ~vl ~ v \x = cos x -)- \/�l.sinic. Ainsi on a cos x -j- V� l.sina? = \; cette �quation renferme les suivantes : cos X = y- V � 1 � sin X = 0. Ainsi cos X = {. = cos 60°. On a mis \/�1. sin 55 = 0; la raison en est que \ doit �tre consid�r� comme \ �+� \/*� 1. 0. OB^�O⁰ marque la route complexe , dont la valeur en route directe positive n'est que OAfO.

Probl�me. � On demande la longueur et la largeur d'un rectangle dont la circonf�rence est 72 m�tres ; quand on ajoute 4 m�tres � la longueur et diminue la largeur de 4 le contenu sera 340 m�tres ? L'�quation sera (x � 4) (40 � x) = 340 et x = 22 ±: V� 1.4. Le probl�me est-il impossible , parceque le r�sultat est en forme complexe ; X repr�sente une ligne ; une ligne en forme complexe est-elle imaginaire , impossible ? Le probl�me est impossible non parceque le r�sultat a une forme complexe, mais parceque dans le cas �nonc� le r�sultat, pourque le probl�me f�t possible , devrait �tre un nombre absolu.

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157

L'�quation {x � 4) (40 � x) � 340 n'est pas une
�quation � quantit�s complexes , mais � quantit�s absolues ,
les signes � ne marquent pas des quantit�s n�g. mais
des op�rations.

Probl�me. � Deux couriers se rendent au m�me in-
stant de A � B ; la vitesse de l'un est \ lieue plus grande
que celle de l'autre par heure ; la distance de A � B est
18^ Lieues , encore il est dit que le second arrive � B
2 heures avant le premier.

On demande la vitesse et le temps ?

Soit la vitesse de l'un x ; l'�quation sera :
181 ₌ 1§| , g

iC + -ij- CC

Suppos� qu'on n'ait pas remarqu� l'absurdit� de la
demande , on trouvera pour l'inconnu :

* = � i+ V�1.1 ; * + {=! + V-i.h

Ces formes �tant complexes ne d�cident pas comme tel-
les l'impossibilit� de la question.
Pour avoir le temps , on obtient :

181

= _l__v/_1.12;

= 1 � y�1.12.

18'

* + f-M

La diff�rence de ces temps est de 2 heures ; mais les
formes complexes pour indiquer le temps montrent l'impos-
sibilit� , puisque le temps ne peut �tre que pos et n�g. ,
tout autre temps est impossible , imaginaire.

Les nombres complexes et les formes complexes ne ren-
ferment pas comme par exception un sens r�el, quand ils
se rapportent aux grandeurs concr�tes, cit�es dans les

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			458

-exemples pr�c�dents ; dans beaucoup d'autres cas ces quan- tit�s ont un sens r�el quand elles d�signent des grandeurs de tout autre esp�ce.

	La possession de quelqu'un consiste en effets publics ; suppos� qu'il poss�de : � 40000 � 90 pC.; � 5000 � 80 pC; � 6000 � 66 pC. Cette possession pourra �tre exprim�e de la mani�re suivante : 40000(90 + i/�4.10); 5000(80 + j/�4.20); 6000(66 + [/� 4.34). La somme des positives donne sa possession pr�sente actuelle ; la somme des imaginaires repr�sente une valeur relative qui actuellement n'a point de valeur. Quand on demande si ces grandeurs imaginaires ont la valeur absolue de Z�ro ; la r�ponse sera que cette valeur relative se rapporte aux circonstances et pour le pr�sent est nulle , mais qu'elle peut changer avec les circonstances et le temps. Les possessions de deux personnes dont l'une poss�de 90 -J- \/� 4. 40 et l'autre 90 ne sont donc pas absolu- ment identiques.

	Encore la possession de quelqu'un �tant a -(- V�4.6, a signifiera sa possession r�elle, tandis que \/�4.6 pourra �tre regard� comme une somme qu'on lui a pr�t�e pour un temps.

		Un rentier a plac� son argent � raison de 5 pC. ; par

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				159

rapport aux int�r�ts son capital peut �tre exprim� par m -(- j/ � l.n, signifiant que son capital est m ■+" n, que m seul a donne l'int�r�t, et que n n'a pas �t� plac�.

	Un marchand de vin a m�l� des vins de diff�rente valeur. 100 Litres � /3; 50 Litres � /1; 100 Litres d'eau. Suppos� le prix du vin pur � � 4. La Fig. 14 repr�sente la solution de ce probl�me. OA. repr�sente la valeur de 100 Litres � � 4. OB marquera les 100 Litres � /3, Ob sera la valeur; OC » 100 Litres � /1 , OC' sera 50 Litres � � 1 ; Oc la valeur de 100 Litres � � 1, Oc' la valeur de 50 Litres �/1 ; OD marquera les 100 Litres d'eau , la valeur est = 0. La ligne OD' repr�sente la grandeur complexe , le vin m�l� ; Oc" en repr�sente la valeur.

		Quelqu'un a les marchandises brutes exprim�es par le nombre complexe a\<p, dont le tare total est b ; on demande d'abord le total des marchandises sans tare ; puis le tare et les marchandises sans tare contenues en lOOfp. Fig. 15. OB = afp = a (cos <P 4- 1/� i. sin 9). Ob = a cos ? ; B6 � \/�1. a sin ? � b. OC = lOOf? = 100 (cos <P -)- i/� 1. sinP). Oc =100 cos 9; Cc� i/�1. lOOsin?.

			Fig. 16. Autre exemple. OBf#, marchandises brutes = OB(cosd?-f i/�l.sin�) = O�+_v/_ 1.B6. 'On en tire d'abord les brutes Oc\y ~ Oc (cos y 4- \/�l.siny) - Oc + V � l.Cc.

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	Puis ODfz � OD (cos z -f- ]/� l.sin«) = Od -f i/�l.DcL 06 �tant � Oc -}- Od , il en suit que toutes les mar- chandises sans tare en sont tir�es ; mais comme Bb le tare total surpasse de BD' , le tare Ce -f- Bd contenu en OC et OD, le reste BD' � OE est de nulle valeur. On a donc OB\x � Oc\y -J- ODf* -f OEff; ou Ob+ ]/�i.Bb = (Oc + Od)-\- V� l-(Cc + Dd+'OE). Il est d�j� remarqu� que les quantit�s complexes ren- ferment implicitement non explicitement les quantit�s dans lesquelles elles peuvent �tre transform�es ; ainsi dans les exemples donn�s OB est = 06 + j/�\.Bb , mais non OB = Ob -f- Bb et de m�me avec toutes les autres quan- tit�s ou grandeurs complexes.

Pour achever un ouvrage on a employ� des ouvriers � forces in�gales, savoir: 10 ouvriers complets; 5 dont les forces peuvent �tre exprim�es par § , 8 par f et 4 dont les forces sont {�. Les expressions alg�briques suivantes donneront les tra- vaux partiels et la totalit�. 10 ouvriers complets = 10. 5�\| = 5(f+v/-l.i). 8 �\| = 8X1+1/�1.4). 4 ai _= 4(1+ V� l.j). Le total sera (10 + 3\| + 6\| + 2) + \/� 1. <i�+ Ij + 2). Le total en forme complexe pourra �tre transform�e en quantit� complexe.

Le travail pr�t� par quelqu'un � un ouvrage est a\\20 ; quelle en est la valeur?

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af 120 = a (cos 120 -f- i/ � 1. sin 120) ; a cos 120 a une valeur n�gative, cequi signifie un travail anti-profitable; ]/�1. a sin 120 signifie un travail de nulle valeur posi- tive, r�elle; ainsi af4 20 = une valeur n�g. -\- une valeur non r�elle.

	Le temps employ� � un ouvrage est exprim� par afp. af <p � a (cosip -j- i/�l.sinp = acosp -\|- V � La sin p. a cos <p signifiera le temps qu'on aura travaill�; \/� l.asin�> le temps qu'on n'aura rien fait.

			Les ouvriers qui ont �t� employ�s durant un certain temps, sont indiqu�s par iy�1. a. $/� l.o = af30 = a (cos 30 + \|/� 4. sin 30). a cos 30 = ouvriers qui ont travaill� ; j/� 4. a fin 30= » qui n'ont rien fait.

		Cequi pr�c�de ne renferme que quelques id�es sur les nombres complexes et les formes complexes en sens con- cret ; � ces id�es doivent-elles �tre jug�es vides de sens ; ne prouvent-elles qu'il est injuste de taxer en g�n�ral ces quantit�s ou ces grandeurs comme vides de sens, sans r�alit� ; ne serait-il possible d'en tirer des avantages en les introduisant dans l'alg�bre pour marquer des valeurs relatives _t dans les �quations. � Il ne sera pas hasard� de pr�tendre que l'explication donn�e des r�sultats sous ces formes dans la solution des �quations n'est pas sans fond, sans raison.



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	bres complexes comme les formes complexes ordinaires . dont les termes x et y sont homog�nes. Le vrai sens demande qu'on �crive Log. a®+y � 1--V = « +�J/ puisque le signe \/�1 dans l'exposant n'a pas la signi- fication de v⁷�1 dans les nombres complexes ordinaires ou les nombres imaginaires \/� 1 . y = V�%' Cette distinction Euler ne l'a pas entrevue ; quand on lit ce qui se trouve dans les oeuvres math�matiques et sur- tout ce que Dr. Riecke a �crit sur les Log. dans son livre : die Rechnung mit Pachtung s zahlen, on verra qu'on prend le signe \/ � 1 dans !e sens ordinaire de la direc- tion \ - , ou de l'unit� complexe lf~.

			D�terminer � l'aide des Log. le product (j/�2) (j/�2). Log. i/� 2 = \| Log. 2 + f\| Log. V/-2 = ->Log.2 + \|\| Log. (i/- 2) <y - 2) = Log. - 2 = Log. 2 + fjr.

		Le quotient donnera : ^L°S- �^r\| = 0 + t0°;=0 = Log. 1.

Demand�e la puissance (y'■� 2)⁴ = 4. Log. V/-2 =iLog.2+t\|. Log.(v---2)⁴ = 4(iLog. 2 + f\|) = 2 Log. 2 + 12^ = Log. 2² -f j 0 = Log. + 4.



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Par cons�quent il dit: (]/� 1)K-1 = (_et/-l.\|)l^-l = _e-l = 0,2078... R. regarde par cons�quent \/�1 , l'exposant, comme ayant la valeur de 1^?. Dans la Th�orie il est prouv� , ce qui en est de cette supposition.

			De _V�\ = _eK-l._§ ; LV-1 = 1/-1. J, il obtient jt = � 2 v⁷� 1. � V⁷� *�

		Analyse de cette solution. Quand on �tudie , ce qui se trouve dans Rieche , Kl�gel et d'autres, on voit que l'exposant \/� 1 est pris dans le sens de j/ �1.1; y/� 1 pris dans ce sens , on a : (j/_ 1)1^-1 = (lj\|)0 + K--l.l ₌ lo\|io _ ₁\|₁0₎ ou si l'on veut 1\|1° = 1 (cos 1°+ \/�1. sin 1°). C'est l� d'apr�s la Th�orie la signification et la valeur de (y� 1)V �1 et non 0,2078____

	\|/�1)1^�* peut aussi �tre pris comme signifiant: (j/ __1)V-1.0 = (!/� 1)° + 1^-1.0 ₌ 1\|0= +1. Dans les exposants i/ � 1 n'est qu'un signe , rien de plus, pour indiquer que les nombres , qui accompagnent \/� 1, comme \/� 1.00, x V� 1 , donnent les degr�s de la direction, \/-~l.oc � X \/�1 = �#°. Puisque dans {y/�l)¹^^¹ l'indice n'est suivi d'aucun nombre, on peut compter , et avec plus de raison, que la direction manque, de sorte qu'on a :