AFBEELDING

VAN BEWEGINGEN OM EEN PUNT IN Ro. R3 EN R4

K 967

AFBEELDING

VAN BEWEGINGEN OM EEN PUNT IN R2. R3 en R4.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TEnbsp;UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS L. VAN VUUREN, HOOGLEERAAR IN DEnbsp;FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEERTE,nbsp;VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DERnbsp;UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VANnbsp;DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDEnbsp;TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 18 JANUARI 1943,

DES NAMIDDAGS TE 4 UUR DOOR

DAVID NICOLAAS LELYVELD

GEBOREN TE 's-GRAVENHAGE

AMSTERDAM - H. J. PARIS -MCMXLIII

Promotor: Prof. Dr J. A. Barrau

AAN KONING CHRISTUS

INHOUD

INLEIDING......................... 1

AFBEELDING VAN BEWEGINGEN OM EEN PUNT . . 16

A - TWEEDIMENSIONAAL.................16

B - DRIEDIMENSIONAAL.................17

C - VIERDIMENSIONAAL.................36

INLEIDING

In Band 32 van Crelle’s Journal vindt men een artikel van Cayley getiteld: „Sur quelques propriétés des determinants gaudies”,nbsp;waarin wordt aangetoond, hoe met behulp van scheve determinanten waarvan de elementen der hoofddiagonaal alle gelijknbsp;zijn, mits ongelijk nul, orthogonale determinanten kunnen wordennbsp;opgebouwd, waarvan de elementen rationale functies zijn van

parameters, als n de orde der determinant is. Cayley

laat echter niet zien, hoe men uit een gegeven orthogonale determinant haar parametervoorstelling kan afleiden. In een reeks verhandelingen in de ,,Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin” (1890) getiteld: „Ubernbsp;orthogonale Systeme” heeft Kronecker op dit tekort gewezen ennbsp;het werk van Cayley in vele opzichten aangevuld.

In het volgende zullen wij ons aansluiten bij de wijze waarop Kowalewski in zijn „Determinantentheorie” de onderhavigenbsp;kwestie behandelt. Wij zullen ons beperken tot determinantennbsp;van de 2de, 3de en 4de orde, wijl wij deze in onze toepassingennbsp;alleen nodig hebben. Bovendien nemen wij aan dat de orthogonalenbsp;determinanten, die wij gaan beschouwen de waarde 1 hebben ennbsp;niet nul worden als men de elementen van hun hoofddiagonaalnbsp;met 1 vermeerdert. Ook zullen wij onderzoeken, wat gedaan kannbsp;worden als aan deze laatste voorwaarde niet voldaan is. Het bewijsnbsp;bij Kowalewski is tweeledig. Hij laat op de eerste plaats zien, datnbsp;elke orthogonale determinant, die aan deze twee voorwaardennbsp;voldoet, de eigenschap bezit, dat zijn elementen geschreven kun

de loop van dit betoog moet gedeeld worden door de determinant, die uit de gegevene ontstaat, door de elementen van zijn hoofddiagonaal met 1 te vermeerderen, zodat dit bewijs zijn geldigheidnbsp;verliest als die determinant nul is. I'ervolgens wordt aangetoond,nbsp;dat elke determinant, waarvan de elementen op genoemde wijze

1

zijn gebouwd, orthogonaal is en de waarde 1 heeft, waarbij weer door bovenbedoelde determinant gedeeld moet worden. Wijlnbsp;Kowalewski in het eerste gedeelte van zijn bewijs niet explicietnbsp;aangeeft hoe de parameters behorend bij een gegeven orthogonalenbsp;determinant te schrijven zijn als functies der elementen en wijnbsp;voor het volgende dit juist nodig hebben zullen wij dus eerst dezenbsp;formules afleiden.

Wij beschouwen nu eerst een determinant van de tweede orde:

^21

Als deze orthogonaal is en de waarde 1 heeft, moet hij de volgende gedaante hebben:

M^aarbij nbsp;nbsp;nbsp;= 1. Immers in zo’n determinant is elk element

gelijk aan zijn coëfficiënt.

Stellen we nu v—r— = ^ dan vinden we na enige herleidingen:

2t

1

(] «)2 nbsp;nbsp;nbsp;(] fl)2_è2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 4-2g 2«^ —(fl^ 2a(l a)

1 2a'. a b'^

(1

en

1 a 2 (1 a) 6 quot;quot; 2 (1 a)

(I aY

waarbij gebruik gemaakt is van de relatie: nbsp;nbsp;nbsp;= b Hadden

we de door Kowalewski aangegeven weg gevolgd, dan zouden we

gevonden hebben de parameter '2 ü) nbsp;nbsp;nbsp;waren gestoten

op de waardeloze identiteiten a = a en b = h. We zouden tot het

bovenstaande resultaat ook geraakt zijn door te stellen a = cos a en ö = sin a en daarna beide uit te drukken in tg Ja. Het enigenbsp;geval waarin hier moeilijkheden optreden is: a = — 1. Onze determinant wordt dan:

Deze determinant geeft nu alle orthogonale determinanten van de 2e orde, die de waarde 1 hebben, weer; de uitzonderingsdeter-minant krijgen we voor A = 0.

Beschouwen we vervolgens een determinant van de derde orde:

'^13

(^11 lt;¹22 “¹33 1) { (^11 lt;¹22 ^33 ')^ («1

(®13 nbsp;nbsp;nbsp;%l)quot; (^23- ^32)^}

wat echter ook weer gelijk is aan 4 («j^ «32 «33 1)^. Als nu 1 ²22 ®33 ' ^ Oo is de factor tussen accolades gelijk aan:nbsp;4 («11 lt;ï22 ^33 ')

Beschouwen we nu de reciproke van C, die we kortheidshalve zullen schrijven als:

‘quot;11

t-21

‘'32

dan gelden volgens de bekende eigenschappen over de reciproke van een determinant ¹) de volgende gelijkheden:

Crs = Bürs r ^ S CU r fT B {üyy -)~ 1 )

Hieruit volgt nu weer mits B ^0:

Crs nbsp;nbsp;nbsp;Bc ra

:b = quot;cTquot;

1 nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C»-»- _nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BCrr

Urr — — 1 nbsp;nbsp;nbsp;4--— nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

Hieruit volgt nu bijvoorbeeld:

2 faTj fl32-4-lt;Z33 1 ) { ((Ïii lt;3:32 ^?3 1 nbsp;nbsp;nbsp;-lt;^32)^}

(‘¹ll ²22 ²33 ') {(‘¹ll ²22 ²33 ' ) ^ (lt;¹12 “¹21) quot;^ ( ^^IS ®31) ^ {‘¹23 ²32) }

**11 —

1

Zie bijv. Schub. Lessen over Hogere Algebra. Deel I, 2e druk, blz. 55

2

en 56 of Kowalewski. Determinantentheorie. § 37, 38, 39.

j: nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(*^23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^32)^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^^13nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^3^)^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^2l)^

Ot nbsp;nbsp;nbsp;^

^ nbsp;nbsp;nbsp;(^n“l“^22“l“^33H“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*^32)^ “1“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^13nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^3j)^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^2l)^

ClltO Ült;}lt;i — nbsp;nbsp;nbsp;—

iV

_ (‘^1iH~^22~^~^33~1~ nbsp;nbsp;nbsp;(^23'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^'39.^^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^13nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^3j)^ “hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^^12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^23)^

waarbij

iV = («ii a22 ^33 1 nbsp;nbsp;nbsp;^ (‘*23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘*32)^ “b {^IZ '*31)^ (‘*12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘*2l)^

Stellen we hierin

flll -|- «22 ~b ‘*33 bquot; 1 = ^ J ^23 nbsp;nbsp;nbsp;*32 = /* gt; ‘*13nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘*31 = ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘*12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;*21= ^

dan wordt de algemene voorstelling van een orthogonale determinant, die de waarde 1 heeft en niet nul wordt als men de elementen van haar hoofddiagonaal met 1 vermeerdert:

te delen verkrijgt men de voorstelling in 3 parameters. Ook hier loopt de hele herleiding mis als ^*22 ‘*33 1 =0 want wenbsp;hebben door 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gedeeld. In dit geval zijn alle elementen

van de reciproke van de hulpdeterminant nul en wordt de zo juist uitgevoerde herleiding zinloos. We maken nu echter de belangrijkenbsp;opmerking, dat de uitzonderingsdeterminanten symmetrisch zijnnbsp;en dus geschreven kunnen worden in de vorm:

Tussen de 6 grootheden u, v, w, x, y, z hebben we nu de volgende 7 relaties:

1) nbsp;nbsp;nbsp;x^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=\

2) nbsp;nbsp;nbsp;-\- y^ = 1

3) nbsp;nbsp;nbsp;-j- z^ = l

4) nbsp;nbsp;nbsp;ux -\- uynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vwnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0

5) nbsp;nbsp;nbsp;vxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uwnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vz

6) nbsp;nbsp;nbsp;uvnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zwnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= Q

7) % y4-2 l=0

Op het eerste gezicht schijnt het, dat er geen uitzonderingsdeter-minanten mogelijk zijn, omdat we meer vergelijkingen krijgen, dan onbekenden. In het volgende zal echter blijken, dat er afhankelijkheid optreedt.

De 4de, 5de en 6de vergelijking kunnen we aldus schrijven:

S) ux uy = — vw 9) vxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vz = — uw

10) nbsp;nbsp;nbsp;wynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— uv

Men kan deze opvatten als 3 lineaire vergelijkingen in x, y en z. De determinant van dit stelsel is:

= — 2uvw

Uit de vergelijkingen 8), 9) en 10) blijkt nu, dat het niet mogelijk is, dat een der grootheden u, v oi w nul is, zonder dat tevens ooknbsp;een der beide andere grootheden nul is. We hebben dus de drienbsp;volgende gevallen:

a) nbsp;nbsp;nbsp;Alle grootheden u, v, w, zijn nul.

b) nbsp;nbsp;nbsp;Twee dezer grootheden zijn nul, de derde ongelijk nul.

c) nbsp;nbsp;nbsp;Geen dezer grootheden is nul.

Het eerste geval leert ons, dat slechts drie determinanten mo-gelijk zijn, n.1.

Deze ontstaan uit determinant 1' door hierin achtereenvolgens te substitueren;

^ = /LI = V = 0 ; l = fj, = JT = 0 of ?^ = V = n = 0

In het tweede geval vinden we bijv. uit // = v = 0 en 9^ 0 blijkens 10): y z — 0 dus volgens 1)\ % — — 1. We krijgen dannbsp;de determinant

o

w

—y

waarin;

-y

orthogonaal is en de waarde — 1 heeft. Voor deze laatste determinant kunnen we met een lichte wijziging van het resultaat voor de 2de orde schrijven:

-t- 7t2

2vn

-\- 71^

zodat de uitzonderingsdeterminant van de 3de orde voor dit geval wordt:

Deze ontstaat nu weer uit 1') door hierin te stellen: A = ,« = 0, Analoog kunnen we te werk gaan in de gevallen u = w = Q,.nbsp;V en V = w = 0, u ^0.

Er blijft nu nog het derde geval over. Lossen we nu uit 8), 9) en 10) op de y en ^ dan vinden we:

— nbsp;nbsp;nbsp;4-

^ nbsp;nbsp;nbsp;3—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__!_1_

— 2uvw

— 2uvw

— 2uvw

Het blijkt nu dat 1) ; 2) ; 3) en 7) afhankelijk zijn. Ze gaan alle vier over in: uV nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 2uvw. We hebben onverwacht

zelfs 2 graden van vrijheid. Onze determinant wordt nu:

Stellen we hierin nu: uv = fi ] — uw — v en vw = ti dan gaat deze over in:

Deze ontstaat uit 1') door hierin te substitueren A = 0.

De determinant 1') geeft dus alle orthogonale determinanten weer-van de 3de orde die de waarde 1 hebben. De voorwaarde, dat de determinant, die ontstaat door de elementen der hoofddiagonaal'.nbsp;met 1 te vermeerderen niet nul mag zijn, blijkt ook hier, evenalsnbsp;in het geval van de 2de orde, overbodig te zijn.

Beschouwen we nu nog het geval van de 4de orde. We hebben dan de orthogonale determinant van de waarde 1.

Cl-\

a.

Cl.

De hulpdeterminant wordt in dit geval; anbsp;a.

d'

Cl.

- nbsp;nbsp;nbsp;flnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Q

- nbsp;nbsp;nbsp;Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A

- nbsp;nbsp;nbsp;7tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;crnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z

/d nbsp;nbsp;nbsp; r^)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (/«r — va Ttg)^ = 8A®

waarin

10

Op dezelfde wijze als bij de 3de orde vinden we nu:

^43

11

waarin

fJ^r—vcy-[-7lQ en N = nbsp;nbsp;nbsp; (^2,,2 7^2_j^ p2 j_ ^2 A^

Hierbij is weer ondersteld H ^7^ 0. Delen we nu al deze uitdrukkingen door X, dan vinden we de uitdrukkingen voor de elementen der orthogonale determinant in 6 parameters.

Is echter A = 0 dan vinden we analoog met het geval voor de determinanten van de 3de orde volgens een eigenschap van Siacci,nbsp;dat nu ook weer alle elementen in de reciproke van de hulpdeter-minant nul zijn. Ook nu verliezen weer alle uit te voeren delingennbsp;hun zin.

Tussen de 16 elementen van de orthogonale determinant van de 4de orde bestaan nu de volgende 11 relaties:

1) nbsp;nbsp;nbsp;a 2 _L n i -U «._2

2) nbsp;nbsp;nbsp;a.

3) nbsp;nbsp;nbsp;«31^ «35,2 «332 «3^2 J

4) nbsp;nbsp;nbsp;«„2 -j- -f «^32 -J_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 1

5) nbsp;nbsp;nbsp;A ^12^22nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^13^23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^14^24 ~ 6

6) nbsp;nbsp;nbsp;®12®32 “b ®13^33 “b ^14*3:34 = 0

7) nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^12^42nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^13^43nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘3:x4^?44nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0

8) nbsp;nbsp;nbsp;^21^31nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;^22^32nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;®23*3'33nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^24^34nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

9) nbsp;nbsp;nbsp;~bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^22^42nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*^23^43nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^24^44nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6

10) nbsp;nbsp;nbsp;^31^41nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^32^42nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^33^43nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^34^44nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0

11) nbsp;nbsp;nbsp;fljj A lt;3:32 A ^33 A «44 A 1 A ^11^44nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;®14'^41 A Ai«33-

Er zijn dus 5 graden van vrijheid.

We zoeken nu die uitzonderingsdeterminanten, welke symmetrisch zijn. Dan gaat 11) over in:

A lt;3:22 A 0:33 A lt;3:44 A ^11^ A ^11^22 ^ ^11^33

of in: nbsp;nbsp;nbsp;(1244 A 1) (Ax A lt;3:22 A lt;3:33 A lt;*44) — 0

Er zijn dus twee mogelijkheden: óf wel «44 = — 1, óf wel

-1

12

^11 “^22 ^ 0.

Natuurlijk hadden we 11 even goed kunnen herleiden tot:

(«22 ~k (®ii nbsp;nbsp;nbsp;“f~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^T2, “h ®33nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^44)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ófnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot:

(«33 1) («JJ nbsp;nbsp;nbsp;-hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«22 ^33nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^44)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot:

(«44 “hl) («11 nbsp;nbsp;nbsp;“f“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«22 ”i“ *^33nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^44)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ fl *

Opgemerkt dient te worden, dat bij nbsp;nbsp;nbsp;elknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deze herleidingen

slechts gedeeltelijk van de symmetrie gebruik wordt gemaakt. Bij de eerste herleiding slechts van het feit, dat de elementennbsp;in de eerste rij en de eerste kolom symmetrisch zijn. Analoog voornbsp;de andere gevallen. De hier af te leiden resultaten zijn dus ruimernbsp;van toepassing dan enkel op symmetrische determinanten.nbsp;Onderzoeken we nu eerst het geval «11 = — 1 en beperken we onsnbsp;tot het reëele gebied, dan krijgen we onmiddellijk «42 = «13 = «14 = 0nbsp;Onze determinant wordt nu dus:

Hierin is orthogonaal en heeft de waarde — 1. We kunnen dus met eennbsp;lichte wijziging van 1') voor deze determinant schrijven:

-7?--71^

—A

0

13

Hierbij zijn de elementen van 1' alle van teken veranderd. Voor dit geval hebben we dus een parametervoorstelling gevonden.nbsp;Analoge voorstellingen vinden we in de drie andere gevallen. Denbsp;Cayleyse voorstelling voor determinanten van de 4de orde gaatnbsp;•echter niet in deze over als we daarin ^ = 0 stellen, immers alsnbsp;nu bovendien :^0 is vinden we slechts de determinant;

Deze komt nog uit de bovenstaande te voorschijn, door hierin te stellen /« = r = Af = 0.

Nemen we echter in de Cayleyse voorstelling van de 3e orde behalve A = 0 ook nog A = 0 dan kunnen we hieruit de bovenstaande speciale voorstelling niet meer afleiden.

Door de limietovergang A-i-0 vinden we dan n.1. uit de Cayley.se determinant.

— nbsp;nbsp;nbsp;-f t2 —2 fro TTff) 2 iuo—nx) 2 («er-j- rr)

_

-2 («Tï—ax)

N nbsp;nbsp;nbsp;N

rquot; nbsp;nbsp;nbsp;— 0^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— x^ — 2 {vti ga)

Deze speciale Cayleyse voorstelling is echter symmetrisch terwijl de door mij bedachte dit niet behoeft te zijn. Hiermede is bewezennbsp;dat de Cayleyse voorstelling niet alle orthogonale determinantennbsp;van de vierde orde kan weergeven.

Beschouwen we nu het geval «22 lt;3:33 «44 — 0 waarbij ^ — 1 en beperken we ons nu tot symmetrische uitzonde-

ringsdeterminanten. De vergelijkingen 5— 10 gaan nu over in:

14

14) nbsp;nbsp;nbsp;*3:24^3^22 ~i~ ^14^33 ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^12^24 “i“ ^13*^34

15) nbsp;nbsp;nbsp;-[¦ ^‘isP-zz ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^12^13nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“^24^34

16) nbsp;nbsp;nbsp;a^^UYinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- ^24'*33 ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'^12'^14 T ‘^23%4

17) nbsp;nbsp;nbsp;®34^ï]2 -f- (?3^(?22nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^13^14 “1“ 0^23^24

Deze kunnen we opvatten als 6 lineaire vergelijkingen in de drie onbekenden «jj, 022 en «33. Opdat deze 6 vergelijkingen afhankelijknbsp;zijn, moet volgens Rouché voldaan zijn aan drie voorwaarden,nbsp;die zich hier merkwaardiger wijze tot een herleiden nd.

^12^13^14 “h ^12^23^24 “h ^13^23^34 ~h ^14^24^34 — ^

Van alle symmetrische uitzonderingsdeterminanten moeten dus de elementen rechts van de hoofddiagonaal aan deze relatie voldoen.

We lossen nu het stelsel 13), 14) en 1.5) op. De determinant van dit stelsel is —Onderstellen we deze ongelijk nul dannbsp;vinden we:

_ lt;^12^*^ 13*^24 “1“ ^12^^14^23 ~f~ ‘^]2‘^].3^^.34 ^22*^14 ^34 ^J3^'^U^23 ^ia^i4^^2

2^?22^13^14

^'^12^^]3‘^24 nbsp;nbsp;nbsp;'^12^13^^34 ~ ^32^14^^34 ~l~ ^13^^34*^23 ~i~ ^13^14^^24

^^12^3^14

~ ^32^^13*^24 ~l~ ^12^^14^23 nbsp;nbsp;nbsp;^12^13^^34 ~l~ ^]2^J4^%4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'^33^^14^23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^13^14^^24

2lt;3^22^13^14

^32 ^33^24 nbsp;nbsp;nbsp;^12 ^14^23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^12^33 ^34nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^12^34 ^34

^^12^13^14

Waarbij nu behalve aan a) ook nog voldaan moet zijn aan;

i^jl^ -|“ ^12^ d~ ^13^ H~ ^14^ ~ 1

^12^ “h nbsp;nbsp;nbsp;*^22^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^23^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^24^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

^13^ “b nbsp;nbsp;nbsp;*^23^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^33^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“t~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^34^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

^14^ nbsp;nbsp;nbsp;^24^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^34^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^44^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

^44

15

Analoog als bij de derde orde kunnen nu beschouwd worden de gevallen, waarinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0.

Ook kunnen op soortgelijke wijze scheefsymmetrische uitzonde-ringsdetermin anten worden uitgedrukt in de elementen rechts van de hoofddiagonaal. We verwijderen ons daarbij uit den aardnbsp;der zaak steeds meer van de Cayleyse voorstellingswijze.

Het is mij echter niet mogen gelukken een algemene voorstelling te vinden voor alle uitzonderingsdeterminanten.

AFBEELDING VAN

BEWEGINGEN OM EEN VAST PUNT IN TWEE-, DRIE- EN VIERDIMENSIONALE RUIMTEN.

A. Tweedimensionaal.

We denken ons een vlak Rg hierin een vast punt O. We laten dit vlak in zich zelf draaien om het punt O. We kunnen dit voorstellen als een beweging van een veranderlijke R2 in de vastenbsp;waarbij het punt O niet van plaats verandert. Om deze bewegingennbsp;te beschrijven kiezen we in R^ met O als oorsprong een vast Cartesiaans coördinatenstel {W} en in R^' een dito {X'Y'} ooknbsp;met O als oorsprong. De samenhang tussen beide stelsels wordtnbsp;gegeven door de vergelijkingen:

jV ci-^X —|—

Y = a^^X' a^^Y'

Hierin is de determinant

UI

¦ orthogonaal en heeft de waarde 1, als we beide stelsels in dezelfde zin kiezen. Deze determinant karakteriseert de diverse standennbsp;van het veranderlijke vlak ten opzichte van het vaste vlak. Denbsp;determinant

1 nbsp;nbsp;nbsp;0

0 nbsp;nbsp;nbsp;1

geeft de stand aan, waarbij in beide vlakken de gelijknamige assen samenvallen. Deze stand zullen we aan duiden als de aan-vangsstand. Blijkens de inleiding kan de eerste van de twee boven-; staande determinanten worden geschreven als:

— iR 2Xa

17

Hieruit blijkt, dat de standen van het veranderlijke vlak kunnen worden afgebeeld op de punten van een rechte lijn, door middelnbsp;van de homogene coördinaten {X, //}. De oorsprong op die rechtenbsp;lijn beeldt dan de aanvangsstand uit. Iedere stand van het veranderlijke vlak correspondeert met één punt van de beeldrechtenbsp;en ieder punt van de beeldrechte geeft één stand van het veranderlijke vlak. Schrijven we de laatste determinant in niet homogene vorm:

aanvangsstand is ontstaan door rotatie over de hoek a wordt afgebeeld door het punt { — tg Ja, 1 } op de beeldrechte. De rotatienbsp;over 180° wordt dan afgebeeld op het oneigenlijke punt van dienbsp;beeldrechte, wat weer in overeenstemming is met het in de inleiding gevonden resultaat, dat de uitzonderingsdeterminant

- 1 0 0 — 1

uit de algemene voorstellingswijze in X, u was af te leiden door te stellen A = 0.

Roteert het veranderlijke vlak eenparig om het punt O, dan zal het beeldpunt de beeldrechte doorlopen, echter niet met eenparige snelheid.

B. Driedimensionaal.

Op overeenkomstige wijze kunnen we de bewegingen nagaan in een driedimensionale ruimte R^. We denken ons dan een veranderlijke Rg' die beweegt in de vaste Rg en waarbij weer hetnbsp;punt O op zijn plaats blijft. Ook nu kunnen wé deze bewegingennbsp;beschrijven door het kiezen van een vast Cartesiaans coördinatenstelsel {XYZ} in Rg met O als oorsprong en een dito (X'Y'Z'}nbsp;in Rj'. De samenhang tussen beide stelsels wordt nu gegevennbsp;door de vergelijkingen:

2

18

X = a^^X'

Y = (^21^ nbsp;nbsp;nbsp;^22^ ~t~ ^23^

Z -—- d'^^-^X ~j~ (2^2^ *~t~ ^“^Z

Ook hier is weer de determinant: ^IS

«23

fl,.

die de standen van de veranderlijke ruimte karakteriseert ten opzichte van de vaste ruimte orthogonaal en heeft denbsp;waarde 1, als we beide stelsels in dezelfde zin nemen. De determinant:

1 nbsp;nbsp;nbsp;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0

0 nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0

0 nbsp;nbsp;nbsp;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

geeft de stand aan, waarbij de assen in R^ met de gelijknamige assen in R^ samenvallen. Deze stand zullen we weer aan duidennbsp;als de aanvangsstand. Volgens de inleiding kan de eerste determinant in parametervorm worden gebracht en neemt dan de gedaante aan:

2 \}jz — fjiv)

-b nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;71^

— fR nbsp;nbsp;nbsp;-bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;71^

-b nbsp;nbsp;nbsp;-bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-b

— 2 (X// -b vTi)

“b “b “b nbsp;nbsp;nbsp;7? -b -b -bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X^ -b -b 7i^

Deze voorstelling is algemeen, zoals we in de inleiding gezien hebben. We kunnen dus de standen van de veranderlijke R^'nbsp;ten opzichte van de vaste R^ afbeelden op de punten van eennbsp;driedimensionale beeldruimte R^' (X, ,a, v, ti] waarin X de homo-geniseringscoördinaat is. Iedere stand van R^' geeft één puntnbsp;van i?,quot;, want de X, ji, v en ti zijn door de a’s volkomen bepaald.nbsp;Ieder punt van de beeldruimte R^' wijst omgekeerd één standnbsp;van R^ ten opzichte van R^ aan, want de as zijn rationale functies

19

van de parameters K, u, v en n. De correspondentie is dus één-éénduidig. De oorsprong van R^' { r, tt} = { 1, 0, 0, 0} geeft de tweede van bovenstaande determinanten aan en wijst dus denbsp;aanvangsstand aan. De punten van de n as, waarvoor dus ,a = r = 0nbsp;geven de standen aan:

Delen we nu de tellers en noemers door en stellen we vervolgens -y = —tg ia dan gaat deze determinant over in;

— sin a cos anbsp;0

Hieruit blijkt, dat de punten van de n as de standen aangeven, die door wenteling van om de Z as van Hg uit de aanvangsstand ontstaan. Analoge beschouwingen gelden voor de puntennbsp;van de fj, as en de v as. Het oneigenlijke punt van de n as wijst dienbsp;stand van Hg' aan die door rotatie over 180° om de Z as van Hgnbsp;uit de aanvangsstand ontstaat. Dit is weer in overeenstemmingnbsp;met het in de inleiding gevondene, waar bleek, dat de uitzonde-ringsdeterminanten alle correspondeerden met k = 0. De hiermeenbsp;overeenstemmende standen moeten dus hun beeldpunten vindennbsp;in het oneigenlijke vlak van de beeld Hgquot;.

Gaan we nu in de beeldruimte over op niet homogene coördinaten

en stellen we hiertoe -^ = nbsp;nbsp;nbsp;= n en -^ = /gt; en vragen we ons

A nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A

nu af, welke beweging van Hg' ten opzichte van Hg wordt afgebeeld

n

h c

gaan hiertoe na, het snijpunt van de X' as van Hg' met de bol _j_ y2 _p = 1 om O in Hg. We vinden als meetkundige plaatsnbsp;van dit snijpunt in parametervorm;

20

1 («^ — nbsp;nbsp;nbsp;— c^)

1 (a^ nbsp;nbsp;nbsp; c^) u^

— nbsp;nbsp;nbsp;2 (cu -{- abu^)

1 (a^ nbsp;nbsp;nbsp; c^)

— nbsp;nbsp;nbsp;2 {bu — acu^)

1 («2 nbsp;nbsp;nbsp; c^)

Dit is een vlakke kromme op de eenheidsbol om O, dus een cirkel. Trachten we het vlak van deze cirkel te bepalen en stellen we ditnbsp;hiertoe:

AX BY CZ D = 0

We moeten nu dl, 5, C en D oplossen uit de vergelijkingen:

A nbsp;nbsp;nbsp; D =0

— 2cB —2bC nbsp;nbsp;nbsp;=0

(a^ — b^ — c^) A —2abB 2acC (a^ b^ c^) B =0

Laten we l niet met een der assen M, N oi P samenvallen, dan is de rang van de matrix der coëfficiënten:

drie, wat blijkt als we haar vervangen door:

Hiervan zijn n.1. de determinanten van de 3de orde gevormd uit de Ie, 2e en 4e kolom alsmede die uit de Ie, 3e en 4e kolomnbsp;respectievelijk; 2c (b^ c^) en 2b {b^ c^) en dus niet beidenbsp;tegelijk nul. De loodlijn uit O op ’t vlak AX BY CZ 0 = 0nbsp;wordt nu:

21

«2 -— c2

of na herleiding;

-b {b^ nbsp;nbsp;nbsp;c^) c {b^ c^)'

Analoog vinden we voor de snijpunten der Y' en Z' as met de eenheidsbol om 0 in cirkels, waarvan de loodlijnen uit 0 opnbsp;hun vlakken neergelaten tot vergelijkingen hebben;

a {a^ b'^} ~ — b {a^ b'^) c [a^ b‘^)'

Bepalen we ons nu tot reëele rechten in de beeldruimte R^', dan komen we tot de volgende stelling;

Tyi 'Vt ^

Een rechte l: — — — = — door de oorsprong in de beeldruimie Rd' abc

geeft de standen aan, die R^' inneemt bij wenteling uit de aanvangsstand

X Y Z

om de rechte 1^ in R^, die tot vergelijking heeft: — = —^ nbsp;nbsp;nbsp;.

We vragen ons vervolgens af, welke beweging wordt afgebeeld door een willekeurige rechte l van de beeldruimte R^', nu nietnbsp;door de oorsprong. Zij l gegeven door de vergelijkingen;

Am Bn Cp Z) =0

A-ipt Bpi, C-yp -p Z)j = 0

22

of in Plückerse notatie:

Beschouwen we nu het snijpunt der Z' as van met de een-heidsbol om 0 in R^.

We krijgen dan:

2 (n Y 'fn-p)

1

2 (m —fip)

1 m'‘‘ nbsp;nbsp;nbsp;p'^

1 — nbsp;nbsp;nbsp;Y- P^

1 d- w-P d- d- P'^

Substitueren we hierin de uitdrukkingen voor m en n m p en de ascoördinaten van l dan vinden we:

^12 nbsp;nbsp;nbsp; 7^14^ '2 (7^237^24 —7r3i7ri4) f nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P'^

_27^427^24 d~ 27^^2(7^23 d~ ^\\)P nbsp;nbsp;nbsp;_

7^12^ 7r24^ 7^14^ 2 (71237^24 ~ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f TTig^)

^¦vi —7r24^ — 7ri4^ — 2 nbsp;nbsp;nbsp;—TTgg^ —

7^12'quot; 7124quot;^ Ti-ii 2 [n^n^ — 7r347ri4) p nbsp;nbsp;nbsp; 7142“'“) p'^

Dit is weer een 2e graadskromme op de eenheidsbol, dus een cirkel. Het vlak van deze cirkel AX -\- BY ^ CZ -j- D = 0 bepalen wenbsp;uit de vergelijkingen:

— 27r427r44 A d~ 271427^24 B —h (7^12^ — 7^94^ nbsp;nbsp;nbsp;7744quot;] ^ ~h

(7^12^ 7^24^ 7^14^) D = 0

7^12 {7^31 quot;h 7^24) A. d“ 7^42 (7^.22 “d 7^44) B (7^2377:24 nbsp;nbsp;nbsp;7T347r44) C -p

d“ (7Ï237r24 nbsp;nbsp;nbsp;7r347r44) D = 0

271427723 A 277427734 B -}” (7749^ nbsp;nbsp;nbsp;^'2^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7734^) C d“

nbsp;nbsp;nbsp; 7734^ 7742^1 D =- 0

23

De loodlijn uit 0 op dit vlak neergelaten wordt nu;

X nbsp;nbsp;nbsp;y

(^31 ^24) %2 (^23 %4) nbsp;nbsp;nbsp;^23^24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^31^14

Na enige herleidingen en met gebruikmaking van de fundamentaal-relatie; 71^2^24, ^31^24 ^14^23 = 0 vindt men hieruit;

A'

'2n^2 (^23 nbsp;nbsp;nbsp;^14) { (^14 ^23)^ (^24 ¦'^31)^ }

__y__

2n-^2 {^24 nbsp;nbsp;nbsp;;^3l) { (;^14 7^23)^ (^24 ^3l)^}

__Z_

27112» K2 — ^34) { (^14 ^23)^ (7^24 7124)'^}

0

Als nu 71x2 ^ 0 en 71x4 nbsp;nbsp;nbsp;— 7123 of 7134 ^ — 7134 dan vinden we dus

A nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z

7I23-71x4 nbsp;nbsp;nbsp;^24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;%1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^34

Analoog vinden we voor de snijpunten der X' as en Y' as van Rg' met de eenheidsbol om 0 in Ag cirkels, waarvan de loodlijnen uitnbsp;O op hun vlakken neergelaten tot vergelijkingen hebben;

'27ti2* (7I23 nbsp;nbsp;nbsp;^14) { (^12 ~r ^34) dquot;' (^31 d“ ^24) ƒ

_y_

271x2* (7124 — Tlgx) { (Tlxg ^4)® (^31 ^24)* }

z

' 271x2» (^12 ~ ^34) { (%2 ^34)* (^31 ^24)*}

en

24

27112^ (7123 — ^u) { (%2 ^34)^ (%4 ^123)^}

__y_

27^12® (7r24 — TTai) { (TTja 7!:34)2 {jt^^ n^)'^ }

• ^34) { (^12 ^34)^ (^14 ^23)^ }‘

We vinden nu de volgende stelling;

Em willekeurige rechte l in R^quot; beeldt de standen uit van ten opzichte van R^, die uit een zekere stand verkregen ivorden door rotatie om een as door 0 in R^.

Voor de beginstand kan men nu elk der co^ standen nemen die door de punten van l worden gekarakteriseerd. Gaat l niet doornbsp;O in R^' dan behoort hier niet de aanvangsstand toe.

De vergelijkingen (1) leren ons uit de gegeven rechte l de rotatieas af te leiden. Omgekeerd echter blijkt, dat bij een gegeven rotatie as

in de beeldruimte R^' behoren, die alle een rotatie om die as aangeven. Al die rechten in R^' vormen blijkens de vergelijkingen (2) een congruentie. Dit is in overeenstemming met de omstandigheid,nbsp;dat in R.^' zich co^ rechten bevinden, terwijl in R^ het aantalnbsp;rechten door O oo^ bedraagt. Met iedere rechte door O in R^ komennbsp;dus co2 rechten in R^' overeen.

Om de richtlijnen van de congruentie (2) te bepalen, schrijven we haar liever in lijncoördinaten.

cp2s nbsp;nbsp;nbsp;^Pzi — 0

— cp^^ — bp^ = 0

We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met ?. en de tweede met /,« en bepalen ^ en //, zodanig, dat:

-j- c^) nbsp;nbsp;nbsp;-f- 2abX[A {b^ -{- c^)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0

Als nu nbsp;nbsp;nbsp;en (A2, ,«2) de wortels van (3) voorstellen, vinden we

de speciale complexen;

25

(flAj^j2 “1“ nbsp;nbsp;nbsp;^^lp2Z ^t^lPnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“1“ ^i“l) ^34 — ^

en

(^^2 ~f~ ^/^2)^12 “f~ nbsp;nbsp;nbsp;~f~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^^2^23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^^%p2Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^^2~t~^/^2) Pz^ ~~ ö

Omdat de discriminant van (3): a%^— {a^ c^) (b^ c^) kleiner is dan nul zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en (Aa.Ma) toegevoegd complex en dito de

richtlijnen van onze congruentie. Onder de rechten der congruentie (2) is er een door 0quot; (oorsprong in R/) n.L:

n

~b

Uit (3) volgt:

_ — ab -\- ci s/b'^ nbsp;nbsp;nbsp;— ab — ci

fjt-i nbsp;nbsp;nbsp;cR nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/^2

en hieruit volgen de lijncoördinaten der beide richtlijnen:

{ — bc — ai 'v/fl^ 6^ nbsp;nbsp;nbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— («^ c^) ; ab — ci 's/a^ -\- b^ c'^;

— ab ci b‘^ nbsp;nbsp;nbsp;; a^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; 6c ai 6^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;}

{ — 6c «ï nbsp;nbsp;nbsp; 6^ _j_ c2;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— («2 _p g2^ ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_|_ (.,;¦ y/b^ -\-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;

~ ab — ci ¦%/a^ -\- b^ -\~ c'^ ]

We bewijzen nu de volgende stelling:

De beide richtlijnen der congruentie (2) vormen een paar beschrijvende lijnen van een der regelscharen op de kwadriek m!^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n'^ -j p'^ j- 1 =0

in de punten, waar de rechte (4) d.e genoemde kwadriek snijdt.

De rechte (4) snijdt n.1. nbsp;nbsp;nbsp; 1 = 0 in de punten:

{ai, — bi, ci, 6^ c^} en { — ai, bi, — ci, 's/a^ b‘^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c^}

De beide regelscharen zijn:

m ip = X {n -j- i) nbsp;nbsp;nbsp;)

1 {m — ip) = — n nbsp;nbsp;nbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;) en

m ip = /r (— n i) fx {m — ip) =n i.

26

Voor de rechten door de genoemde snijpunten vinden we nu: ^1 =

Substitueren we dit in de vergelijkingen der bedoelde regelscharen, dan vinden we achtereenvolgens:

voor Al en ,«1 ; en /a zijn hierbij respectievelijk

5 a/ö;^ nbsp;nbsp;nbsp;a'^

- prt--1-

We vinden nu dat de tweede matrix juist de eerste der bedoelde richtlijnen geeft. Analoog voor en ,«2-

We kunnen nu ons de vraag stellen: Hoe ziet een waarnemer, die met de bewegende R^’ wordt meegevoerd de standen vannbsp;ten opzichte van Tïg'?

We denken ons hiertoe de eenheidsbol om O in R^' en bepalen het snijpunt hiervan met de X as van R^. We vinden nn:

1 nbsp;nbsp;nbsp;— -p^

1 -p m''‘‘

2 (P — mn)

!

2 {n mp)

1 nbsp;nbsp;nbsp; pquot;^'

27

Nemen we weer in de beeldruimte ligquot; de rechte l:

^ _ ^29p-~h ^24 . nbsp;nbsp;nbsp;^__^13^ nbsp;nbsp;nbsp;^14

We krijgen nu na substitutie:

d- nbsp;nbsp;nbsp;^ faa3^24 ^31^14) ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-TT,2^) -/)^

7Ti2^ 7124^ -j_ nbsp;nbsp;nbsp;^ 2 (7123^24--^Sl^u) f (^23^ ^31^ ^12'“)

. _27r]47t24 ~)~ 2 nbsp;nbsp;nbsp;7r247r3ii -|~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P ^-^23^31^^_

^12^^ ^24^^ ^14^ ^ (^23^24^^^31^14) P (^23^ nbsp;nbsp;nbsp;'quot;^12'quot;) P’’quot;

' ^^12^14 : ^^42 i^34 f TTp^j 'j) j 27rj27rpp^

^12^ -'^24’^ ^14^^ ^ (^23%4—^31^14) P (7Ï23^ ^31^ ^12^) P‘^

Dit is weer een 2e graadskromme op die eenheidsbol, dus een cirkel. Het vlak van deze cirkel AX' -f- BY' CZ' D == 0nbsp;bepalen we nu uit de vergelijkingen:

(tTjS^ 7124^-^u) ^ nbsp;nbsp;nbsp;B--27ri27ti4 C

{^12 ^24^ ^u) D = 0

{^23^21 nbsp;nbsp;nbsp;^ (^U^2S--'quot;^24^31 ^12^^ B ^12 (^31 ^2i)B

“b (^23^21 nbsp;nbsp;nbsp;^31^14) B 0

28

of na uitwerking, onder toepassing van de fundamentaalrelatie: _JiT' _ _

— nbsp;nbsp;nbsp;(7ri4 .-Tas) {nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (jTgi ~

^__

27ri2=* (ttsi 7^24) { (^12 — nbsp;nbsp;nbsp; (^31 •— 7!:24)^}

^ _

— nbsp;nbsp;nbsp;27112“ (^12 'quot;^34) I (7^12 — ^34)^ (^31 — ^24)^}'

Als nu jTia ^ 0 en 7142 7^ JÏ34 of rigi 9== 7124 dan vinden we;

Z' nbsp;nbsp;nbsp;Y'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z'

^31 nbsp;nbsp;nbsp;^24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^12 f ^34

Analoog vinden we voor de snijpunten der Y as en Z as van met de eenheidsbol om O in Rg' cirkels, waarvan de loodlijnennbsp;uit O op hun vlakken neergelaten tot vergelijkingen hebben;

Y'

— nbsp;nbsp;nbsp;27ri2» (7ri4 7^23) { {^12 — ^3i)^ (;^14 — ^23)^ }

^_Y^_¦ nbsp;nbsp;nbsp;^

27112» (^31 ^24) { (^12 — ^34)^ (%4 — ^23)^ }

_ _Z^_

— nbsp;nbsp;nbsp;27112» (^12 ^34) { (^12 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (^14 — ^23)^ }

_^

— nbsp;nbsp;nbsp;27112» (7723 ^4) { {^23 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (^31 — ^24)^ }

^_Y^_ ^

27712» (^31 ^24) { (%1 — nbsp;nbsp;nbsp; (^23 —

_Z^_

— nbsp;nbsp;nbsp;277i2» (77i2 7734) { (7731 — 7724)» (7733 —

We vinden nu de volgende stelling;

Als RA wentelt ten opzichte van R^ om een as door 0 in R^ dan roteert Ag ten opzichte van Ag' om een as door 0 in Ag'.

De vergelijkingen (5) leren ons uit de gegeven rechte l in Agquot; de rotatieas in Ag' af te leiden. Omgekeerd echter blijkt, dat bij eennbsp;gegeven rotatieas

29

in de beeldruimte R^' behoren, die alle een rotatie om die as betekenen. Deze rechten vormen ook een congruentie. We bepalen ook nu weer de richtlijnen van deze congruentie.

(Ï^)j2 nbsp;nbsp;nbsp;^Pli ^^23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“b ^^34 ~ 0

*/gt;12 nbsp;nbsp;nbsp; Cp^i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0.

Op dezelfde wijze, als bij de vorige congruentie vinden we 2 en /lt; ter bepaling van de speciale complexen uit

(«2 c2) A2 -f 2aèA,« (amp;2 c^) „2 ^ p

Dit is dezelfde vergelijking als (3). Ook nu behoort tot de congruentie (5) weer de rechte

2- door Oquot; in Rquot;. cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Als lijncoördinaten der richtlijnen vinden we nu;

{hc ai's/— ab ci _j_ ^2 nbsp;nbsp;nbsp;^2.

— nbsp;nbsp;nbsp;af) -f- ci y^a^ -|- f)2 -f c2; a2 c2; f)c ai -y/a^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;} en

{bc — ai '\/a‘^ -f -f ; a^ -f ; — ab — ci-\/ a^ nbsp;nbsp;nbsp;b'^

— nbsp;nbsp;nbsp;ab — ci \/«2 -f §2 -(- c2; a2 -f- c2; bc — ai -y/a^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c^}

Hieruit volgt nu weer deze stelling, die nauw met de voorlaatste samenhangt;

De beide richtlijnen der congruentie 5 vormen een paar beschrijvende lijnen van de tweede der regelscharen op de kwadriek

p^ -\- 1 =0

in de punten, waar de rechte (4) deze kwadriek snijdt.

We vinden n.1. dat

• a — ci) ; nbsp;nbsp;nbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; (— ai -f c)

1 nbsp;nbsp;nbsp;(— ai -f c) /inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— i

30

de tweede der bovenstaande richtlijnen geeft. Hierbij heeft /j weer dezelfde betekenis als te voren. Analoog kunnen we te werk gaannbsp;voor de eerste der hier bedoelde richtlijnen.

Bij het opsporen der vlakken van de hier optredende cirkels moesten een 24 tal determinanten in factoren worden ontbonden. De hiervoor benodigde herleidingen waren nogal langdurig, waarom wenbsp;ze hier niet hebben opgenomen. Als voorbeeld zullen we er hiernbsp;echter een weergeven:

2jT-i^JT24

“b (^14 nbsp;nbsp;nbsp;^23) (^12^ “i~ :^24*quot; “b ^14^) (nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^12^ quot;b n:23n:j4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^24“) “b

• — ^23 (^24^ — ¦'^31^) (^12^ 7^24^ ^14^)

7Ti4 (— 71^2^ -h n:237!:44 — ^2/) (^22^ nbsp;nbsp;nbsp;7t^/)

-f 7ri4 (— nbsp;nbsp;nbsp;-P 7r237ri4 — 7124^) (^31^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^24^)] =

47Ci2 (jï23— %4) [(^12^ ^24^ ^14^) (^42^ “ ^23%4 7124^) -f -(^12^-quot;^^23^14 ^24^) (^14^23 ^li^) ]

“b 47!:j2 (^31 ~b ^24) [2:'r]4^23 (^23^24 nbsp;nbsp;nbsp;^31^24) ~b

^23 (^31--quot;Ï24) (^12^ ^24^ =^14^)

7^14 (7131 — ^24) (—^12^ ^23^14 — ^24^)] =

47121 (^23 nbsp;nbsp;nbsp;^14) (^12^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^23%4 “b ^24)^ “b

“b 47rj2 (^31 “b ^24) [27^14^^23 (^23^24 nbsp;nbsp;nbsp;^31^14) 4“

(^31-^24) (^23-^14) (^12^ ^24^) '^23^14 (^31 nbsp;nbsp;nbsp;•'^24) 4quot;

4~ ^14^^23 (^31 nbsp;nbsp;nbsp;^24) ] ~

31

4^12 (^23 ^ll) (^12^ nbsp;nbsp;nbsp;^23^14 “t“ ^24^)

47112 (^23— •

4“ 47^12 (^31 ~f' ^24) [27rii7r23 (7l237r24 nbsp;nbsp;nbsp;^31^14)4 ^^14^^23(^31nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^24)] —

47Ï12 (^'r23-^14) [%2^-71237114 71,42)2 -f ^^^ 2 nbsp;nbsp;nbsp;--ji^^2) ] _j_

4“ 871i271]47l23 (7I31 -}- Tl^i) (7^237^24 nbsp;nbsp;nbsp;7I147I24) =

47112 (7^23 — 7114) [(7112^ — 71237114 7124^)2 nbsp;nbsp;nbsp; 71,42)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

4~ 2711471237124 (7131 4“ 7124) ] =

47112 (7^23 — TTm) [(7^12^ 4quot; Tlgi^) (tIi; ^ -7^24)]

471i2®(7l23-

Hierbij is gebruik gemaakt van de fundamentaalrelatie 7^127^34 4* 7I317I24 47I23 ~ O

Analoog de 23 andere.

Men kan tot de resultaten, die hier zijn afgeleid gedeeltelijk ook op een andere wijze komen. De determinant.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

1 nbsp;nbsp;nbsp;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0

0 nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0

0 nbsp;nbsp;nbsp;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

geeft de aanvangsstand aan, nbsp;nbsp;nbsp;waarbij de assen in i?,' samenvallen

met de gelijknamige assen in iïg. Deze stand wordt afgebeeld op het punt { 1, 0, 0, 0} van de beeldruimte, d.w.z. op de oorsprongnbsp;Oquot; van R/. Laten we nu R/ w'entelen om de Z as van R^ overnbsp;een hoek a, hierbij uitgaande van de aanvangsstand, dan vindennbsp;we de nieuwe stand van Rg' uit:

— .sin a cos anbsp;0

32

Hieruit volgt, dat het beeldpunt bij variërende a de P as der beeld-ruimte doorloopt. Analoge beschouwingen gelden voor de rotaties om de X as en de Y as. Als a = 180° worden alle coördinaten nul.nbsp;Deze stand wordt gekarakteriseerd door;

Deze determinant ontstaat door in de algemene gedaante van de orthogonale determinant van de 3de orde te substitueren;

/l=j« = r’ = 0 ; 71

Deze stand wordt dus uitgebeeld door het oneigenlijke punt van de P as der beeldruimte, wat geheel aansluit bij

Nu gaan we weer uit van de beginstand, waarbij beide assenstelsels samenvallen, maar draaien nu om een willekeurige rechte doornbsp;O in Pg. We denken ons de eenheidsbol om O in R^. De snijpuntennbsp;der assen van Pj en de rotatieas met deze bol zijn respectievelijknbsp;X, Y, Z, P. De hoeken XOP, YOP, ZOP noemen we a, b en c;nbsp;de standhoeken der tweevlakshoeken

A (OP) Y ; A {OP)Z ; Y (OP) Z

noemen we achtereenvolgens C, B en A. Draaien we nu R./ uit

de aanvangsstand in positieve zin over een hoek a, dan vinden we de nieuwe stand van Pg' ten opzichte van Pg uit de determinant;

cos^ fl sin^ a cos a nbsp;nbsp;nbsp;cos a cos è sin a sin b cos (C a)

cos a cos è sin a sin b cos (C — a) nbsp;nbsp;nbsp;cos^ b sin^ b cos a

cos a cos c sin a sin c cos (P a) cos b cos c sin è sin c cos (d—a) c os a cos c sin a sin c cos [B — a)nbsp;cos b cos c sin è sin c cos [A a)nbsp;cos^ 'c sin^ c cos a

33

Hieruit vinden we:

2 = 2 (l cos a) = 4 cos^ Ja.

= — 2 sin ö sin c sin a sin A = — 2 sin a cos a = — 4 sin Ja cos Ja cos a V = 2 sin a sin c sin a sin B = 2 sin a cos è = 4 sin Ja cos Ja cos hnbsp;71 = — 2 sin a sin h sin a sin C = — 2 sin a cos c = — 4 sin Ja cos Ja cos h.

Hierbij is op het volgende te letten. Verlengt men in de boldriehoek XYZ de boog XP tot zij de zijde YZ in D .snijdt dan vinden we nu

sin PZD sin PD

sin b sin c sin b sin c

Uit dit alles volgt nu, dat de standen van R^' ten opzichte van die verkregen worden door draaiing om de rechte

V y z

an i?3 worden afgebeeld op de punten van de rechte

m

cos a

van de beeldruimte R^', wat geheel in overeenstemming is, met het vroeger verkregen resultaat. Ook nu worden 2, /j,, v en 7t allenbsp;nul voor a = 180°. De determinant die deze stand van R^' aangeeft wordt nu:

cos a cos b — sin a sin b cos C cos a cos b — sin fl sin b cos Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos^ b — sin^ b

cos a cos c — sin fl sin c cos B nbsp;nbsp;nbsp;cos b cos c — sin è sin c cos A

cos a cos c — sin a sin c cos B cos b cos c — sin è sin c cos Anbsp;cos^ c — sin^ c

wat in verband met de omstandigheid, dat de boldriehoek recht-zijdig is, zich laat herleiden tot:

34

De parametervoorstelling van Cayley is nu niet zonder meer bruikbaar; we moeten dus nu ons bedienen van de bijzondere voorstelling voor het uitzonderingsgeval.

Stellen we de elementen rechts van de hoofddiagonaal u, v, w, dan vinden we voor de coördinaten die deze stand afbeelden:nbsp;uv = 4 cos^ a cos b cos cnbsp;— uw = — 4 cos a cos^ h cos cnbsp;vw = A cos a cos h cos^ c

of in aansluiting op het oorspronkelijke coördinatenstelsel:

2 = 0, fx = cos a ] V = — cos b ] n = cos c Deze stand kunnen we dus afbeelden op het oneigenlijke puntnbsp;van de rechte

m nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f

cos a nbsp;nbsp;nbsp;— cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c

van de beeldruimte R^' wat weer in overeenstemming is met de omstandigheid dat de stand die ontstaan was door rotatie overnbsp;de hoek a werd afgebeeld op het punt van die rechte, dat mennbsp;verkreeg door in positieve zin een stuk — tg Ja op de beeldrechtenbsp;af te passen. Beschouwen we omgekeerd de rechtenbsp;mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p

cos a nbsp;nbsp;nbsp;— cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c

in de beeldruimte R^' en passen we hierop in positieve zin een stuk — tg Ja af dan beantwoordt aan het aldus verkregen beeldpuntnbsp;de stand gekarakteriseerd door:

1 nbsp;nbsp;nbsp;-j- (cos^ a — cos^ h — cos^ c) tg Ja — 2 cos.c tg Ja 2 cos a cos b tg^ Ja

1 -b tg“ Ja nbsp;nbsp;nbsp;1 tg“ Ja

2 cos b tg Ja -(- 2 cos a cos c tg^ Ja 1 -f tg^ Ja

2 nbsp;nbsp;nbsp;cos c tg Ja 2 cos a cos b tg^ Janbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 (— cos^ a cos^ h — cos^ c) tg^ Jc

1 -f tg^ Ja nbsp;nbsp;nbsp;1 -b tg^ Ja

— 2 cos a tg Ja -b 2 cos b cos c tg^ Ja 1 -b tg“ Ja

— 2 cos b tg Ja -b 2 cos a cos c tg^ Ja 2 cos a tg Ja -b 2 cos b cos c tg^ Ja 1 -b tg^ Janbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 -b tg‘^ Ja

1 -b (— cos^ a — cos^ b cos^ c) tg^ Ja 1 -b tg''^ Ja

35

Hieruit vinden we na enige herleiding weer:

cos^ a sin^ a sin a nbsp;nbsp;nbsp;cos a cos è sin a sin h cos (C a)

cos a cos c sin fl sin c cos (B — a) cos a cos ö sin a sin b cos (C — a)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos^ ö sin^ h sin a

cos h cos c sin 6 sin c cos {A a) cos a cos c sin a sin c cos (i? a) cos h cos c sin b sin c cos {A —a)nbsp;cos^ c sin^ c sin a

waaruit weer blijkt dat de punten van deze rechte de standen van R3 weergeven, verkregen uit de aanvangsstand door rotatie omnbsp;de rechte

X V z

van i?o

Laten we gemakshalve de M, en P as van Pgquot; vallen langs de X, Y, Z as van Pg zodat Pg en Pgquot; geheel samenvallen, dan vindennbsp;we dus de beeldpunten der standen van Pg' door OP te spiegelennbsp;in het YZ {NP) vlak en vervolgens op de gespiegelde rechte stukken — tg af te passen van af de oorsprong, als a de draaiings-hoek om OP is.

Gaan we in plaats van uit de aanvangsstand van Pg' uit^van een willekeurige stand van Pg' gegeven door:

cos nbsp;nbsp;nbsp;cos Ognbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Og

cos nbsp;nbsp;nbsp;cos P2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/Sg

cos Yi nbsp;nbsp;nbsp;cos 72nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos 73

en laten we nu weer Pg' wentelen om de as OP, dan kunnen we ons afvragen welke beeldpunten van Pg' met deze standen corresponderen. Deze beginstand wordt afgebeeld door een eigenlijk ofnbsp;oneigenlijk punt van Pgquot; al naarmate deze determinant niet of welnbsp;in de uitzonderingspositie verkeert. In elk geval is het beeldpuntnbsp;volkomen bepaald. Wijl een analytische behandeling nu wat stroefnbsp;wordt, gaan we liever meetkundig te werk en bedienen ons hierbijnbsp;van de bekende eigenschappen der mechanica. De hierboven aangegeven beginstand kan uit de aanvangsstand worden verkregennbsp;door Pg' te wentelen om een slS OQ over een hoek fi welke doornbsp;beide standen volkomen vast gelegd zijn. Nu kan men de rotatienbsp;over fi om OQ gevolgd door die over a om OP vervangen door een

36

rotatie om een as OR, welke op de bekende wijze uit OQ en OP en de hoeken a en (i kan worden afgeleid, over een hoek y, dienbsp;zoals eenvoudig af te leiden is uit a en /3 verkregen wordt volgensnbsp;de formule:

cos ^y = cos \a cos — sin Ja sin cos POQ

Spiegelen we nu OP, OQ en OR in het YZ vlak en passen we op de gespiegelde rechten stukken OP', OQ' en OR' af respectievelijknbsp;— tg Ja, — tg J/3, — tg Jy dan krijgen we de beeldpunten dernbsp;standen door genoemde rotaties verkregen. Bovendien passennbsp;we op laatstgenoemde rechten ook nog stukken

OP2 = OQ^ = OP2 = 1 af.

Houden we nu jS vast en laten we a lopen van 0°—360° dan zal het vlak OQ2R2 niet van stand veranderen. Denken we ons denbsp;eenheidsbol om O en laten we in de boldriehoek P^Q^R^ de lood-boog P2S2 neer op Q^R^ en stellen deze d.

Projecteren we nu P' in S' op OS^ dan zal de projecterende loodlijn R'S' constant van lengte zijn n.1. tg d want tg ö = tg Jy sin R^OS^.nbsp;Hieruit volgt dat het punt R' een rechte doorloopt in het vlaknbsp;OQ^So welke evenwijdig loopt met OS^ en die gaat door ’t punt Q'.nbsp;Eenvoudig is in te zien, dat 2 X Z Q^P^S^ de rotatiehoek aangeeft,nbsp;welke correspondeert met het oneigenlijke punt der beeldrechte.nbsp;Er zijn 00® aanvangsstanden. Toch krijgen we bij elke rotatieasnbsp;maar 00^ beeldrechten, want oo’ standen geven telkens weer dezelfde beeldrechte. Immers uitgaande van een willekeurige be-ginstand van Pg' zullen alle standen die hieruit verkregen wordennbsp;door rotatie om een bepaalde as, dezelfde reeks standen opleveren,nbsp;als zij op hun beurt als uitgangsstand worden gekozen.

C. Vierdimensionaal.

We zullen nu de bewegingen nagaan in een vierdimensionale ruimte P4. We denken ons daartoe een veranderlijke R^' die beweegt innbsp;de vaste P4 en waarbij ook nu het punt O op zijn plaats blijft.nbsp;Weer kunnen we deze bewegingen beschrijven, door het kiezennbsp;van een vast Cartesiaans coördinatenstelsel {X, Y, Z, T) in P4nbsp;met O als oorsprong en een dito {X'Y'Z'T'} in P4'. De samenhangnbsp;tussen beide wordt gegeven door de vergelijkingen:

37

-lY — Y -|- nbsp;nbsp;nbsp;' “H ^13 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^14

Y = «21 nbsp;nbsp;nbsp; «22nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; «23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; «24

Z = «gj X'

T = YT'

«14 enz. de cosinussen der hoeken, die de

X', Y', Z', T' assen achtereenvolgens maken met de X, Y, Z, T assen. Denken we ons beide assenstelsels in denzelfden zin gekozen, dan zal de determinant:

*11

die orthogonaal is de waarde 1 hebben. Als nu deze determinant niet nul wordt, wanneer we de elementen van zijn [hoofddiagonaalnbsp;met 1 vermeerderen, laten zijn elementen volgens de inleidingnbsp;zich uitdrukken als rationale functies van 6 parameters en zijnnbsp;dus de hiermee corresponderende standen afbeeldbaar op denbsp;punten van een zesdimensionale beeldruimte en wel op denbsp;eigenlijke punten hiervan. De overige determinanten karakteriserennbsp;standen, die we in de loop van het volgende per definitie zullennbsp;toevoegen aan punten van de oneigenlijke van de beeld R^.nbsp;De bedoelde parametervoorstelling voor bovenstaande determinant is:

38

waarin

k = mt — ws en iV == 1 en waarbij;

Hierbij hangen A, /i, v, n, q, a, x op de in de inleiding genoemde wijze samen met de elementen van de eerstgenoemde determinant.nbsp;Kiezen we nu in de beeld Kg een Cartesiaans coördinatenstelselnbsp;[m, n, p, r, s, t) dan geeft de oorsprong van Kg de volgende determinant weer:

10 0 0 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10 0

0 nbsp;nbsp;nbsp;0 10

0 0 0 1

Deze karakteriseert die stand van K4' ten opzichte van K^, waarbij de assen van K4' vallen langs de gelijknamige assen van K4. Wenbsp;zullen deze stand van K4' weer de aanvangsstand noemen.nbsp;Beschouwen we nu de eigenlijke punten van de M as van Kg waarvoor geldt: n = p~r = s = t = 0, dan krijgen we na sulnbsp;de determinant;

39

Stellen we nu m = —tg ia dan gaat bovenstaande determinant over in:

cos a — sin a 0 nbsp;nbsp;nbsp;0

sin a nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0

0 nbsp;nbsp;nbsp;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10

0 nbsp;nbsp;nbsp;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0 1

Hieruit blijkt, dat de eigenlijke punten van de M as van Rq die standen van R^' ten opzichte van R^ aangeven, die door rotatienbsp;van R^' om het Z7' vlak van R^ over een willekeurige hoek a uitnbsp;de aanvangsstand van R^' worden verkregen, mits a 180° isnbsp;of een oneven veelvoud hiervan. Uit een door Siacci voor de uit-zonderingsdeterminanten gevonden eigenschap volgt, dat er innbsp;dit geval slechts één uitzonderingsgeval is n.1.

Men kan deze door limietovergang uit de vorige vinden door hierin ia tot 90° te laten naderen. Het ligt nu voor de hand, denbsp;door deze determinant gekarakteriseerde stand van R^ op hetnbsp;oneigenlijke punt van de M as van R^ af te beelden. Omgekeerdnbsp;volgt nu, dat alle standen van R^ die door rotatie van J?./ uit denbsp;aanvangsstand zijn afgeleid, hun beeldpunt vinden op de M asnbsp;van i?g. Analoge beschouwingen gelden voor de punten der A, P,nbsp;P, 5 en r as van Pg die rotaties aangeven om de 5 overige coördi-naatvlakken van P^. We vinden hierbij achtereenvolgens: A asnbsp;rotatie om YT vlak; P as: rotatie om YZ vlak; P as: rotatie omnbsp;XT vlak; S as: rotatie om XZ vlak en T as rotatie om XY vlak ennbsp;omgekeerd. Opgemerkt kan nog worden, dat de hierbij optredendenbsp;6 uitzonderingsdeterminanten, o.a. de bovenstaande, alle van hetnbsp;model 2' zijn besproken in de inleiding.

Beschouwen we vervolgens een willekeurige rechte l door O in Pg niet met een der coördinaatassen van Pg samenvallend, bijvoorbeeld

n nbsp;nbsp;nbsp;pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;s t

b nbsp;nbsp;nbsp;c dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

40

en vragen we ons af welke beweging van R^' ten opzichte van R^ door de rechte l wordt afgebeeld, ons hierbij voorlopig beperkendnbsp;tot haar eigenlijke punten. Gaan we hiertoe nu na het snijpuntnbsp;der X' as van R^' met de eenheidshypersfeer om O in R^.

Y2 nbsp;nbsp;nbsp;= 1

We vinden als meetkundige plaats van dit snijpunt in parameter-vorm:

Dit wordt een vierdegraadskromme op de eenheidshypersfeer tenzij ag — bf cd = Q in welk geval een cirkel te voorschijnnbsp;komt. Een bijzondere rol spelen dus die rechten in i?g, die liggennbsp;op de tweedegraads vijfdimensionale kegel mt — ns-\rpr = 0.nbsp;Tot deze kegel behoren bijvoorbeeld alle coördinaatassen van hetnbsp;{m, n, f, r, s, t) stelsel in R^ welke assen rotaties aanwezen om denbsp;coördinaatvlakken van R^. Voor de rechten van deze kegel wordtnbsp;de kromme hierboven;

1 (-

1 («2 -L 62 nbsp;nbsp;nbsp; (f2 /2 g2)

— nbsp;nbsp;nbsp;2au — 2 (bd cf)

1 («2 62 C2 (f2 -t- /2 g2) ^2

— nbsp;nbsp;nbsp;2bu 2 {ad — cg) iR-

1 nbsp;nbsp;nbsp; 62 c2 -f (f2 -|_ ƒ2 g.2^ 1^2

_— 2cu 2 (g/ -f 6g) m2_

1 («2 -|- 62 -{- c2 (f2 ƒ2 _j_ g,2j yT

We trachten nu het vlak van deze cirkel te bepalen. Hiertoe zoeken we die drie-dimensionale ruimten

41

AX BY CZ DT -\-E = Q

waaraan identiek voldaan wordt door de punten hierboven in parametervorm gegeven.

We krijgen dan voor A, B, C; D en E het volgende stelsel vergelijkingen:

A nbsp;nbsp;nbsp; E =---0

aB -\- bC nbsp;nbsp;nbsp;cDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=0

(— «2 _ nbsp;nbsp;nbsp; /2 g2) A — 2 {hd cf) B 2 [ad — fg) C -f

-f 2 (fl/ -f bg) D -E E b^ A- d^ Y p A- g^) E = 0

Dit zijn 3 lineaire vergelijkingen in 5 homogene onbekenden. Er zijn dus (5 — r) onafhankelijke oplossingen, waarin r de rang isnbsp;van de matrix:

welke gelijk is aan die van de matrix

of w'el die van de matrix

We kunnen in plaats hiervan nu ook wel de rang r — 1 bepalen van de matrix:

Deze matrix heeft de rang 2, tenzij -j- nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= O of als we

ons beperken tot reëele rechten: tenzij a = b = c = 0 in welk geval de genoemde cirkel inschrompelt tot een punt en de X' asnbsp;blijkbaar in rust verkeert. Alle rechten door 0 in waarvoornbsp;m = n = p = 0 vertonen deze merkwaardigheid; het zijn de rechten door 0 in de R, S, T zij R^ ’s van R^. In dit geval zoeken wenbsp;echter de meetkundige plaats van het snijpunt bijv. van de Y' asnbsp;met de eenheidshypersfeer. Hiervoor vinden we;

2au — 2 [bd cf) u‘‘

1 -f- nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- g^)

1 -b(— _p ^,2 ^ nbsp;nbsp;nbsp;_ ^2 _ ƒ2 _p g2)

1 nbsp;nbsp;nbsp; 6^ -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- /^ -|- g^)

— nbsp;nbsp;nbsp;2du — 2 {ab -j- fg)

1 -f b^ -j- -f _|_ ƒ2 _j_ g,2j ^2

— nbsp;nbsp;nbsp;2fu — 2 {ac — dg)

1 nbsp;nbsp;nbsp;-f -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-J- g^) u^'

Dit wordt weer een cirkel, tenzij opnieuw gelijktijdig behalve a = 0 ook nog d = f = 0, welk geval we uitsluiten, omdat wenbsp;veronderstelden, dat l niet samenviel met een der coördinaat-assen. Hieruit blijkt, dat we zonder aan de algemeenheid .schadenbsp;te doen, kunnen overgaan tot ’t geval, dat niet gelijktijdignbsp;a = b = c = 0 De rang van eerstgenoemde matrix is nu drie. Wenbsp;vinden voor A, B, C, D en E twee onafhankelijke oplossingennbsp;plus hun lineaire afgeleiden. Het vlak van die cirkel is dus volkomen bepaald evenals het loodvlak door 0 hierop. Wanneer dusnbsp;het beeldpunt de rechte l doorloopt, passeert R^ van uit denbsp;aanvangsstand een rij standen, zodanig dat het snijpunt dernbsp;X' as met de eenheidshypersfeer een cirkel om dit loodvlaknbsp;doorloopt.

Een nadere beschouwing van de eerste matrix leert ons nu, dat het vlak van deze cirkel, die we gemakshalve de X' cirkel zullennbsp;noemen gaat door de punten:

43

{I, nbsp;nbsp;nbsp;O,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1}

{O, nbsp;nbsp;nbsp;a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0}

{— nbsp;nbsp;nbsp;-f _|_ ƒ2 _|_ g2^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—2 {bd cf), 2 {ad — cg),

2{af bg), a^ b^ c^ d^ f^ g^

van R^. Dit vlak snijdt de oneigenlijke van R^ dus volgens de verbindingslijn van de punten:

{0, a, b, c, 0} en

{ nbsp;nbsp;nbsp;-(- c^, bd cf, — ad ^ cg, — af — bg, 0 }

Evenzo vinden we voor het vlak van de cirkel de vergelijkingen:

E nbsp;nbsp;nbsp; E =0

a A nbsp;nbsp;nbsp;— dC -\-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=0

— {2bd cf) A (— «2 nbsp;nbsp;nbsp;g2) b^2 {ab fg)C~

~2 [ac — dg) D («2 _p c2 ^^2 4. ƒ2^ g2) £ ^ 0.

Analoge nbsp;nbsp;nbsp;beschouwingennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lerennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;weer, dat ooknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hiernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;matrix

van nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;coëfficiënten denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rangnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;drienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;heeft. Ook hiernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ditnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vlak en

zijn loodvlak door O weer volkomen bepaald.

Het blijkt nu te gaan door de punten:

{0, nbsp;nbsp;nbsp;1,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0, 1}

(a, nbsp;nbsp;nbsp;0,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—d,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—e, 0}

{~2{bd cf); —«2 amp;2 _|_ c2 —(f2_/2 ^ g2 . (ab fg) ;

— 2 (ac — dg) ; nbsp;nbsp;nbsp;b^ c^ d^ f^ g^}

De oneigenlijke rechte van dit vlak is nu bepaald door de punten: {a, 0, —d, —f, 0} en {bd cf, a^ d^ A a-b fg, ac — dg, 0}

Op overeenkomstige wijze vinden we voor de oneigenlijke rechte van het vlak van de Z' cirkel, een rechte door de punten:

[b, d, 0, —g, 0} en { —arf cg, ah fg, b'^-Y d'^gl bc (f/, 0}

en ten slotte voor het vlak van de T' cirkel de rechte door:

{f, /, g, 0, 0} en {—af — hg, ac — dg, bc df, c^ f g^ 0}

We tonen nu aan, dat deze acht oneigenlijke punten op dezelfde rechte liggen.

44

Hiertoe bepalen we de rang van de matrix:

door optelling en aftrekking van rijen; na eerst met geschikte factoren vermenigvuldigd te hebben, laat deze matrix zich zondernbsp;rangverandering herleiden tot de volgende:

Hiervan blijken de laatste vier rijen afhankelijk te zijn van de eerste vier, zodat we slechts de rang behoeven te bepalen van de scheef-symmetrische matrix:

welke rang twee is, omdat ag — bf cd = 0 en niet alle elementen van de matrix nul zijn. Hiermede is bewezen, dat de snijpuntennbsp;der X', Y', Z' en T' assen met de eenheidshypersfeer om O innbsp;zich bewegen in evenwijdige vlakken. We bepalen nu eerst hetnbsp;loodvlak door 0 hierop. Daartoe zoeken w'e de poolrechte in denbsp;oneigenlijke van ten opzichte van de isotrope bol

45

Z2 72 O

in die van de gemeenschappelijke oneindig verre rechte der vlakken van de X', Y', Z' en T' cirkels. Deze poolrechte wordtnbsp;bepaald door twee onafhankelijke vergelijkingen van de volgendenbsp;vier afhankelijke:

aY bZ -\- cT = 0 dZ -YfT = Qnbsp; gT = Qnbsp;-gZnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=0

Diezelfde twee vergelijkingen geven het vlak door O en deze rechte in aan, dus het gevraagde vlak. Men kan dus met 2 van dezenbsp;4 vergelijkingen volstaan. We geven ze echter alle vier, wijl nietnbsp;a priori te zeggen valt, welke twee onafhankelijk van elkaar zijn.nbsp;Is bijv. fl 9^ 0 en zijn de overige grootheden h, c, d, f en g alle nul,nbsp;dan vinden we in overeenstemming met het vroeger afgeleide,nbsp;dat bij de M as van R^ behoort het ZT vlak van R^. Analoog voornbsp;de andere assen in R^. Kiezen we nu de greep {a, b, c, d, f, g)nbsp;zó datnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; /^ g2 = p terwijl natuurlijk

ag — bf cd —0 en onderstellen we, wat we zonder aan de algemeenheid te kort te doen mogen aannemen a 9^ 0, imtners de grootheden a — g, spelen dezelfde rol, en passen we op de rechte lnbsp;in Rq van de oorsprong af in positieve zin een stuk — 2 tg \a afnbsp;en bepalen we nu de stand van R^' ten opzichte van R^ die hierbijnbsp;behoort, dan krijgen we voor het snijpunt der X' as van R^ metnbsp;de eenheidshypersfeer om 0 in R^.

1 (— a‘‘ — nbsp;nbsp;nbsp;-k -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- g^) tg2 \a.

1 -f tg^ Ia

2a tg |a — 2 (M c/) tg^ |a

1

2b tg -k 2 [ad - cg) tg^ \a 1 tg2 i^a

2c tg \a -k 2 (g/ -k bg) tg^ \a 1 tg''^ \a

Voor de R^ door het vlak:

46

aY hZ cT = 0 — aX dZ XfT = O

en de X as van vinden we:

aY X cT = O

Voor de door datzelfde vlak en de X' as van R/ vinden we: — aXX aY {b M) Z {c Xf) T = 0

waarin

, nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 6^ c^) tg ia

‘ ^ a — 2 {bd Cf) tg i-a ^ a tg^ Ja'

Voor de hoek tussen deze twee R,^ krijgen we:

^ b {b Xd) c (c Xf)

V(«quot; nbsp;nbsp;nbsp; c^)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; a' (6 Ad)2 (c Xf)'^

Substitueren we hierin de gevonden waarde van X, dan vinden we na enige herleidingen:

al tg2

Ditzelfde resultaat vinden we, als we de hoek bepalen tussen de twee RZ door dit vlak en respectievelijk de Y as van R^ en denbsp;Y' as van R^' enz. Hiermede hebben we de volgende stelling bewezen:

De rechten in de beeldruimte R^, die door de oorsprong hiervan gaan en liggen op de tioeedegraadsvijfdimensionale kegel mt — ns -{~ pr — Qnbsp;geven rotaties weer in i?4 om vlakken door de oorsprong hiervan: hierbijnbsp;gaat R^' uit van de aanvangsstand^

De overige rechten door 0 in Rg beelden zeker geen rotaties om een vlak af, immers de snijpunten der X', Y', Z' en T' assen vannbsp;R^' met de eenheidshypersfeer om 0 in R^ beschrijven dan vierde-graadsruimtekrommen. In een geval loopt bij elke rotatie om eennbsp;vlak de afbeelding spaak. Als we n.1. de wenteling uit de aan-vangsstand over 180° krijgen. De parametervoorstelling der determinant, die deze stand uitbeelden moet, verliest haar zin. In dit

47

geval voegen we aan die determinant per definitie toe het oneindig verre punt der beeldrechte.

We gaan nu na welke beeldrechte in 7?g door 0 behoort bij de rotatie om een willekeurig vlak in R^ door de oorsprong. Zij ditnbsp;vlak gegeven door de beide vergelijkingen;

AjX B^Y C^Z -h D^T = 0

A^X B^Y QZ D^T = 0)

Door beurtelings hieruit de X, Y, Z en T te elimineren vinden we de vier volgende afhankelijke vergelijkingen:

^12^ “t~ ^13^ “h — o

-|- TT^oZ -(- TIo^T — 0 ^3iB = 0nbsp;= 0

waarin 71^2, ^13. ^514, enz. de ascoördinaten zijn van de oneigenlijke rechte van dit vlak. Vergelijken we dit met het vroeger gevondennbsp;resultaat, dan krijgen we de volgende stelling:

Bij het vlak nbsp;nbsp;nbsp;¦ ^si} rotatievlak in i?4 behoort in Rg de beeld

rechte

n. _ p ^ r s t nbsp;nbsp;nbsp;quot;

'¦23

We vinden nu in de fundamentaalrelatie ^2^34 %i^24 ^14^23 tussen de Plücker’sche ascoördinaten terug de vijfdimensionalenbsp;tweedegraadskegel mt — ms -f = 0 waartoe de beeldrechten behoren, welke rotaties om een vlak van R^ door O aangeven. Het isnbsp;nu ook duidelijk waarom wij in Rg slechts de rechten van dezenbsp;kegel vinden. Er zijn n.1. niet meer vlakken door O in R^.

De ruimten van een even aantal afmetingen staan in zeker opzicht achter bij die van een oneven aantal afmetingen. We lichten ditnbsp;eerst toe aan R^ en R^ en zullen daarna algemeen formuleren ennbsp;bewijzen.

We konden in R.^ van een willekeurige stand;

4,11 nbsp;nbsp;nbsp;»i2

^21 nbsp;nbsp;nbsp;^^22nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;®23

*31 nbsp;nbsp;nbsp;®32nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^33

komen naar een andere:

door rotatie over een bepaalde hoek om een volkomen bepaalde as door de oorsprong. In de vierdimensionale ruimte gaat dit nietnbsp;meer. We konden van de beginstand door rotatie over een bepaaldenbsp;hoek om een vlak door O slechts komen tot die standen, welkernbsp;beeldpunten liggen op de reeds meergenoemde kegel in Ditnbsp;hangt hiermee samen. Bepalen we in R.^ de middelloodvlakkennbsp;van de verbindingslijnen van de snijpunten XX', YY', ZZ', dernbsp;assen van het vaste stelsel in R^ en de overeenkomstige assen vannbsp;de bew'egende R^ met de eenheidsbol om 0 in R.^, dan gaan dezenbsp;middelloodvlakken door een lijn. Doen we het analoge in R^ dannbsp;vinden we, dat de middelloodruimten van XX', YY', ZZ' en TT'nbsp;slechts in bepaalde omstandigheden meer dan één punt gemeennbsp;hebben. Zij die willekeurige stand, ten aanzien van de aanvangs-stand gekarakteriseerd door de determinant:

til

'*^21

^31

Hl

dan vinden we voor d middellood R^ van XX':

[X ~\f Y^ Z^ Y T^ = {X ~ nbsp;nbsp;nbsp; {Y - a^^Y

(Z ^siY Y {T —

We krijgen dus voor deze middelloodruimte na herleiding en voor de 3 analoge:

(^11 — 1) nbsp;nbsp;nbsp;d” ^31^ dquot; ^41^ ~ 0

^^12^ dquot; (^^22- 1 ) ^ d“ d“ = 0

ii^gX -j- ((23^ d~ (^33 — ^^ d~ ^43^ ~ 0

‘*11^ d“ ^24^ d“ ^34“^ d~ (lt;*44- 1) T =0.

Nu is echter de rang van de matrix:

vier, tenzij waarin

4-jlt;gt; nbsp;nbsp;nbsp;ct'22

en analoog voor en

Wanneer nu de elementen van de matrix aan deze voorwaarde voldoen, dan is de rang van de matrix evenwel niet drie, maarnbsp;daalt af tot twee. We komen nu tot de volgende merkwaardigenbsp;stelling:

De middellood R^' s van XX', YY', ZZ' en TT' gaan of slechts door één punt 0 of loel zij gaan door een vlak door 0.

De hier gevonden resultaten laten zich nu eenvoudig uitbreiden op een Rsn i en een i?2». We vinden dan de volgende algemenenbsp;eigenschap:

In i?2» i gaan de overeenkomstige middellood R2n's door een rechte. In Rin gaan zij of slechts door één punt of zij snijden elkaar minstensnbsp;in een vlak.

Het bewijs hiervan berust op een tweetal eigenschappen van de orthogonale determinanten. De eerste gevonden door Brioschinbsp;luidt: De vergelijking:

«2^2 “b ^ nbsp;nbsp;nbsp;^12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;........... «In

«22 “b ^ ...........

D ix) =

««2 nbsp;nbsp;nbsp;..........«»» “b ^

heeft als n oneven is, de wortel — 1. De tweede eigenschap is een uitbreiding van een door Stieltjes gegeven stelling: Zijn