POOLBEWEGINGEN TENGEVOLGEnbsp;VAN POOLVLUCHTKRACHT

UNIVERSITEITSBIBLIOTHEEK UTRECHT

3639 9156

â–  *%

POOLBEWEGINGEN TENGEVOLGE VAN POOLVLUCHTKRACHT

POOLBEWEGINGEN TENGEVOLGE VAN POOLVLUGHTKRACHT

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDEnbsp;AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT,nbsp;OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUSnbsp;L. VAN VUUREN, HOOGLEERAAR IN DEnbsp;FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEERTE. VOLGENS BESLUIT VAN DENnbsp;SENAAT DER UNIVERSITEIT TEGEN DEnbsp;BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DERnbsp;WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGENnbsp;OP VRIJDAG 14 MEI 1943, DES NAMIDDAGSnbsp;TE 12 UUR

DOOR

HENDRIK KUIPER

GEBOREN TE RHEDEN

1943

N.V. NOORD-HOLLANDSCHE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ AMSTERDAM

Aan mijn Ouders. Aan mijn Vrouw.

Vóór alles is het mij een behoefte, te getuigen van mijn groote dankbaarheid aan God, voor de mij geschonken zegeningen gedurende mijn geheele studie.

Mijn ouders, die mij door hun werk in staat stelden te studeeren, weten, dat ik nooit zal vergeten, wat zij voor mij waren.

Hooggeleerde Venino Meinesz, Hooggeachte Promotor, hetgeen ik aan U te danken heb, is zeer moeilijk onder woorden te brengen.nbsp;Ik ben U zeer erkentelijk, dat ik onder Uw leiding dit proefschriftnbsp;heb mogen bewerken. Uw groote kennis van zaken hielp mij overnbsp;veel moeilijkheden heen. Uw hulp en Uw buitengewone bereidwilligheid, ook bij het afwerken dezer dissertatie zal ik niet licht vergeten.nbsp;Nooit zal ik U dankbaar genoeg kunnen zijn.

Hooggeleerde Smit SibingA, Gij waart het, die mij in een van onze prettige gesprekken op het onderwerp dezer dissertatie wees.

Hooggeleerde Uhlenbeck, Uw colleges en het onder Uw leiding staande seminarium hebben mede door Uw groote didactische gaven,nbsp;grooten invloed op mijn wetenschappelijk denken gehad.

Hooggeleerde Koksma, Uw heldere colleges, in het bijzonder die over de analyse, hebben veel tot mijn kennis bijgedragen.

Hooggeleerde Sizoo, door Uw interessante colleges over de theoretische physica zijt Gij het geweest, die mijn belangstellingnbsp;voor theoretische onderwerpen hebt gewekt.

Het is ondoenlijk hier verder al degenen te noemen, wien ik dank verschuldigd ben, voor hun medewerking aan mijn opvoeding ennbsp;vorming.

Ik stel er prijs op hier een woord van dank te brengen aan den Heer L. KoERTS, directeur van de M.T.S. voor Bouwkunde tenbsp;Amsterdam, wien geen moeite teveel was, als het erom ging, mij tijdnbsp;te verschaffen voor studie.

INHOUD

Biz.

INLEIDING ...................... 1

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De poolvluchtkracht............4

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Berekening van het totalenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;draaiingsmomentnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;M,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wer

kende op de siallaag tengevolge van de poolvluchtkracht en de bepaling van de momentane bewegingsrichting van de Noordpool..........14

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;III.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De poolbeweging.............26

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;IV.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Discussie van het artikelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;MlLANKOVITCHnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;52

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;V.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De poolbaan...............65

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;VI.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Energiebeschouwingen ...........76

SAMENVATTING....................88

INLEIDING.

§ 1. Onder de breedte van een plaats op aarde verstaat men het gemiddelde van de hoogten van een circumpolairster bij meri-diaandoorgang. Om deze breedte in de practijk te bepalen, meet mennbsp;ter verkleining van de door refractie ontstane fouten den zeniths-afstand. De breedte is dan het complement van den afstand van hetnbsp;zenith tot de hemelpool (zenith bepaald door de gravitatie ternbsp;plaatse). Het in den eersten zin genoemde gemiddelde van denbsp;hoogten is klaarblijkelijk de hoogte van de hemelpool (dit is denbsp;richting van de aardas).

Het komplement van de breedte van een plaats op aarde is dus de hoek tusschen de gravitatierichting ter plaatse en de momentanenbsp;rotatie-as der aarde.

Verandert dus deze hoek, dan moet minstens een van deze richtingen veranderen. Algemeen neemt men tegenwoordig aan, dat alleen een richtingsverandering van de rotatie-as de oorzaak is.nbsp;Reeds in 1765 is door Euler in zijn ,,Theoria motus corporumnbsp;solidorum seu rigidorum” aangetoond ,dat op theoretische grondennbsp;een periodieke beweging van de momentane rotatie-as te verwachtennbsp;is. Euler geeft in dit boek een mathematische discussie van hetnbsp;vraagstuk van de rotatie van een vast lichaam om zijn zwaartepuntnbsp;en beweert nadrukkelijk, dat deze theorie van toepassing is op denbsp;aarde. De theorie werd later belangrijk uitgebreid en hoewel denbsp;aarde niet als vast lichaam beschouwd kan worden, is de mathematische theorie van het vaste lichaam toch belangrijk als grensgevalnbsp;van een theorie, welke beter is aangepast bij den werkelijken toestand van de aarde.

De verplaatsing van de pool kan anderzijds bepaald worden, door slechts twee coördinaten en als deze bekend zijn, kunnen allenbsp;breedteveranderingen worden vastgelegd. De verandering in breedtenbsp;zal voor twee stations met dezelfde geografische lengte dezelfdenbsp;moeten zijn. Bepaalt men nu op twee plaatsen de breedtevariaties,nbsp;dan geven observaties op een derde, vierde enz. plaats, dus een

1

onafhankelijk onderzoek van de hypothese, dat alle veranderingen aan een verplaatsing van de aardas moeten worden toegeschreven.

Uit de sinds 1890 door den Internationalen Breedtedienst op verschillende plaatsen gedane waarnemingen is dit werkelijk gebleken. De genoemde hypothese, dat deze breedteveranderingen uitsluitendnbsp;het gevolg zijn van verandering in den stand van de rotatie-as, isnbsp;dus in hooge mate waarschijnlijk.

De poolbeweging bleek samengesteld uit twee periodieke bewegingen;

a. nbsp;nbsp;nbsp;één met periode van 1 jaar, in vorm nagenoeg elliptisch;

b. nbsp;nbsp;nbsp;één met periode van H maanden in vorm tamelijk onregelmatig, echter wijzend op een cirkelvorm.

De amplitude, welke voor de resulteerende beweging enkele tienden van boogsecunden bedraagt, (overeenkomende met een lineaire verplaatsing van ongeveer 10 meter), en de perioden vertoonennbsp;kleine continue variaties.

De jaarlijksche beweging verklaart men met behulp van de gedurende de verschillende jaargetijden op aarde plaats vindende kleine massaveranderingen (uitvoerig beschreven in JEFFREYS; Thenbsp;earth, hoofdstuk 13. Variation of latitude).

De H maandelijksche beweging, ook wel Chandler-beweging genoemd, is niet anders dan de reeds genoemde, door EulER afgeleide beweging. De vrije periode van deze beweging wordt alleen bepaaldnbsp;door de eigenschappen van het roteerende lichaam en bedraagt voornbsp;de aarde — mits volkomen vast gedacht — 306 dagen (preciesernbsp;uitgedrukt wordt deze periode alleen bepaald door de hoofdtraag-heidsmomenten, zooals o.a. uit de berekeningen van Euler volgt).

De periode wordt bij een volkomen vast lichaam langer, indien dit meer tot den bolvorm nadert. Ook wordt de periode langer indiennbsp;het lichaam bij dezelfde afplatting niet meer volkomen vast gedachtnbsp;wordt. Door deze laatste opmerking in rekening te brengen, isnbsp;Chandler in staat geweest, de verlenging van de periode van 306nbsp;dagen tot H maanden te kunnen verklaren.

Theorie en waarnemingen over deze ,,breedtevariatie” worden uitvoerig besproken in het artikel van W. D. LamberT: Breiten-schwankungen, in het Handbuch der Geophysik Bd. I Abschnittnbsp;VIII.

§ 2. Uit de waarnemingen van den Internationalen Breedte-dienst van 1900—1917 leidde Lambert bovendien een seculaire beweging van de pool af, in de richting van de meridiaan 90° West,nbsp;met een jaarlijksche verplaatsing van 0quot;,0062i).

Wanach leidde uit de waarnemingen van 1900—1926 een seculaire verplaatsing af, groot 0quot;,0047 ± 0quot;,0007 jaarlijks (dit isnbsp;H cm zh 2 cm) in de richting 42° ± 9° West 2).

In 500,000 jaar zou dit een verplaatsing van 1 ° 30' geven. Het is nu deze seculaire verplaatsing van de pool, welke tot een grootnbsp;aantal geophysische en geologische publicaties aanleiding heeft gegeven, zoowel wat betreft de mogelijkheid, de baan en de gevolgennbsp;van een dergelijke poolverplaatsing.

Vooral de artikelen van Milankovitch in het Handbuch der Geophysik Bd. I Abschnitt VII, Sakulare Polverlagerungen en id.nbsp;Bd. IX, Lieferung 3, (1938 verschenen): Astronomische Mittel zurnbsp;Erforschung der erdgeschichtlichen Klimate (Kapittel 27 en 29) zijnnbsp;zeer belangwekkend en hebben veler aandacht getrokken 3).

Dit laatste artikel van MiLANKOViTCH zal hier hoofdzakelijk aan een discussie worden onderworpen.

W. D. Lambert, The interpretation of Apparent Changes in mean Latitude and the International Latitude Stations. Astron. Journal, Band 34,nbsp;nr. 904 (1922).

B. WANACH, Eine fortschreitende Lagenanderung der Erdachse. Zeitschrift fiir Geophysik, 3, 102, 1927.

®) Dit laatstgenoemde artikel was reeds gepubliceerd in Gerlands Beitrage, 1934, Bd. 42, onder den titel: Der Mechanismus der Polverlagerungen und dienbsp;daraus sich ergebenden Polbahnkurven.

HOOFDSTUK L

De poolvluchtkracht.

§ 3. Volgens de isostasietheorie moet men aannemen dat de buitenste korst der aarde (de siallaag) waarvan men tegenwoordignbsp;de dikte op zh 30 km stelt, in zekeren zin drijft op de daarondernbsp;gelegen simalaag. De siallaag wordt als een werkelijk vaste laagnbsp;beschouwd, de simalaag gedraagt zich als een plastische laag, d.w.z.nbsp;geeft mee onder de werking van langdurig werkende krachten (ennbsp;is dus als een soort vloeistof te beschouwen). Om dit straks wiskundig te kunnen beschrijven, moeten wij bovendien aannemen, datnbsp;voor elk punt der aardkorst werkelijk hydrostatisch evenwicht bereikt is, dus dat in elk punt de wet van Archimedes geldt. Dezenbsp;aanname is ook zoo te formuleeren: De siallaag bezit geen buigings-vastheid of, indien wij dit niet streng willen doorvoeren: De siallaagnbsp;is in stukken te verdeelen, die elk voor zich volkomen in hydrostatisch evenwicht zijn. Wanneer nu de geheele siallaag der aardenbsp;(de oceanen inbegrepen), welke laag een kleinere gemiddelde dichtheid zal hebben, dan de gemiddelde dichtheid van het substratum,nbsp;zich zou verdichten tot de dichtheid van het substratum, dan zou denbsp;aardoppervlakte volkomen glad worden. Dit oppervlak zou dan eennbsp;equipotentiaalvlak zijn van de gravitatie- en middelpuntvliedendenbsp;krachten en bij benadering den vorm hebben van een afgeplatte om-wentelingsellipsoïde. Deze laatste is bekend onder den naam:nbsp;normaalellipsotde. De vergelijking van de meridiaankromme vannbsp;deze normaalellipsoïde is:

r = a (1 — /? sin^ (p)

Beschouwen wij nu den werkelijken vorm van de aarde t.o.v. deze ellipsoïde, dan zullen de continenten en de uit sial bestaande oceaan-

bodem, doordat ze kleinere dichtheid hebben, boven deze normaal-ellipsoïde uitsteken.

Snijden wij nu op zeker punt der aarde, waar de sialkorst een plaatselijke dikte D heeft, een verticaal elementairprisma uit, waarvan het grondvlak ligt tusschen de meridianen X tn X -]- d X ennbsp;tusschen de breedtecirkels lt;59 en 99 dqgt;, dan is de oppervlakte vannbsp;het grondvlak daarvan, als wij de afplatting verwaarloozen, voornbsp;te stellen door

d f= fp cos (p dep d X

waarin Cq = gemiddelde aardstraal.

Dit prisma drijft nu op de simalaag en de massa van de weggedrongen sima door het ondergedompelde deel is, als wij de kromming der potentiaalvlakken verwaarloozen, gelijk aan de massa van hetnbsp;geheele prisma (volgens de wet van Archimedes).

Met behulp hiervan kunnen wij de hoogte H van het ondergedompelde deel vinden. Zij nl. Qq de dichtheid der simalaag en de dichtheid der siallaag, dan geldt dus voor het genoemde prisma denbsp;betrekking;

(3)

(feitelijk moet hier nog een factor bij, die de verandering van de versnelling der zwaartekracht met de diepte aangeeft: deze latennbsp;wij echter als klein van hoogere orde weg.)

Het zwaartepunt S van het prisma ligt echter op een zekeren afstand boven het metacentrum A (= zwaartepunt van het ondergedompelde deel).

Uit fig. Ib leest men af, dat deze afstand bedraagt

zo = 'l2{D~H) = ^^ D = ^ D

2qo nbsp;nbsp;nbsp;4a

^ieo—QiY

Dit hoogteverschil zq nu, is de oorzaak van een kracht, welke dit elementairprisma van de pool vandaan (dus naar de equator toe)

tracht te verschuiven. Deze kracht is daarom door KÖPPEN de pool-vluchtkracht genoemd i).

De grootte van de poolvluchtkracht op een massa-element d p is voor het eerst door EÖTVÖS afgeleid in de veronderstelling dat denbsp;krachtlijnen in het zwaartekrachtsveld (de loodlijnen op de equi-potentiaaloppervlakken) gekromd zijn.

Deze aanname kunnen wij ook zoo formuleeren, dat de equipo-tentiaalvlakken divergeeren naar de equator toe (m.a.w. als men dichter naar de equator toe den afstand tusschen twee equipoten-tiaaloppervlakken bepaalt, wordt deze grooter). Nu gaat er eennbsp;equipotentiaalvlak door het metacentrum A en een door het zwaartepunt Z van het reeds vroeger beschouwde elementairprisma.

Op een niveauvlak geldt voor de potentiaal de volgende uitdrukking:

waarin f — gravitatieconstante;

M = massa van de aarde:

C = traagheidsmoment t.o.v. de rotatie-as der aarde:

A = traagheidsmoment der aarde t.o.v. een as in het equatorvlak, waarbij de aarde als omwentelings-figuur gedacht wordt:

cü =z rotatiehoeksnelheid in radialen/sec.

Wij beschouwen nu het elementairprisma met zwaartepunt in Z en met massa d,u — Q^ Ddf.

De kracht per massa-eenheid is grad W, dus de kracht op du is voor te stellen door

K = grad W. dp........(7)

Deze kracht grijpt aan in het zwaartepunt Z van het prisma en heeft een component in de richting loodrecht op de verbindingslijnnbsp;van Z met het metacentrum A. De grootte en richting van dezenbsp;component zijn als volgt te vinden:

Met een eenvoudige physicaproef zooals de proef van Lely beschreven in W. WesTPHAL, Physik, 7e und 8e Auflage, pg. 97, is dit verschijnsel experimenteel aan te toonen.

Neem in A een rechthoekig coördinatensysteem aan, gelegen in het meridiaanvlak van A, de F-as in A loodrecht op het equipoten-tiaalvlak door A en de X-as als raaklijn aan dat vlak in A, positiefnbsp;in de richting van de noordpool af.

Daar de equipotentiaalvlakken ongeveer rotatie-ellipsoïden zijn (afgezien van plaatselijke storingen) zal de richting van den te berekenen horizontalen component in het meridiaanvlak door A (dat isnbsp;in het aangenomen XY~v\ak) liggen en gericht zijn langs de X-as.

In A geldt nu, daar de X-as in A raakt aan het equipotentiaal-vlak in A:

In het punt Z {0,zq) geldt, dat de horizontale component gelijk wordt aan:

alle afgeleiden te nemen in A.

De te bepalen horizontale component in Z wordt nu:

ö (dW\ , nbsp;nbsp;nbsp;,

Nu is echter

ÖW/

waarin g — versnelling der zwaartekracht.

Vullen wij dit in in (10) dan gaat deze over in:

Afgezien van kleinen van hoogere orde is echter

cfx = — rÖ93 (bij toenemende cp neemt x af) .

dus

dP=^^dg.

r 095

Met de gemaakte onderstellingen is de poolvluchtkracht dus bepaald door de verandering van g met de breedte.

De verandering van g met de breedte (p wordt in de buurt van de aardoppervlakte (waartoe wij het punt A ook kunnen rekenen)nbsp;nauwkeurig genoeg voorgesteld door;

g — ga {gp — ga)sin^rp.....

waarin gp = versnelling der zwaartekracht aan de pool

ga = versnelling der zwaartekracht aan den equator. Dan volgt direct:

—

dep

•T

zoodat dan de uitdrukking

dP= — igp — ga) sin lep dg

de formule voor de poolvluchtkracht voorstelt.

Uit (12) volgt nog: Bij afnemende lt;p wordt dP positief, dus volgens (13) ook bij toenemende x. De X-as was echter naar dennbsp;equator gericht, dus de poolvluchtkracht is inderdaad naar dennbsp;equator toe gericht.

Ieder massa-element van de siallaag ondervindt deze poolvluchtkracht. Deze is het grootst voor een element op 45° breedte nl.

dPr=*^ = ^{gp-g-a).

De hier afgeleide formule is de algemeen gebruikte formule voor de poolvluchtkracht.

Opmerkingen: 1. Vullen wij in formule (17) de uitdrukking dg = Qi D Tg cos ep dep d Xnbsp;in, dan gaat deze over in:

dP = Qi ZoTo D (gp — ga) sin 2(p cos (p dep dX. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(18)

Voor een elementairprisma op een bepaalde plaats op aarde (constante tp en X) is dus, daar Tq, gp en ga constantennbsp;zijn de poolvluchtkracht evenredig met het product Dzq.

2. Teneinde later te kunnen zien, waar de energie der poolvluchtkracht vandaan komt, willen wij hier nog op hetnbsp;volgende wijzen: De poolvluchtkrachtformule kon wordennbsp;afgeleid uit het feit, dat de equipotentiaalvlakken van gravitatie- en rotatiekrachten divergeeren naar den equator toe.

Deze divergentie is een gevolg van de afplatting der aarde, welke afplatting weer een gevolg is van de aardrotatie. Genoemde divergentie zou niet bestaan als de equipotcntiaal-vlakken bollen waren. Hieruit volgt dus, dat de rotatie dernbsp;aarde tenslotte de energie der poolvluchtkrachten moet leveren, waardoor deze in staat zijn, de siallaag der aarde tenbsp;verplaatsen. (Zie ook § 10).

§ 4. Volgens opmerking 1 van § 3 is de poolvluchtkracht evenredig met het product Dzq-Daar MiLANKOViTCH in zijn berekeningen het physische aardoppervlak zoodanig vervormt, dat de continentennbsp;een constante hoogte en de oceanen constante diepte krijgen (benevens constante dikte voor den uit sial bestaanden oceaanbodem)nbsp;kon hij volstaan met deze reeds afgeleide formule voor de poolvluchtkracht, door voor de D (en dus voor zq zzz ~ D) twee

waarden Dj (voor de continenten) en (voor den oceaanbodem) te kiezen. Daar in onze berekeningen de hoogte der topografienbsp;nauwkeuriger in rekening gebracht zal worden, dan bij MiLANKO-VITCH gebeurd is. moeten wij eerst een verband afleiden tusschen denbsp;hoogte der topografie h en het product Dzq teneinde de formulenbsp;voor de poolvluchtkracht met behulp van h uit te kunnen drukkennbsp;(onder de hoogte der topografie verstaan wij de hoogte boven ofnbsp;beneden zeeniveau).

Wij beschouwen hiertoe de figuren la en \b.

11

Fig. la stelt voor: de sialkorst met dikte T (voor /i = 0) en dichtheid Qi- De topografische hoogte h wordt gecompenseerd door een verticaal daaronder gelegen deel met hoogte H' zóó, dat in eenzelfdenbsp;verticale kolom het massa-overschot van de topografienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ge

compenseerd wordt door het massatekort van deze compensatie

(Qo—ei))-

Dan geldt

(df—l) hgi=H' (eo — e\)

dus

H' = , - h nbsp;nbsp;nbsp;h = S --1 j h = (2 a-1) h /

(?o —Pi) nbsp;nbsp;nbsp;00—^1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Qo—e^ )nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' (20)

(volgens (5)).

Zooals onmiddellijk uit de figuur is af te lezen wordt de afstand

zó = Z, Z2 = r a h.

Fig. Ib stelt voor: Sialprisma met totale hoogte D drijvende op de simalaag. De dikte T der korst (uit fig. la) wordt als deze korst

„condenseert” tot op sima-dichtheid gereduceerd tot T en de

60

bovenzijde van deze gereduceerde korst (oppervlak der normaal-ellipsoïde) ligt dus op een afstand | 1— j T onder zeeniveau.

Het prisma steekt boven dit oppervlak uit over een afstand

/i4-(l — —^ r=h r(\ = /i ^ (volgens (5)). (22) Qo jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;60nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 a

Z is het zwaartepunt van het prisma.

12

A is het metacentrum. Volgens (4) is 2,A =z zq =

4a

Reeds wisten wij: poolvluchtkracht ~Dzq {=D')lt;. ZA) fig. \b. Nu is ZA =: Zi (D—H) en daar H :

Dzo=y,D{D-H)=^l2D^ll-^\ = y,D^

Vergelijken wij nu fig. Ih met fig. la. In beide figuren is de dikte D van het sialprisma dezelfde. Uit fig. la volgt

D=T' h (2a—l)h of D—T-{-'2-ah. Wij hebben dus nu

poolvluchtkracht oo Dzq of nbsp;nbsp;nbsp;'

poolvluchtkracht ^ nbsp;nbsp;nbsp;(7’ 2a

T2 nbsp;nbsp;nbsp;\

poolvluchtkracht oo —^ -j- h (T* a h). nbsp;nbsp;nbsp;'

Noemen wij nu {T a h) = z'q afstand der zwaartepunten van topografie en compensatie dan gaat de formule voor de pool-vluchtkracht op een massa-element d fi over in

dP—Qiro(gp—ga)^'^ hzo^sin2q)cos(pdq}dL . nbsp;nbsp;nbsp;(26)

Voor een elementairprisma op bepaalde plaats op aarde (constante q), k) geldt dus: De poolvluchtkracht is te splitsen in 2 gedeelten.

Het eerste gedeelte is een constante (bevat alleen constante factoren).

Het tweede gedeelte is evenredig met het product hz'o (dit treedt dus in de plaats van het product QiDzq) d.w.z. evenredignbsp;met het product van de massa Qi h der topografie en den verticalennbsp;afstand van de zwaartepunten van topografie en compensatie.

13

Opmerkingen: 1. Daar Zq — T ah, waarin T en a constanten zijn, is (26) tenslotte alleen nog afhankelijk van de topografische hoogte h en deze topografische hoogte is dusnbsp;uiteindelijk de eene grootheid, die voor een bepaalde plaatsnbsp;op aarde de grootte van de poolvluchtkracht bepaalt.

2. Het moment d M van een op een sialprisma d p. werkende poolvluchtkracht dP ten opzichte van het middelpunt der aarde wordt nu voorgesteld door

dM=zrodP

= 01 'quot;o igp^Qa) --h zq i sin 2qgt; COS (p dep dk

(27)

HOOFDSTUK II.

Berekening van het totale draaiingsmoment M, werkende op de siallaag tengevolge van de poolvluchtkracht en de bepaling vannbsp;de momentane bewegingsrichting van de Noordpool.

§ 5. Wij gaan hiertoe uit van (27) welke de grootte aangeeft van het moment dat tengevolge van de poolvluchtkracht op eennbsp;element d fi van de korst werkt.

gp en ga versnelling der zwaartekracht resp. aan pool en equator.

T — dikte siallaag (voor h — 0).

a = . , —r nbsp;nbsp;nbsp;h = hoogte topografie.

2 (Po—£gt;1)

Zq — T ah — afstand van het zwaartepunt der topografie tot het zwaartepunt der compensatie.

cp = geocentrische breedte.

X = geografische lengte.

Nemen wij voor het volgende de aarde bolvormig aan, dan moet om het totale moment M te vinden, (27) dus geïntegreerd wordennbsp;over het boloppervlak. Echter moeten wij daarbij bedenken, dat d Pnbsp;een vector is, welke behalve de grootte (26) ook een richting heeft,nbsp;welke volgens § 3 ligt in het meridiaanvlak van d ju, raakt aan denbsp;meridiaan door d g en gericht is naar den equator.

Evenzoo is d M ook een vector en wij moeten dus deze vector-grootheden sommeeren over alle oppervlakte elementen van de bol.

Om deze integratie te kunnen uitvoeren, nemen wij een coördinatenstelsel aan, met den oorsprong in het middelpunt der aarde, de Z-as in de richting der noordpool, langs de tegenwoordigenbsp;rotatie-as, de X-as in het equatorvlak (snijlijn van equatorvlak ennbsp;nulmeridiaan) en de Y-as als snijlijn van het equatorvlak en meri-

15

diaanvlak 90° Oost. Daar voor elk element d jx de krachtsvector dP in het meridiaanvlak van d fj, valt, ligt dus de vector d M voor elknbsp;element in het equatorvlak. De resultante M van deze vectoren zalnbsp;ook in het equatorvlak moeten liggen.

Wanneer wij voor het element d fi het betreffende moment door een momentvector voor willen stellen, moeten de draairichting ennbsp;de momentvector samen een rechtsche schroefbeweging geven, dwz.nbsp;kijken wij in de richting van den momentvector, dan draait de krachtnbsp;om O met de wijzers van het uurwerk mee.

Voor een element d /j, met geografische coördinaten cp en / is de vector dM in het equatorvlak dus in de richting {X 90) gericht.

Als tweede stap voor de uitvoering der integratie ontbinden wij dezen vector dM langs de aangenomen X- en Y-as. De vector langsnbsp;de X-as wordt voorgesteld door;

{dM)x = dM cos (/I 90) = — cf Msin X .

De vector langs de Y-as wordt voorgesteld door;

{dM)y = dMsin (X -|- 90) — dMcos X, nbsp;nbsp;nbsp;.

Noemen wij in (27);

£•1 rl(gp — ga)=C.......

dan krijgen wij;

(d M)x = — C^“quot; /i(T' a/i)^ sin 2qgt; cos 93 sin Xdcpdx] {dM)y — c|^ h(T' ah)| sin 2(p cos cp cos X dqi dX j

waarin h een functie is van cp en X,

Vullen wij deze functie voor h in, dan vinden wij na integratie dus Mx en My.

Vooraf merken wij echter op dat in de uitdrukkingen (31) voorkomt een term

72

C sin 2w cos cp sin X dw dX 4a

72

C — sin 2(p cos cp cos X dep dX 4a

zooals direct blijkt.

De uitdrukkingen (31) zijn dus te vereenvoudigen tot

{dM)x — — C \ h(T ah)\ sin 2(p cos qgt; sin X dqgt; dl ) (d MYy — C \ h {T (^h) \ sin lip cos (p cos ldqgt;dl S

waarin * aanduidt, dat overal het gedeelte, dat bij integratie nul oplevert uit (31) is weggelaten.

§ 6. Reeds is opgemerkt: h = h{(p,l). Welke deze functie is, is echter bekend. MlLANKOVlTCH heeft in zijn berekeningen dezenbsp;functie als constant gekozen over de continenten en ook (met eennbsp;andere constante) over de oceanen, waarbij veel schattingen ennbsp;afrondingen gemaakt moeten worden en dus twijfel aan de nauwkeurigheid kan ontstaan.

De h = h{(p,l) is namelijk bekend in den vorm van de Prey-ontwikkeling van de topografie naar bolfuncties tot en met de 16e orde.

Wat de theorie der bolfuncties betreft, willen wij verwijzen naar boeken over de hoogere analyse, o.a. Whittaker—Watson:nbsp;Modern Analysis en wat betreft de PREY-ontwikkeling naar denbsp;oorspronkelijke publicatie van PreyI).

Hoewel Prey de bolfunctie-ontwikkeling geeft tot en met de 16e orde, kunnen wij volstaan met uitsluitend de bolfuncties van denbsp;2e orde te nemen. De reden hiervoor is, dat volgens een stelling uitnbsp;de hoogere analyse de integralen van producten van bolfuncties vannbsp;verschillende orde berekend over den bol steeds nul als uitkomstnbsp;geven. Nu komen in (dM)x en (dM)*y voor de factoren resp.

sin 2(p cos lt;p cos l en sin 2qgt; cos cp sin l .

A. Prey, Darstellung der Höhen- und Tiefenverhaltnisse der Erde durch eine Entwicklung nach kugelfunktionen bis zur 16 Ordnung. Abhandlungen dernbsp;königlichen Gesellschaft der Wissenschaften, Gottingen. Math. phys. klasse Neuenbsp;Edge, Bd. XI, 1.

17

welke beide uitdrukkingen bolfuncties van de tweede orde bevatten. Als wij deze factoren dus vermenigvuldigen met alle termen van denbsp;h ontwikkeling (welke een reeks bolfuncties vormt van de nuldenbsp;tot en met de 16e orde) en daarna integreeren over den bol, dannbsp;worden alle integralen nul, uitgezonderd die welke ontstaan doornbsp;de factoren (33) met de tweede orde bolfunctie-term van de h~nbsp;ontwikkeling te vermenigvuldigen. Deze opmerking is dus van grootnbsp;belang bij deze berekeningen.

§ 7. Beschouwen wij de uitdrukkingen (32) voor {dM)x en {dM)y nader, dan kunnen wij deze schrijven als;

{dM)x = — C \ Th nbsp;nbsp;nbsp;a h^\ sin 2(p cos lt;p sin X d(p dl ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,

{dM)*y = C \ Th nbsp;nbsp;nbsp;ah^\ sin 2(p cos lt;p cos l dep dl )

dus termen lineair in h en quadratisch in h.

Wij zullen zoowel h als naar bolfuncties moeten ontwikkelen.

De ontwikkeling voor h‘^ bijvoorbeeld, luidt als volgt:

--- I - 11---- /----- I

- (A21 COS l -j- ^21 sin 1} 3 sin lt;5 sin 21) 3 sin^ lt;5

waarin l = geogr. lengte en ó = complement van de geografische breedte = (90—ep). Voeren wij 95 en 1 als veranderlijken in, dannbsp;komt er:

h^ = Ago Aio sin lt;p -j- {Au cos l -j- B,, sin l) cos 93 - nbsp;nbsp;nbsp;\

A20 X i (3 sin^ cp — 1) (A21 cos l B21 sin l) 3 sin cp cos 93 / (A22 cos 2 7 -j- B22 sin 21) 3 cos^ 93.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

Voor de h-ontwikkeling krijgen wij een soortgelijke reeks, alleen worden de coëfficiënten Aqq t/m B22 anders, en die zullen wij metnbsp;accenten (A^o t/m B 22) aanduiden.

Voor deze ontwikkeling van h zijn de constanten berekend door Prey. In onze berekening moeten wij echter deze PREY-constantennbsp;op een bepaalde manier combineeren. Prey geeft namelijk o.a. eennbsp;ontwikkeling A (van de lithosfeer) en een ontwikkeling B (van de

2

18

hydrosfeer). Wij hebben echter niet te maken met de hoogten der topografie, zooals Prey, maar met de massa’s.

Een prisma uit het continent genomen, geeft geen moeilijkheden, daar daarbij alleen de dichtheid een rol speelt. Bij een prismanbsp;uit de oceaan komen echter twee verschillende dichtheden voor, n.1.nbsp;Q^ voor het water en voor den (naar wij aannemen) uit sialnbsp;bestaanden bodem.

Wanneer wij nu het zeewater van dichtheid ,,verdichten” tot sialdichtheid dan kunnen wij de zeediepten voorstellen door

een sialtekort (fig. 2). Nemen wij nu aan = 2,67 en = 1,028 dan wordt een waterlaag van dikte t vervangen door een siallaag

ter dikte t — 0,385 t.

2,67

Wij kunnen ook zeggen dat de zeediepte t een sialtekort van dikte (t — 0,385 t) — 0,615 t veroorzaakt.

Volgens het bovenstaande moeten wij, als wij het zeewater in rekening brengen, om alles in de sialdichtheid uit te kunnen drukken, nemen: (land 0,615 zee) dus de coëfficiënten uit de Prey-ontwikkeling als volgt combineeren: coëfficiënt uit A-ontwikkelingnbsp;—0,385 maal den overeenkomstigen coëfficiënt uit B-ontwikkeling,nbsp;kort: (A—0,385B).

19

Voor de ontwikkeling van h worden de genoemde coëfficiënten, uitgedrukt in km:

1,407 nbsp;nbsp;nbsp;.4,0 = 0,83560

Al', = 0,74251 Bn = 0,44731

Voor de /z^-ontwikkeling zijn de coëfficiënten niet uit de Prey-ontwikkeling te halen. Deze coëfficiënten zijn echter: (land 0,615 zee)2 =: (A—0,385B)2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hun waarden i^), uitgedrukt in

km2:

§ 8. Nu wij h en als functies van / en (p kennen, rest ons tenslotte te berekenen:

Mx = j j (dM)x = nbsp;nbsp;nbsp;— ƒƒnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CTh sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 cp cos 92 cos l dep dl —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

— ƒ / nbsp;nbsp;nbsp;Cah^ sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 cp cos cp cos l dep dlnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

My = j I {dM)y= nbsp;nbsp;nbsp;ƒJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CTh sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 cp cos cp sin l dep dl nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

nbsp;nbsp;nbsp;/ (nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C a sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 ep cos ep sin l dep dlnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Na invulling der reeksontwikkelingen voor h en blijven ter bepaling van My de volgende integralen van de ontwikkeling over (en soortgelijke van de h ontwikkeling, waarvan wij dus de uitkomsten meteen vinden):

1) Deze coëfficiënten ontleen ik aan een artikel van Prof. Dr. Ir. F. A. VenING MeineSZ, „The indirect isostatic or Bowie Reduction and the Equilibrium Figure of the Earth”, wat eerlang in het ,.Bulletin Géodésique” zal verschijnen.

20

ƒ Aqo sin 2(p cos (p dep ƒ cos 2 c/2 = 0 ^{1 2})')

I Aio sin 2(p cos ep sin ep dep jcos 2c/2 =: O ²)

y All sin 2(p cos^ ^ dep j cos^ Id^ — jiAn j sin 2ep cos^ ep dep = 0**) j Bi 1 sin 2ep cos^ (pdq) j sin l cos 2 c/ 2 = O ²)nbsp;ƒ f A20 sin 2ep sin^ ep cos epdep j cos 2 c/2 = O ²)

— nbsp;nbsp;nbsp;ƒ i -^20 sin 2ep cos epdep jcos 2c/2 = O ²)

ƒ3 A21 s/n 2(psinepcos^epdepjcos^Id2=i3 tt A21Isin2ep sin ep cos^ epdep —

= 3n: A21 X = -f TC A21 ƒ 3 B21 sin 2ep sin ep cos^ ^pdep j sin 2 cos 2 cf 2 = O ²)nbsp;ƒ 3 A22 s/n 2ep cos^ epdep jcos 2 2 cos 2c/2 = 0 ²)nbsp;ƒ 3 B22 s/n 2ep cos^ epdep jsin 2 2 cos 2c/2 = 0 ²)

Reeds wisten wij uit een algemeene opmerking over de bolfuncties dat het resultaat der eerste 4 integralen nul moest zijn. Uit bovenstaande uitkomsten volgt dan tenslotte, daar de /i-reeks op dezelfdenbsp;wijze als eenigste uitkomst geeft ^/5tiA'2i, dat

My =CT j j h sin 2ep cos ep sin IdepdXA- nbsp;nbsp;nbsp;)

Ca ƒƒ nbsp;nbsp;nbsp;sin 2epcosep sin IdepdX—C T^nAn gt; (37a)

-f Ca f TC A21 = f TtC (rA2'i g A21). nbsp;nbsp;nbsp;)

Op soortgelijke wijze krijgen wij ter berekening van M^ voor de /i2-ontwikkeling de volgende integralen:

/ Aqo sin 2(p cos epdep f sin 2c/2 = 0 ²) j Aio sin 2ep cos ep sin epdep f sin 2 c/2 = 0 ²)nbsp;ƒ Al 1 sin 2ep cos^ (pdep j sin 2 cos 2 c/2 = 0 ²)

ƒ Bi 1 sin 2ep cos^ ^dep f sin^ 2 c/2 = n Bi 1 j sin 2ep cos^ epdep —0**) ƒ f A20 sin 2ep sin^ ep cos epdep ƒ sin 2c/2 = 0 ²)

— nbsp;nbsp;nbsp;ƒ i -^20 sin 2ep cos epdep j sin kdl — 0²)

j 3 A21 sin 2ep cos^ ep sin epdep j sin 2 cos 2c/2 = 0 ²)

/3B2i sin 2epcos^psinepdep jsin^Xdl=3nB2\j sin 2psinpeos^pdp —

=3 71 B21

/ 3 A22 sin 2p cos^ lt;pdp f sin 2 cos 2 XdX=0²) ƒ 3 B22 sin 2p cos^ (pdp jsin 2sin 2 XdX — 0²)

1

Alle in dit hoofdstuk voorkomende integralen hebben tot integratiegrenzen:

—M ^ 2 ^ -|-ji

—^ lt;P ^ è®.

*) beteekent dat de betreffende integraal nul wordt door de integratie naar

2

beteekent dat de betreffende integraal nul wordt door de integratie naar ep.

21

De reeksontwikkeling voor h geeft aanleiding tot een aantal soortgelijke integralen met uiteindelijke uitkomst nbsp;nbsp;nbsp;Hieruit volgt

dan tenslotte:

Mx — — CTI j h sin 2qgt; cos cp cos ldlt;pdl —

— C a j f h} sin 2(p cos qgt; cos IdcpdX— gt; nbsp;nbsp;nbsp;(36a)

— C TBil — nbsp;nbsp;nbsp;——f C (TB2\-\-aB2]).

Voor wij overgaan tot de numerieke berekening van het uiteindelijke totaalmoment op de sialkorst uitgeoefend, merken wij op, dat er in beide reeksen integralen slechts één integraal is die tenslottenbsp;niet tot de uitkomst nul voert.

Bedoelde integraal is namelijk:

ƒ sin 2lt;p cos^ (p sin (p d(p = 2 ƒ sin^ cp cos^ cp d(p =

— 2j cos^ cp dep — 2 ƒ cos^ (p dep.

nu IS

J nbsp;nbsp;nbsp;^J

f cosquot;(p = — cosquot;~' p sinp -j-----ƒ cosquot;~^p dp

n nbsp;nbsp;nbsp;n

dus

J cos^ — ^ cos^ p sin 95 f ƒ cos^ p dp,

waarin als wij de grenzen — ]/^n en 3^ invullen, de eerste term nul wordt. Onze oorspronkelijke integraal wordt dan:

2 ƒ cos^ p dp — f ƒ cos^ p dp — ^ f cos^ p dp.

Volgens de formule voor ƒ cosquot;p dp kunnen wij voor ƒ cos^pdp schrijven f f cospdp (waarbij de eerste term, die weer nul wordt,nbsp;meteen is weggelaten).

Tenslotte komt er dan

waarmee de geheele integratie is uitgevoerd.

22

§ 9. Numerieke berekening van het moment. Reeds is gevonden:

Laten wij C voorloopig als constante staan en substitueeren

7’ — -ïn u nbsp;nbsp;nbsp;— So _nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3,27nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ 3,27 _

r_3 m nbsp;nbsp;nbsp;“~2(po-e,) “ 2 (3,27-2,67) ~ 1,2 ~

52, = 0,31721 km = — 0,346 km^

Aj, = 0,28353 km A21 = -0,905 kmL

dan wordt:

Mx= — inC (30X0,31721 2,725 X — 0,346) = = - f TT C X 8,5734 = — 43,073 C.

f TT C (30 X 0,28353 2.725 X — 0,905) = = #jtCX 6,0938 — 30,344 C.

Dit is dus de richting van den resulteerenden koppelvector. De bewegingsrichting van de korst geschiedt in een meridiaanvlak loodrecht op dezen vector. Met behulp van de teekenafspraak van dennbsp;koppelvector volgt dan, dat de bewegingsrichting van de korst overnbsp;het substratum ter plaatse van de Noordpool geschiedt in de richting

7 = 54° 50' O.L.

De bewegingsrichting van de pool over de korst verschilt ISO'^ hiermede en geschiedt dus in de richting

7 = 125° 10' W.L.

23

Dit is dus de momentane bewegingsrichting van de Noordpool tengevolge van het door de poolvluchtkracht uitgeoefende totalenbsp;moment.

Opmerking: De gevonden bewegingsrichting is practisch tegengesteld aan de door MiLANKOViTCH gevonden momentane bewegingsrichting.

Als zoodanig komt echter ons resultaat meer overeen met dat, wat men van tevoren zou aanvoelen. Bekijkt men namelijknbsp;de globe, dan doet het vreemd aan, dat de pool tengevolgenbsp;van de poolvluchtkracht zich juist naar het Europeesch-Aziatische continent zou bewegen en daar tenslotte tot rustnbsp;komen. Dat aan dit resultaat van Milankovitch getwijfeldnbsp;moet worden, is reeds opgemerkt door SCHWINNER i) ennbsp;Kirsch 2).

Bovendien stemt het door ons gevonden resultaat betrek-

R. SCHWINNER, Lehrbuch der phys. Geologie, Bd. I, pag. 239. G. Kirsch, Geomechanik, pag. 100.

24

kelijk goed overeen met de door Lambert gevonden waarde, uit de breedtevariaties (2 = 90°W.L.) terwijl ons resultaatnbsp;met de bepalingen van Wanach iets beter overeenstemt dannbsp;dat van MiLANKOViTCH met Wanach.

Dit zegt natuurlijk niet veel, daar er groote moeilijkheden zijn om uit datgene wat men op heden van de breedtevariatiesnbsp;weet, met eenige nauwkeurigheid de richting van de seculairenbsp;poolbeweging af te leiden.

§ 10. Numerieke berekening van de grootte van het moment der poolvluchtkrachten uitgedrukt in cgs.-eenheden. Formule (38) gafnbsp;M = 52,68 C, waarin de coëfficiënt in km^ is uitgedrukt daar denbsp;PREY-constanten in km, resp. km^ gegeven waren en T in km wasnbsp;uitgedrukt.

Nu is

C = 01 {gp—ga).

Pi = 2,67 g/cm^

Tg = 6370 X 10^ cm g'p = 983,221 cm/sec^nbsp;ga — 978,049 cm/sec^

9p~9a= nbsp;nbsp;nbsp;5,172 cm/sec^

Dan wordt

C ^ 2,67 X (6370 X 10’)^ X 5,172 dyne/cm.

dus

M= 2,67 X 5,172 X 637^ X lO'^ X 52,68 X 10'° dyne cm =

= 296 X 10^® dyne cm = oo 3 X 10®° dyne cm.

Wij kunnen nu tevens iets zeggen over de benoodigde energie. Neem aan, de korst draait over een kleinen hoek y (radialen) zoodatnbsp;wij kunnen aannemen, dat het moment over die draaiing constantnbsp;van grootte blijft.

Voor een rotatie over y radialen verrichten de poolvluchtkrachten dus een energie van My ergen. Draait de pool van uit zijn tegen-

25

woordigen stand over een hoek van 0,1 radiaal (= ± 5°,7) dan is daarvoor een energie noodig (geleverd door de poolvluchtkrachten)nbsp;van 3 X IQSo X 0,1 = 3 X 1029 erg.

Reeds is opgemerkt, dat door de divergentie der equipotentiaal-oppervlakken de poolvluchtkracht zijn energie verkrijgt uit de energie der aardrotatie. Wij gaan nu na of dit in verband met denbsp;grootte der energiebedragen mogelijk is.

Bij draaiing der pool over een hoek van 0,1 radiaal was noodig:

— 3 X 1029 erg, (poolvluchtkrachtenergie). De levende kracht der aardrotatie wordt gegeven door

L = V2 C «)2

waarin:

2n

86400

C := traagheidsmoment der aarde t.o.v. de rotatie-as, C ~ 0,3371 waarin M == aardmassa,

C = 8,2012 X 10^4 grammassa cm2.

dus L = 3^Cm2 — 2,16X erg.

Hieruit volgt

Dit beteekent dus: Indien de energie der poolvluchtkracht inderdaad geleverd wordt, doordat de levende kracht der aardrotatie verminderd wordt, dan is deze vermindering bij een draaiing dernbsp;pool over 0,1 rad (waarvoor misschien een tijd van enkele millioenennbsp;jaren noodig is) ongeveer één tien-millioenste van de tegenwoordige energie der aardrotatie. Die verandering zal dan een overeenkomstige vertraging der rotatiesnelheid, dus verlenging van den dagnbsp;tengevolge hebben. De grootte van die verlenging is zoodanig, datnbsp;men deze mogelijkheid gerust kan toelaten.

HOOFDSTUK III.

De poolbeweging.

§ 11. Om de poolbeweging, welke de pool tengevolge van de poolvluchtkrachten volvoert, waarvan wij in bet vorige hoofdstuk innbsp;één punt de richting bepaald hebben, nu volledig af te leiden, makennbsp;wij zoo ruim mogelijk gebruik van de theoretische beschouwingennbsp;die MilANKOVITCH in het Handbuch der Geophysik Band IX heeftnbsp;afgeleid, omdat, zooals reeds in het voorgaande bleek, er iets moetnbsp;haperen aan de door MiLANKOViTCH gevonden bewegingsrichtingnbsp;en wij op deze wijze het snelst kunnen inzien waardoor dit ontstond.

Bij de berekening zullen wij slechts op één punt van de door MilANKOVITCH gegeven berekeningen afwijken. Wij zullen hiernbsp;namelijk ook de PREY-ontwikkeling invoeren, inplaats van de 2 constanten en C2 (één voor de continenten en één voor de uit sialnbsp;bestaande oceaanbodem) ^), daar wij van meening zijn dat de resultaten hierdoor nauwkeuriger worden, hoewel wij door deze verandering aan te brengen niet moeten verwachten, het verschil vannbsp;ISO'^ in bewegingsrichting te zullen kunnen verklaren.

§ 12. Het moment d M van de op een sialelement d u werkende poolvluchtkracht werd voorgesteld door

dM = r^dP — Zo(gp — ga) sinlrp d/u . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(42)

Om dit moment vectorieel te kunnen voorstellen, leggen wij in het middelpunt der aarde den oorsprong van een rechts coördinatensysteem met de Z-as langs de tegenwoordige rotatie-as naar hetnbsp;Noorden gericht en de Y-as in het meridiaanvlak van d /*, de X-asnbsp;loodrecht op dit vlak. Het X Y-vlak is dus het equatorvlak. Noemen

wij de respectievelijke eenheidsvectoren i, j, k, dan moet, daar i loodrecht op het meridiaanvlak van d ^ staat en wij een vector moeten hebben, die volgens de schroefrichting bij de draairichting past, deze

vector d M de richting —i hebben. Dus geldt;

dM = — Zo (gp — Qa) sin Icpdfi i

Zie § 6.

27

Integreeren wij dit moment over de geheele siallaag, dan vinden wij het totale moment van de op de siallaag werkende poolvlucht-krachten.

Om deze integratie uit te voeren, handelt MiLANKOViTCH dan als volgt:

Leg door den oorsprong van het zoo juist ingevoerde assenstelsel een willekeurige as De hoek tusschen f en de voerstraal naar d /.inbsp;zij ö. Het traagheidsmoment van het element d u ten opzichte vannbsp;de l-as is, als wij de massa van d fi in het zwaartepunt geconcentreerd denken (afstand O tot zwaartepunt is r -f Zq):

(r zq)^ sin^ 6 d,u

of daar Zq {¦( r is kunnen wij hiervoor schrijven (r^ 2 Zq r) sin^ amp; dju.

Denken wij ons nu de massa van dju. gecondenseerd tot de dichtheid van het substratum, dan komt het zwaartepunt te liggennbsp;op een afstand r van het middelpunt der aarde, namelijk in hetnbsp;vroeger reeds beschouwde metacentrum en in dat geval wordt hetnbsp;traagheidsmoment van d ji ten opzichte van de f-as voorgesteldnbsp;door:

sm^ amp;dji.

Door het feit dus, dat de korst een andere dichtheid heeft dan het substratum, waardoor er tusschen het zwaartepunt en metacentrum van een sialprisma een afstand Zq ontstaat (voor elk elementnbsp;verschillend) ontstaat er dus een verandering van traagheidsmomentnbsp;van elk element d ji ten opzichte van een willekeurige f-as ten bedrage van

dü = 2zo r sin^ Qdju

Brengen wij nu ter plaatse van d ji een massa hoeveelheid

aan, dan is het traagheidsmoment daarvan, ten opzichte van de l-as juist gelijk aan (44).

Het ontstaan van het verschil (44) is dus te beschrijven door

28

het traagheidsmoment ten opzichte van de f-as te bepalen. Wij krijgen op deze wijze een „gereduceerde sialschaal” waarvan hetnbsp;traagheidsmoment van een element d ^ ten opzichte van de l-asnbsp;door (44) gegeven wordt. Daar de totale siallaag der aarde bovennbsp;de normaalellipsoïde uitsteekt, heeft dit dus tengevolge dat hetnbsp;traagheidsmoment van deze ellipsoïde ten opzichte van de l-as metnbsp;een waarde Q verandert. Deze Q is te vinden, door (44) te inte-greeren over den bol.

Volgens het voorgaande kunnen wij de grootheid Q ook vinden door de massa van de siallaag der aarde op elke plaats te ver-

2 z

menigvuldigen met den factor —? (welke factor voor elk punt der

r

aardoppervlakte een andere is) en het traagheidsmoment van de op deze wijze gereduceerde sialschaal ten opzichte van de l-as tenbsp;bepalen.

Hiermee is dan de grootheid Q, die door Milankovitch het isostatische traagheidsmoment der sialschaal genoemd is, dus bepaald.

Aan elke door het middelpunt der aarde gaande l-as komt nu een bepaalde d Q toe, dat wil zeggen, aan elk punt P der aardoppervlakte (zie fig, 4) behoort een bepaalde waarde dQ van hetnbsp;traagheidsmoment van een zich in een punt Q bevindende massanbsp;2 2

—5 d „ ten opzichte van den door P gaande voerstraal. r

Op deze wijze wordt de aardoppervlakte tot een scalairveld van de grootheid d ü.

Wij vragen nu naar de grootte van den gradiënt van dit scalaire veld ter plaatse van de tegenwoordige noordpool. Uit symmetrie-overwegingen moet deze gradiënt in het meridiaanvlak van d jx

vallen, dat beteekent, de richting —j hebben en de grootte;

(45)

90 .

Hierin moet voor r worden ingevuld de aardstraal a (1—/S) daar het hier om de plaats van de Noordpool gaat, terwijl na uitvoeringnbsp;der partieele differentiatie in het rechterlid, voor de in deze afge-

29

leide voorkomende r de uitdrukking

r — a(\ — yS siri^ lt;p)

moet worden ingevuld.

Daar (i klein is (± Vsoo) kunnen wij de termen met fi ten opzichte van de eenheid verwaarloozen, zoodat (46) overgaat in

grad dü = — 2 Zq sin 2(pd/uj.....(47)

Vermenigvuldigen wij beide leden van (47) vectorieel met k dan

krijgen wij, daar [kj] — — [y ^] = — ? is:

—gt;¦ nbsp;nbsp;nbsp;—?

[A: grad dQ] = 2QZ sin 2 9?c?/ri.....(48)

30

Wij vullen nu het rechterlid van (48) in, in de reeds gevonden uitdrukking voor dM (42). Dan gaat deze over in

dM= — ^(gp^ ga)[kQraóidü] .

Dit is dus het, tengevolge van de poolvluchtkracht op d werkende moment, ten opzichte van het middelpunt der aarde.

Deze uitdrukking geïntegreerd over de aardbol geeft dan

M— — i(gp — ga)[kl'giaddQ^ .

welke formule dan het totale op de siallaag werkende moment voorstelt.

Daar de gradiënt van een som van scalaire grootheden gelijk is aan de vectorsom van deze gradiënten en omgekeerd, kunnen wijnbsp;in (50) voor / grad dü schrijven

ƒ grad dü = grad j dü — grad ü waardoor (50) overgaat in

M = — Kgp — ga) [fc grad .....(51)

Dit moment tracht dus de sialkorst te draaien om een as, welke

vanwege den factor k in het vectorproduct, in het equatorvlak moet liggen.

§ 13. Daar deze beweging van de korst slechts langzaam kan geschieden, kunnen wij aannemen, dat de rotatiesnelheid co vannbsp;deze beweging evenredig is met het moment M, zoodat geldt

co = — y (gp — 9a) [k grad Ü]

waarin m een evenredigheidsfactor is.

Tengevolge hiervan zal elk punt der siallaag zich met een snel-

heid u = [co r] over de onderlaag bewegen, waarbij r de voerstraal naar het beschouwde punt voorstelt. Voor de noordpool kunnen

31

wij r vervangen door Tq k, dus

i; = fo [co A:]........(53)

De pool der aarde beweegt zich met de tegengestelde snelheid

V = Tq [A: co] relatief de korst. De snelheid der poolverschuiving is dus bepaald door

gp) [k grad ^3]]

Daar volgens een formule uit de vectorrekening geldt [a [hc]] ——? —?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—? —

z= b {c a) —c (a b) en in dit geval in de noordpool de vectoren —?

grad ü en k loodrecht op elkaar staan, waardoor het scalaire pro-duet (grad ü k) = 0 is, volgt hieruit:

v = nbsp;nbsp;nbsp;^ ro (gp — ga) grad Q .

of als wij ^ro(gp — ga) = n stellen

v — n grad di........(56)

De vectorvergelijking (56) is de grondvergelijking der seculaire poolbeweging. Deze vergelijking zegt dus dat de snelheid gerichtnbsp;is volgens den gradiënt van het Q~veld .Bovendien kunnen wij hiermee als de n bekend is, de grootte van de snelheid bepalen.

—?

De vector v valt dus in elk punt langs den gradiënt van het Xi-veld, dus de baan van de pool is een ,,krachtlijn” in dit veld.

Welke van de oneindig vele krachtlijnen de werkelijke baan is, wordt door de tegenwoordige Noordpool bepaald. De baan staatnbsp;loodrecht op de equipotentiaallijnen (lijnen van gelijke ü) of ooknbsp;zoo uitgedrukt:

De banen zijn de orthogonaal trajectoriën van de lijnen van gelijk traagheidsmoment.

32

Opmerking: MiLANKOViTCH vermeldt dat er van bovenstaande grondvergelijking drie afleidingen bestaan. Deze zijn

a. nbsp;nbsp;nbsp;de afleiding uit Handbuch der Geophysik Band IXnbsp;Lieferung 3, welke hier is weergegeven,

b. nbsp;nbsp;nbsp;de afleiding uit id. Bd I, Abschnitt VII,

c. nbsp;nbsp;nbsp;een afleiding met behulp van de dynamische vergelijkingen van de rotatie t).

§ 14. Wij gaan nu over tot de berekening van den analytischen vorm van het in de vorige paragrafen gedefinieerde ü-ve\A. Wijnbsp;zullen hierbij dus in zooverre van de berekeningen van MiLANKOViTCH afwijken, dat wij ook hier de PREY-ontwikkeling naar bol-functies invoeren in onze berekeningen. In deze ontwikkeling bezitten wij namelijk een wiskundige voorstelling van de sialbedekkingnbsp;der aarde, met behulp waarvan wij het f2-veld zullen kunnen berekenen.

Wij maken gebruik van het reeds vroeger ingevoerde coördinatensysteem met den oorsprong in het middelpunt der aarde en het X y-vlak als equatorvlak. De X-as ligt in den nulmeridiaan, de Y-asnbsp;90° Oost, de Z-as is gericht naar de Noordpool.

Stel de geocentrische breedte van een punt (p, de geografische lengte l en Tq de gemiddelde lengte van den aardstraal.

Tusschen de poolcoördinaten en de rechthoekige coördinaten bestaan de betrekkingen:

x= Vq cos 9? cos 2 y —Cq cos cp sin 2 'nbsp;z = tq sin cp

Op zeker punt der aardoppervlakte met coördinaten (cq, lt;p, 2) of (x, y, z) brengen wij een sialprisma aan, waarvan de massa isnbsp;voor te stellen door

d pLr=Q^ D rl cos lt;p dep dX.

BiLIMOVITCH. Zum Mechanismus der Polverlagerungen. Publ. mathémati-ques de I’llniversite de Belgrade, Tome II 1934.

dAz = yx ^ dfA ‘‘o

Gaan wij met behulp van (57) op poolcoördinaten over dan krijgen wij als wij de uitdrukking 2 Qi Dzq = c stellen, denbsp;volgende formules:

dix = c (cos^ 97 sin^ l -j- sin^ (p cos A) d(p dl dly = c {sin^ (p cos (p -)- cos^ cp cos^ A) d(p dlnbsp;diz = c cos’ (p dtp dl

dAx — c sin rp cos^ lt;p sin Idq) dl\ dAy — c sin tp cos^ 9? cos A lt;^9; dA gt; .nbsp;dAz = c cos’ 99 sin l cos A dy^ dl. j

34

Integreeren wij deze grootheden over de geheele sialbedekking, dan stellen de uitkomsten voor de traagheids- en deviatiemomentennbsp;van de siallaag ten opzichte van de assen van het gekozen coördinatenstelsel. De waarde ü van het traagheidsmoment ten opzichtenbsp;van een willekeurige as die respectievelijk de hoeken a, (i tn y metnbsp;de X y en Z-as insluit, kunnen wij vinden door te bedenken dat

= lx cos^ a -j- ly cos^ ^ Iz cos^ y — 2Ax cos fi cos y -— 2 Ay cos y cos a — 2 A;^ cos « cos /S.

Daar nbsp;nbsp;nbsp;x =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rgnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a

y = nbsp;nbsp;nbsp;Cqnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ji

z = nbsp;nbsp;nbsp;Tqnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wijnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;formulenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(57)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;verbandnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hebben

tusschen x, y, nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i/;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|-as,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;kunnen wijnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;schrijven

cos a --cos jS : cos y -

Deze waarden gesubstitueerd in (60) geeft dan

= lx cos^ cp cos^ 7 /j, cos^ (p sin^ Iz sin^ (f — — Ax sin 2 lt;p sin X — Ay sin 2 lt;p cos X — Az cos^ lt;p sin 2 X

Hiermee is dan het f3-veld bekend, daar wij in elk punt de ü kunnen berekenen. In de volgende berekeningen is, zooals reeds isnbsp;aangegeven, steeds de rg gebruikt inplaats van de r. Gemakkelijknbsp;is in te zien (dit volgt uit r = Tq (1—f) sin^ cp) dat de fouten dienbsp;hierdoor ontstaan kleiner dan 1 % zijn).

§ 15. De bovengenoemde integraties van de uitdrukkingen (58a) en (59a) worden nu door MiLANKOViTCH als volgt uitgevoerd:

De continenten worden van hun uitsteeksels en inzinkingen ontdaan door deze als het ware vlak te strijken, waardoor hun contouren geheel anders worden dan in werkelijkheid. De continenten krijgen dan een uniforme dikte Dj en een dichtheid

De dikten der oceaanbodems worden ook constant aangenomen (D2) terwijl hiervoor een andere dichtheid Q2 gebruikt wordt.

35

Inplaats van de eene waarde c, welke niet constant is, krijgt Milankovitch nu twee waarden

c, =2e, D, Zoi Tg (voor de continenten)

C2 = 2 P2-02 Zo2 ^0(de oceaanbodems)

welke beide wèl constanten zijn daar D^, 2oi- ^2 Zo2 alle constant zijn. Verder laat Milankovitch zien dat men de verschillende deelen der aarde antipodisch verplaatsen mag. Door zoo te handelennbsp;worden de integralen nu alleen afhankelijk van de integratiegrenzennbsp;en deze worden bij MILANKOVITCH uiteindelijk bepaald door denbsp;contouren der vlakgestreken continenten. Deze wijze van berekenennbsp;is een betrekkelijk ruwe benadering en zal dus niet tot een zuiverenbsp;uitkomst kunnen voeren. Door gebruik te maken van de Prey-ontwikkelingen kunnen wij de geheele vervorming der continentennbsp;achterwege laten; weliswaar krijgen wij nu veel integraties uit tenbsp;voeren, maar de wijze van berekenen is beter en uit wiskundignbsp;oogpunt eleganter en in principe eenvoudiger.

§ 16. Nu kunnen wij overgaan tot de numerieke berekening van de traagheids- en deviatiemomenten van de siallaag tennbsp;opzichte van de X, Y en Z~as. Reeds is vermeld dat de factornbsp;c = 2 Q] Dzq niet constant is, daar D en zq afhankelijk zijn vannbsp;de hoogte der topografie.

1

(63)

Nu kunnen wij den factor bij de integraties niet weglaten,

daar de goniometrische vormen geen bolfuncties zijn. Wij zullen dus alle voorkomende integralen berekenen, hoewel wij kunnen vermoeden dat er wel onder zullen zijn, die nul opleveren.

Vullen wij in de uitdrukking voor c nu voor h en de Prey-ontwikkelingen in, welke in hoofdstuk II reeds uitvoerig vermeld zijn. Tevens zijn daar de te gebruiken constanten opgesomd.

In de berekeningen worden de integraties over de termen der

36

h reeks dezelfde als die over de termen der h- reeks, alleen met andere PREY-coëfficiënten.

Berekeningen:i)

Voor dlxis te schrijven:

c' (cos^ (p sin^ A sin^ lt;p cos (p) d(p dl

-h cquot; (cos^ 99 sin^ l sin^ (p cos cp) h dqgt; dl

c'quot; (cos^ 99 sird l -j- sir? 99 cos 99) dep dl.

H ierin is zooals gemakkelijk is na te gaan:

De eerste term in de uitdrukking geeft aanleiding tot de volgende integralen:

/ cos^ (p dqp f sird l dl = Jtj cos^ qgt; dqgt;—*^n I sird lt;p cos ep dep f dl = 27i j sin^ep cos ep dep — ^ n.

De tweede en derde term geven elk aanleiding tot 20 integralen. Er zijn n.1. 9 PREY-constanten in elke ontwikkeling (tot en met denbsp;tweede orde) waarvan er één A20 (en ^20 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweeterm

vermenigvuldigd wordt. Dit geeft dus 10 termen, die elk met den uit twee termen bestaanden goniometrischen vorm in de uitdrukkingnbsp;voor d lx vermenigvuldigd moeten worden.

Wij geven hier alleen de uitwerking van de integralen van de /z2 reeks, daar die voor de h reeks hieraan gelijk worden (alleen denbsp;PREY-coëfficiënten worden van ' voorzien).

^) Alle in dit hoofdstuk voorkomende integralen hebben tot integratiegrenzen:

-^ ^ ^ ^ quot;fquot; -quot;T

- nbsp;nbsp;nbsp;^ ^ lt; -3 7T..

37

I Aqo cos^lt;p drp j sird ldl = 7i Aqq j cos^93 d99 — 7t Aco-I Ago sin^lt;p cos(p dcp j d^ = 2n j sin^ qp cos lt;p d(p = ^ Ji Aqq.

/ A,0 cos^ (p sin qgt; d(p j sin'^ ldl = n Ajo j cos^ (p sin (p d(p = 0 **)

J Aio sin^fp coscp dtp j dl=^2n A\o I sin^tp costp dtp = 0 **)

I All co5^99 dtp ƒ sin^A cos2d2 = 0 *)

I An sin^tp cos^tp dtp j cos2 d2~0*)

I Bii cos'*99 dtp f sin^k dk = 0*)

I Bi I sin^tp cos^ 'P dqp j sin kdk = 0*)

I :j A20 sin'^ tp cos^tp dtp j sin^kdX = f n A20 J sin^tp cos^tp dtp =

= IJIA20 X i ƒ cos^ lt;pdtp = ^jzA20 I f A20 sin^tp cosq^ dtp I dk = 3n A20 ƒ sin^tp costp dfp = fn A20nbsp;I — '2 -^20 cos^tp dtp j sin^k dl = — ^ 21A20 j cos^tp dtp — — jr A20nbsp;/ — Y A20 sin^tp costp dtp I dk.= — n A20 isin^tp costp dtp = — -|2rA2onbsp;J 3 A21 sin^tp cos^tp dtp j cos kdk — 0 *)

/ 3 A2! cos'* tp sin cp dtp j sin^ k cos kdk — 0*)

I 3 B21 cos'* cp sin ip dtp I sin^ kdk = 0*)

I 3B21 sin^ tp cos^ tp dtp j sink dk = 0*)

J 3 A22 cos^tp dtp I cos 2k sin^ A dl = — f A22,/ cos^tp dtp =

i^A22XH=-i^A22

I 3 A22 sin^tp cos^ tp dtp I cos 21 dA ~ 0 *)

/ 3B22 cos^tp dtp j sin 2k sin^ k dk — 0 *)

/ 3B22 sin^tp cos^tp dtp j sin 2k dk = 0*)

Op soortgelijke wijze vinden wij:

dly = c' (sin^tp cos tp -f- cos^ tp cos^k) dtp dk-\- c” (sin^ tp cos tp -j- cos^ tp cos^ k) h dqt) dk X c'quot; (sin^ tp cos tp cos^ tp cos^ k)h} dtp dk

met als integralen voor den eersten term

/ sin^ cp cos cp dtp I dk = 2ji j sin^ tp cos p dp = ^ Jt 1' cos’ P dp j cos^ kdk = nf cos’p dp — j^n.

Beide andere termen geven weer (alleen voor den derden term neergeschreven)

38

/ Aoo sin}(p coslt;p drp j d^ = 2n A^oj sirdcp coslt;p d(p=-^n Aqo I ^00 cos^lt;P dq) j cos^ ldl = n Aqo ƒ cos^ (p dqgt; — f^n Aqonbsp;y A|o sin^lt;p cosfp dqgt; f dl — ljiAi^jsin^cp costp dq^ = 0**)

I Aio cos^(p sin (p dep f cos^l dl = nAxQ j cos^ep sin (p dep = O**)

I All sin^(p cos^ep d(p jcosXdX = 0*)

/All cos'* lt;p dqgt; j cos^ AdX = 0*)

I Bi 1 sin^cp cos^ lt;P dp j sin ldX = 0*) ƒ Bil cos''^^ dep ƒ cos^l sin XdX = 0*)

11- A20 sin'^p cosep dep f dX — 3nA2Qj sin'^ep nbsp;nbsp;nbsp;cos ep depnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;77 A20

I I A20 cos^ ep sin^ epdep f cos^ XdX = | ji nbsp;nbsp;nbsp;A20nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ƒ cos^ epnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;sin^ epdep =

= I 77 A20 X = I 77 Ajo ./ — i A20 sin^ ep cos epdep j dX — — n A20 j sin^ ep cos epdep — — 71 Ajonbsp;I — j A20 cos^ epdep j cos^ XdX — — ^ 77 A20 ƒ cos^ epdep —— ^^nA2tinbsp;/ 3 A21 sin^ ep cos^ epdep j cos XdX — Q*)nbsp;j 3 A21 cos^ ep sin epdep ƒ cos^ XdX = Q*)

I 3 B21 sin^ ep cos^ pdep I sin XdX = 0*)

I 3 B21 cos'* ep sin epdp f cos^ X sin XdX = 0*)

I 3 A22 cos^ ep sin^ epdep / cos 2 XdX=iO*)

I 3 A22 cos^ epdep f cos 2 X cos^ XdX = f ji A22 f cos^ epdep = f 71 A22 J 3 B22 cos^ ep sin^ (pdep j sin 2 XdX = 0*)

I 3 B22 cos^ epdep j sin 2 X cos^ XdX — 0*)

Evenzoo kunnen wij voor d schrijven:

dlz — c' cos^ epdepdX -\-cquot; cos^ phdepdX-\~cquot; cos^ p depdX. De eerste term geeft als integraal:

ƒ cos^ pdp ƒ dX — 2nj cos^ 99 cf 99 = |- 77.

39

Beide andere termen geven elk aanleiding tot 10 integralen waarvan die voor den derden term worden:

Aqo cos^ lt;pdqgt; j dX = 2n Aqq! cos^ (p dtp = f Aqo

Aio V fdcp j dl—2nAjQj cos^ lt;p sin (pdlt;p — 0**)

A11 cos'* (pdtp j cos ldX = 0*)

Bi 1 cos^ (pdqo f sin XdX = 0*)

|- A20 sin^ 95 cos^ lt;pd(p f dl — 3ji A20 ƒ sin^ (p cos^lt;pd(p —

= A X 3 71A20 = f A20

/ — i A20 cos^ 'pd(p j dl — — n: A20J cos^ q}dlt;p = — f7rA2o / 3 A21 cos* lt;p sin (pd(p j cos A c? A = 0 *)

I 3 B21 cos* (p sin (pdlt;p j sin Idl — 0 *) ƒ3 A22 cos^ (pdqp f cos 2 AcfA = 0 *)

/ 3 B22 cos^ (p d (p'j sin2 ld 1 = 0*)

Ook de dAx. dAyCn dAz bunnen wij op soortgelijke wijze in drietermen opschrijven. De eerste term geeft dan bij elk van dienbsp;vormen aanleiding tot één integraal. Beide andere termen leverennbsp;elk 10 integralen, waarvan wij steeds alleen die voor den derdennbsp;term vermelden.

Als integralen bij dAx krijgen wij dan:

cos^ (p sin (p dqgt; j sin ldl = 0*)

Aqo cos^ lt;p sin (p dep j sin ldl = 0*)

Aio cos^ qgt; sin^ (p dlt;p f sin ldl = 0*)

All cos^ lt;p sin lt;p dep j sin l cos A d A = 0 *)

Bil lt;p sin ep d(p j sin^ ldl = nBii j cos* 95 sin q) dep = 0**) I A20 sin^ lt;p cos^ (p dep j sin ldl = 0*)

—ƒ A20 sin ep cos^ ep dep j sin ldl = 0 *)

3 A21 sin^ ep cos* ep dep I sin I cos ld 1 = 0*)

3 B21 sin^ ep cos* ep dep j sin^ ldl='in B21 ƒ sin^ ep cos* ep dep = = 3 71B21 X ^ / cos* ep dep = ^ 71B21

3 A22 sin ep cos* ep dep j cos 2 A sin l dl = 0*)

3 B22 sin ep cos* ep dep j sin 2 I sin ld 1 = 0*)

40

Als integralen bij dAy krijgen wij dan:

I cos^ (p sin lt;p d(p j cos A d A = 0 ¹)

/ Aqo cos^ 99 sin (p dep J cos A d A = 0 ¹) ƒ Aio ep sin^ lt;P dep f cos A d A = 0 ¹)

ƒ All cos^ ep sin ep dep j cos^ ld)i = n A^j cos^ ep sin ep dep = 0²)

/ 5i 1 cos^ ep sin qgt; dep f sin A cos A d A = 0 ¹) ƒ I -^20nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;99 cos^ ep dep j cos ldk = Q¹)

I — i A20 sin ep cos^ ep dep j cos A d A = 0 ¹)

j 3 A21 sin^ ep cos^ ep dep ƒ cos^ AdA = 32T A21 j sin^ ep cos^ epdep=^^n A21 ƒ 3 ^21 sin^ ep cos^ ep dep j sin A cos A dA = 0 ¹)nbsp;j 3 A22 sin ep cos'¹ ep dep j cos 2 A cos A dA = 0 ¹)nbsp;j 3 ^22 Sin ep cos'¹ epdep j sin 2 A cos A d A = 0

Als integralen bij d Az krijgen wij dan:

j cos^ ep dep j sin A cos A dA = 0 ¹) ƒ Aqo cos^ ep dep jsin A cos A dA = 0 ¹)nbsp;j Aio sin 99 cos^ ep dep j sin A cos A dA = 0 ¹)nbsp;ƒ Al 1 cos'¹ ep dep j cos^ A sin A d A = 0 ¹)nbsp;ƒ 5i 1 cos'¹ ep dep J cos A sin^ A d A = 0¹)nbsp;ƒ f A20 sin^ ep cos^ epdep j sin A cos ldk = 0¹)nbsp;ƒ —4- A20 cos^ ep dep j sin A cos A dA = 0 ¹)nbsp;ƒ 3 A21 cos^ ep sin ep dep I cos^ A sin A dA = 0 ¹)nbsp;ƒ 3 B21 cos'¹ ep sin ep dep ƒ cos A sin^ A dA 0 ¹)nbsp;j 3 A22 cos^ ep dep f COS 2 A sin A cos A d A =: 0 ¹)

j 3 B22 cos^epdepjsin22sinkcosldl—3jB22Cos^epdep.\jsin'^2kdl=

=: f TT ^22 ./ cos^ epdep — ^n B22-

Hiermee zijn alle integraties van de traagheids- en deviatie-momenten uitgevoerd.

Wij gaan nu de uitkomsten van deze integraties invullen in de formules voor I^vz en A.

1

beteekent dat de betreffende integraal nul wordt door de integratie naar l.

2

beteekent dat de betreffende integraal nul wordt door de integratie naar rp.

41

§ 17. Substitueeren wij de uitkomsten van de vorige paragraaf in de formules voor de geïntegreerde linkerleden, dan krijgen wij:

4 = 2p, nbsp;nbsp;nbsp; r(ï2rAM —T5^^2o) a(t2rAoo —A2rA2o)]

= r^[TXf 2rBii nbsp;nbsp;nbsp;821]

A;, = 2 p, [r X i 21 A21 a X f ^ A21]

Az = 2pi r^CrXf 2r522 aXf 2rB22]-

Vullen wij in het bovenstaande in, de waarden der PREY-con-stanten uit het tweede hoofdstuk en voor T = 30 km en a =: 2,725 dan komen wij tot de volgende resultaten (eerst overal 71 buiten []nbsp;gehaald)

Om de waarden hiervan in cgs-eenheden te kunnen uitdrukken, merken wij op dat alle cijferfactoren in km2 zijn opgegeven (immersnbsp;T in km en de PREY-coëfficiënten resp. in km en km^) en dusnbsp;met 101** vermenigvuldigd moeten worden om in cm^ te zijn uitgedrukt.

De factor 2 21 wordt na substitutie van Qy r= 267 g/cm^ en Tq — 6370 X 165 cm gelijk aan 4,334 X 16^^ grammassa.

Hieruit volgen dan, voor de Ixyz en yixyz, de volgende waarden uitgedrukt in gcm2:

42

Hiermee kennen wij dus de isostatische traagheids- en deviatie-momenten van de sialschaal ten opzichte van 3 onderling loodrechte assen en daarmede is in verband met (60a) het Q-ve\d bekend.

§ 18. Wij gaan nu na de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de traagheidspolen (de snijpunten van de hoofdtraagheidsassennbsp;met den aardbol). De coördinaten der polen laten zich als volgtnbsp;gemakkelijk bepalen:

De scalaire waarde ü bereikt in de traagheidspolen zijn extreme waarden, dus de coördinaten ?. en (p van die polen moeten voldoennbsp;aan de vergelijkingen

ddJ_ nbsp;nbsp;nbsp;ddJ_- nbsp;nbsp;nbsp;//TC t,\

ay - quot; dï = quot;......

Substitueeren wij (60a) in (65a, b) dan krijgen wij uit (65a):

= 0 = — lx sin 2 qp cos^ 2 — ly sin 2 sin^ l Iz sin 2lt;p —

— 2 Ax cos 2 cp sin A — 2 Ay cos 2 lt;p cos A -j- 2 /l^ sin 2(p sin 2A.

of

sin 2 lt;jgt; [—lx cos^ A — ly sin^ A -|- /z ^Iz sin 2 A] 2 cos 2 (p {Ax sin A -j- cos A]

waaruit volgt:

2 Ax sin X d- 2 Ay cos A

-lx cos^ A — ly sin^ X -f- Iz Az sin 2 X' en uit (65b)

^ = 0 = — lx sin 2 X cos^ lt;p ly sin 2 X cos^ cp — Ax cos X sin 2 (p -f- ^ly sin X sin 2q: — 2 Az cos 2 X cos^ (p.

of

cos (p\_—lx sin 2X ly sin 2 A — 2Az cos 2 A] =

= sin lt;p [2 Ax cos X — 2 zlj, sin A]

of

, nbsp;nbsp;nbsp;(Ix—Iy) sin 2 A 2 /tz cos 2 A

=.....AxcosX TA;^ba- ¦ nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•

43

Wij vullen nu de waarden vooi Ix^y^z en Ax,y,z in (laten echter overal de constante 2 71 Qy weg, daar wij alle termen door diennbsp;factor kunnen deelen).

Dan blijven over de beide vergelijkingen:

13,72 sm A 9,66 cos 2

ISOcos^A— 136,75 sin^ I 129,6 — 0,69 sin 21

_ nbsp;nbsp;nbsp;13,72 sin A 9,66 cos 2

7,15- 13,25cos2A-^69 sm2A

De coördinaten lt;f en 2 die aan deze beide vergelijkingen voldoen zijn de coördinaten der traagheidspolen.

De vergelijkingen 68 en 69 kan men het beste grafisch oplossen. Men kiest voor 2 waarden van —180° tot 180° telkens om de 10°nbsp;en rekent de bijbehoorende qj uit, uit beide vergelijkingen. (Doordatnbsp;(68) en (69) periodieke functies zijn kan men eventueel volstaannbsp;met de waarden voor 2 uit het gebied 0^2^ 180°.)

In tabel I (zie pag. 46) zijn verschillende punten van de kromme vermeld waarna deze waarden in figuur 5 (zie pag. 45) grafischnbsp;zijn uitgezet. De snijpunten der krommen bepalen nu de 99 en 2 vannbsp;de gezochte traagheidspolen. De getrokken lijn stelt (69), denbsp;streepjeslijn (68) voor.

Zooals te verwachten was krijgen wij 6 traagheidspolen, die op den bol twee aan twee diametraal tegenover elkaar liggen. Drienbsp;dezer polen liggen op het Noordelijk Halfrond, de andere drie opnbsp;het Zuidelijk Halfrond.

Vinden wij het aflezen der coördinaten uit figuur 5 niet nauwkeurig genoeg, dan kunnen wij door analytische berekening in de buurt van de gevonden oplossingen, preciesere waarden vinden uitnbsp;(68) en (69).

Wij moeten echter wel bedenken dat het niet noodzakelijk is de coördinaten der traagheidspolen tot op minuten en secunden nauwkeurig te berekenen. In het voorgaande zijn namelijk verschillendenbsp;onderstellingen gemaakt, die elk voor zich aanleiding tot foutennbsp;geven. Wij hebben ons beperkt tot een nauwkeurigheid vannbsp;0,1 graad.

44

Voor de traagheidspolen vinden wij dan de volgende coördinaten (opgegeven tot in tiende graden nauwkeurig, de graden afgelezennbsp;uit figuur 5, de onderdeelen berekend met (68) en (69)):

= 59° 2 } /i, = 72°.7 \

cp^ = 26° o I

I2—- 72°,4 lt;1

Zuidelijke Ijszee.

ten W. van Australië.

9°,9 ^

Deze drie liggen op het Zuidelijk Halfrond.

Positieve 93 beteekent n.1. Noordelijk Halfrond. Positieve 7 beteekent Ooster lengte.

Bovengenoemde 6 polen verdeelen de aardoppervlakte in acht congruente rechthoekige gelijkzijdige boldriehoeken. De baan dernbsp;Noordpool zal gelegen moeten zijn in dien driehoek die de eerstgenoemde drie polen tot hoekpunten heeft, omdat daarin de tegenwoordige Noordpool ligt en uit de eigenschappen van het -Q-veldnbsp;volgt dat de baan niet één der zijden van die driehoeken kannbsp;snijden. Nu valt nog na te gaan hoe deze baan precies verloopt.nbsp;Wel hebben wij hier evenals MiLANKOViTCH het resultaat, dat denbsp;pool zich over een afstand van hoogstens 90 booggraden kan verplaatsen.

46

Opmerking: 1. Met behulp van den cosinusregel uit de boldriehoeksmeting;

cos a = cos b cos csin b sin ccos A, . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(71)

waarin a, b, c zijden en A, B, C hoeken voorstellen, kunnen wij controleeren of de drie gevonden traagheidspolennbsp;(P2^^2’’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;inderdaad grootcirkelbogen van 90° onderspan

nen.

Wij noemen pool '¦ Z' evenzoo 952^2 • nbsp;nbsp;nbsp;'¦ Z'.

en vormen drie boldriehoeken (zie figuur 6)

Ie A P X'Y' (P is de noordpool)

2e APY' Z'

3e APZ'X'

en passen daarop formule (71) toe. Nemen wij aan, dat de toepassing de juiste uitkomst geeft, namelijk dat a (résp.nbsp;X'Y', Y'Z' of Z'X') inderdaad 90° is, dan moet dusnbsp;cos a — 0 zijn.

47

Wij moeten dus nagaan of

cos a — 0 = cos b cos c sin b sin c cos A ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Itgbtgc cos A\ = 1

en dit voor elk der drie hoeken.

Voor APX'Y' geldt nu

b = 64°.0 1

c = 74°,8 / ] fg h c cos A I = 1,011 A = 97°,7 )

Voor A P Y'Z' geldt nu

b — 64°,0 1

c = 30°,8 gt; I tg 6 lt;g ccos A I = 1,022 A = 145°,I )

Voor APZ'Y' geldt nu

b = 30°,8 1

c =: 74°,8 / i fg amp; tg c cos A I = 1,003. A r= 117°,2 )

48

Op grond van deze uitkomsten kunnen wij zeggen, dat de traagheidspolen inderdaad bogen van 90° onderspannen.

§ 19. Leggen wij nu door de gevonden traagheidspolen de traagheidsassen, die wij als X' Y’ en Z'-as zullen aanduiden (denbsp;X'-as naar lt;593 ^3, de Z'-as naar (po (-2 en de Z'-as naar cp^ )nbsp;dan kunnen wij nu de waarden der hoofdtraagheidsmomenten berekenen, door in (60a) in te vullen de coördinaten van de traagheidspolen.

Als resultaat vinden wij dan

= 124,9 nbsp;nbsp;nbsp;5,4 XlO^grcm^ j

= 139,9 X 29rer5 = 6,06X 10^9 grcm^

= 151,4 X2.’i!?r’= 6,56X1039 gr cmL )

§ 20. In het X' Y' Z'-stelsel kunnen wij ook coördinaten ;p en T invoeren die respectievelijk breedte en lengte voorstellen in datnbsp;stelsel (toelichting pag. 66 en figuur 6). Eerst willen wij bepalennbsp;de coördinaten van de tegenwoordige Noordpool op dit X' Y' Z'-stelsel.

In figuur 6 is

De tegenwoordige rotatie-as sluit met de X' Y' Z'-as respectievelijk hoeken in van (90°—(pz), (90°—(po) en (90°—99^^) dus de rechthoekige coördinaten van de pool ten opzichte van het X' Y' Z'-stelsel zijn:

X' = rosin(Pi 'j Y' = ro sin (p2 rnbsp;Z' = Tq sin 99,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

(73)

49

Stel de bolcoördinaten der pool in het X' Y' Z'-stelsel zijn cpo en Wq, dan geldt ook

X= tg cos lt;pQ cos

y = ro cos Cpo sin Ïq

(76)

sin 15°,2 nbsp;nbsp;nbsp;’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

of Wg = 59° 2. nbsp;nbsp;nbsp;)

De coördinaten der tegenwoordige noordpool in het X' Y' Z'~ stelsel opgegeven, zijn dus Cpg = ï'o — 59°,2.

Hier hebben wij tevens gelegenheid de resultaten aan te passen bij die van hoofdstuk II en III.

Gaan wij namelijk uit van lx', ly, h' als hoofdtraagheids-momenten en bepalen dan Ij^/p met de formule:

Inp — lx' cos^ cpg cos^ 'Pg ly' cos^ Cpg sin^ Pg fz' sin^ Cpg

(de deviatiemomenten t.o.v. de X' Y' en Z'~as zijn nul).

Vullen wij de waarden uit (72), (76) en (77) in dan volgt

/jvp = 151.4 cos^ 59°.2 139,9 cos^ 59°,2 sin^ 59°,2 124,9 sin^ 59°,2 = 129,6 (X 271^1 r^) = /z.

Dit is het resultaat van § 17.

§ 20. Berekenen wij tenslotte nog grad ü ter plaatse van de tegenwoordige Noordpool teneinde te zien of dit resultaat overeenstemt met de gevonden waarde voor de bewegingsrichting innbsp;hoofdstuk II.

(78)

50

Wij handelen als volgt;

= — lx' sin 2 0 cos^ W— ly sin 2 0 sin^ T /z- sin 2 0 wat na invulling der waarden uit (72), (76) en (77) oplevert:

rod0

gericht volgens afnemende 0 (in fig. 6 aangeduid met ütp).

_sin 2 Wcos 0 nbsp;nbsp;nbsp;j ^

r,cos0W-

hetgeen na invulling van (72), (76) en (77) overgaat in:

—5,19X2.... (79)

rocos0èw nbsp;nbsp;nbsp;'^‘0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

dus deze component is gericht volgens afnemende W (in fig. 6 aangeduid met Q^),

Hieruit volgt al direct, dat de pool zijn baan moet doorloopen van Z' naar X' toe.

grad Q = — 15,53 X 2 n: g, .....(80)

en dit geeft daar M = —(gp—g^) grad Q is, na invulling van alle waarden M 2,9 X dyne cm (stemt overeen met denbsp;waarde van § 10).

Was de konstante n uit formule (56) bekend, dan konden wij de grootte van de snelheid bepalen.

Voor de richting der poolbeweging in het {0,W) stelsel volgt:

5,19 14,64

Dit is de hoek tusschen grad ü en de grootcirkelboog door Z' en N.

Boltrigonometrisch kunnen wij nu uit den rechthoekigen boldrie-hoek G P Y' van figuur 6 den hoek G P Y' berekenen met den sinusregel

sin ZGPY' _ sin ^PGY' sin bg G Y' sin bg P Y'

sin ZGPY' _ sin 90° sin (90—59,2) sin 64°

51

waaruit volgt /^G P Y' — 34°,4. De hoek tusschen grad Q en de X-as (de lijn PX uit figuur 6) is nu gelijk aan

ZXPY' ZY' PG ZGP (grad Q) =

72°A 34° 4 19° 5 = 126 °3.

Vergelijken wij deze waarde met de uitkomst van § 9 dan is er dus een afwijking van slechts 1°.

Wij hebben hier dus op een tweede manier de richting der pool-beweging berekend.

HOOFDSTUK IV.

Discussie van het artikel van Mii.ankovitch.

§ 21. Voor wij nader ingaan op de bepaling van de poolbaan, willen wij hier nogmaals opmerken, dat er op twee punten eennbsp;afwijking bestaat tusschen de berekeningen van Milankovitch ennbsp;die van ons.

Ie. De gevonden traagheidspolen liggen anders (de verschillen beloopen afstanden van ± 10 booggraden zoowel in lengte als innbsp;breedte). Dit moet toegeschreven worden aan het reeds eerder vermelde feit, dat Milankovitch de topografie der aarde in zijnnbsp;berekeningen zéér gewijzigd meeneemt, terwijl wij gebruik gemaaktnbsp;hebben van de PREY-ontwikkeling naar bolfuncties, zoodat wij doornbsp;toepassing daarvan betere resultaten kunnen verwachten.

2e. De door Milankovitch gevonden richting der poolbeweging is van de door hem bepaalde traagheidspool bij Hawaï naar de doornbsp;hem bepaalde traagheidspool bij Petsjora. Wij hebben een bewegingnbsp;gevonden, juist in tegenovergestelden zin. Dat de richting bijnbsp;Milankovitch verkeerd moet zijn blijkt direct bij een blik op denbsp;globe. Het eindpunt der poolbaan kan onmogelijk in Siberië liggen,nbsp;daar in dit geval de pool juist in het grootste continent ligt, terwijlnbsp;dit continent ten gevolge van de poolvluchtkracht naar den equatornbsp;toe gedreven zou worden. Op deze wijze kan de toestand nietnbsp;stabiel zijn.

Het eindpunt van de poolbaan in den Stillen Oceaan lijkt veel juister, daar dan de continenten meerendeels gegroepeerd liggen omnbsp;een equator die bij die pool behoort. Op deze onjuistheid van hetnbsp;resultaat van MILANKOVITCH is reeds door sommige schrijvers gewezen (noot bij pag. 23).

Gaan wij nader erop in, hoe MILANKOVITCH tot zijn resultaat komt, dan blijkt, dat bij hem de grootste traagheidsas (dus met hetnbsp;kleinste moment) naar Hawaï gericht is en de kleinste traagheidsasnbsp;(dus met het grootste moment) naar Petsjora. Dit resultaat is tegengesteld aan dat van ons. Het bleek nu, dat Milankovitch tot zijn

53

resultaat gekomen is door op één punt in zijn mathematische afleidingen een geologisch argument te berde te brengen, waaruit tenslotte conclusies volgen, welke volkomen in strijd blijken te zijn, met onderstellingen en resultaten op andere gebieden der geophysica.nbsp;Het is daarom noodzakelijk, dit punt nader te beschouwen.

§ 22. Op bladzijde 629 van het ,,Handbuch der Geophysik”, Band IX, schrijft MlLANKOVlTCH aldus:

,,Wie tief die Kontinentalschollen, und auch der sialische, besser gesagt der als fest zu betrachtende Boden der Ozeane in ihrenbsp;fluidale Unterlage eingebettet sind, kann nicht mit Sicherheit ange-geben werden. Diesbezüglich sind wir zu vorlaufigen Annahmennbsp;gezwungen, von welchen wir uns in der Folge grosztenteils frei-machen werden.

Wir nehmen vor allem an, dass die Kontinentalschollen überall dieselbe Dichte Pi und überall dieselbe Machtigkeit D-^ besitzen,nbsp;desgleichen soil der als fest zu betrachtende Boden der Ozeanenbsp;überall dieselbe Dichte Q2 und dieselbe Machtigkeit D2 aufweisen.nbsp;Danach kann die Sialdecke der Erde in zwei Teile zergliedertnbsp;gedacht werden, in die Kontinentalbelegung, für welche c ist

Cl = 2oi Dl zoi rl

zu setzen ist und in die Ozeandecke, für welche c ist C2 = 2 Qo D2 Z02 tl

zu setzen ist, wobei zqi und Z02 gegeben sind durch

Cl und C2 sind also zwei verschiedene konstante Gröszen.”

Opmerkingen: 1. Deze Ci en C2 komen bij MlLANKOVlTCH voor, zooals reeds is vermeld, bij de berekening der traag-heidsmomenten, waarbij wij de PREY-ontwikkeling hebbennbsp;gebruikt. De in die traagheidsmomenten optredende factor cnbsp;is een functie van 99 en l en bij onze berekening een continuenbsp;functie van die grootheden. Bij MlLANKOVlTCH is c weliswaarnbsp;een functie van qgt; en 2, die echter op de continenten steedsnbsp;de waarde C], op de oceanen de waarde C2 heeft.

54

2. Met de gemaakte aannamen toont MiLANKOViTCH aan, dat de ligging van de traagheidspolen alleen bepaald wordtnbsp;door de contouren der ,,vlakgestreken” continenten terwijlnbsp;de grootte der momenten — en dat is het belangrijkste —nbsp;van de verhouding van tot C2 afhangen.

Nadat Milankovitch de ligging der traagheidspolen heeft afgeleid en vermeld heeft, dat de baan der pool moet verloopen tusschen de traagheidspool bij Hawaï en die bij Petsjora, omdatnbsp;onafhankelijk van de verhouding van Ci en C2 de middelste traagheidspool in de buurt van de Bahama-eilanden moet liggen, bepaaltnbsp;hij de richting waarin de pool langs die baan moet loopen, of ooknbsp;gezegd, waar de grootste traagheidspool zich moet bevinden doornbsp;de volgende redeneering (bladzijde 681, Band IX):

,,Die Ergebnisse der geologischen Forschung sprechen unzwei-deutig dafür, dasz sich der Nordpol von Hawaï gegen Siberien hat bewegen müssen, weshalb C2gt;Ci zu setzen ist.”

Opmerking: Is namelijk op de een of andere wijze — hier, door in een wiskundige afleiding het geologische resultaatnbsp;in te voeren, dat men juist zou willen afleiden — de liggingnbsp;van de grootste traagheidspool bepaald (dit volgt onmid-

dellijk met behulp van v = grad Q uit de bewegingsrichting) dan volgt namelijk uit de berekeningen van Milankovitchnbsp;iets over de verhouding van de grootten van C2 en C]^.

Milankovitch vervolgt dan:

,,Dies bedeutet dasz die Trennungsschicht zwischen der beweg-lichen Kruste der Erde und ihrem Kern, aber besonders jene unter dem Meere gelegene, sehr tief liegt.”

Nadere berekeningen, die wij in de volgende paragraaf zullen uitwerken, laten zien, dat men hierdoor tot conclusies komt voor denbsp;korstdikte, welke in strijd zijn met de resultaten op andere gebiedennbsp;der geophysica.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Heel eigenaardig doet na deze beschouwingen wel aan, de vergelijking die Milankovitch dan tenslotte maakt tusschen zijn resultaat en de paleoklimatologische onderzoekingen over de pool-beweging, o.a. van KÖPPEN en Wegener. Hij vindt namelijk, dat

55

de poolbaan uit deze onderzoekingen practisch volkomen met zijn resultaat overeenstemt en zegt dan op pag. 687:

,,Ohne diese ausgezeichnete Übereinstimmung, die wohl auf einem glücklichen Zufall beruht zu überschatzen, kann gesagtnbsp;werden, dasz die hier aus der Konfiguration der Erdkruste berech-nete Bahn der beiden Pole der Erde mit den bisherigen Ergebnissennbsp;der geologischen Forschung in Einklang steht. Diese Übereinstimmung ermöglicht, die der Berechnung zugrunde gelegte Zeit-einheit im absolutem Masze auszudrücken um auf diese Weise einennbsp;Einblick, auch in den zeitlichen Verlauf der Polverlagerungen zunbsp;gewinnen.”

Voordat wij aantoonen dat dit ,,glückliche Zufall” op een onderstelling berust die tot moeilijk aanvaardbare conclusies voert, willen wij even opmerken, dat dus de door ons gevonden bewegingsrichtingnbsp;noodzakelijkerwijs in strijd is met de ,.bisherige Ergebnisse dernbsp;geologischen Forschung”.

In de eerste plaats kunnen wij echter uit het feit, dat MlLANKO-VITCH hier het woord ,.bisherig” gebruikt concludeeren, dat hij de mogelijkheid niet uitsluit, dat men over eenigen tijd, als er meernbsp;paleoklimatologische data ter beschikking staan een andere ,,geologische poolbaan” zou kunnen vinden. In de tweede plaats merkennbsp;wij op, dat, zelfs indien in de toekomst de ,,geologische poolbaan”nbsp;geen wijziging mocht ondergaan en onze resultaten in strijd zijn metnbsp;die der geologie, wij hier uitsluitend discussieeren een poolbaan,nbsp;zooals deze tengevolge van poolvluchtkrachten ontstaat. Uit dezenbsp;tegenspraak moet dan volgen, aangenomen, dat zoowel de geologisch bepaalde poolbaan als de hier berekende baan tengevolgenbsp;der poolvluchtkrachten juist zijn, er andere oorzaken moeten bestaannbsp;die de pool niet doen bewegen langs de door ons berekende poolbaan, maar dat de baan de resultante is van verschillende oorzaken,nbsp;waarvan wij hier dan slechts één, namelijk de poolvluchtkracht.nbsp;besproken hebben.

Bovendien komt hier nog bij en wij wijzen daarop nog in het volgende hoofdstuk, dat bij deze berekeningen is aangenomen, datnbsp;het ü-veld niet met den tijd verandert. In den loop der geologischenbsp;perioden zal ongetwijfeld dit Ü-veld wel verandering hebben ondergaan, hoewel men wel moet bedenken, dat bijvoorbeeld de gebergte-vorming in een bepaald gebied de ligging van de traagheidspolen

56

en dus de poolbaan zelf maar weinig beïnvloedt ).

Tenslotte is het in verband met energiekwesties, waarop wij in het laatste hoofdstuk nader zullen ingaan, niet eens zeker, dat denbsp;pool inderdaad bewegen kan tengevolge van de poolvluchtkrachten.nbsp;Hoewel a priori de mogelijkheid bestaat, dat de pool in een constantnbsp;fi-veld een baan van 90 booggraden aflegt, is het best mogelijk, datnbsp;de beschikbare energie slechts voldoende is, om de pool over eennbsp;gedeelte van die 90° te doen bewegen, of zelfs, dat de beschikbarenbsp;energie ten opzichte van de te gebruiken energiehoeveelheden zóónbsp;klein is, dat de pool slechts weinig gaat bewegen.

§ 23. Om af te leiden, waartoe de aanname van MlLANKOVlTCH Co gt; c, leidt, gaan wij als volgt te werk:

C2 was de afkorting voor Iq^ D2 zqo cn Cl voor 2 Pi Dl Z01 rl-

Evenals Milankovitch nemen wij een constante hoogte van het continent aan en stellen de topografische hoogte h = 500 meter.nbsp;Als dichtheid van het continent gebruiken wij Qy = 2,67. Alsnbsp;constante zeediepte kiezen wij 4 km en de dichtheid van den sial-bodem der oceanen stellen wij po nemen daarvoor voorloopignbsp;geen getal aan. De dikte T van de korst zij ook onbekend, daar wijnbsp;juist willen aantoonen, dat uit de aanname C2 gt; c^ volgt, dat wijnbsp;dan voor T waarden vinden, grooter dan de 30 km, die men tegenwoordig vrij algemeen als de meest waarschijnlijke waarde voor denbsp;dikte van de sialkorst aanneemt.

Er geldt nu voor het continent:

_ Qo ,

~quot;2(po —Pi)'

Stellen wij

¦ p, zoi Dl = c'i

en evenzoo

- — P2 Z02 D2

Zie hierover o.a. R. SCHWI.\NF.R, Lehrbuch der physikalischen Geologie. Bd I, pag. 242.

57

dan volgt dus voor

c'i—Qi Zoi nbsp;nbsp;nbsp;daar Zg, ~^Di.

“ Uj nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

Reeds is met behulp van figuur 2 gevonden D] = T 2 a-^^ h.

Dus volgt

of na substitutie van de getalwaarden voor Qx a, en h:

(r 2,725)2 nbsp;nbsp;nbsp;0,245 (T 2,725f

Om de Cj = P2 Z(y2 te vinden, moeten wij eerst de Do uitdrukken in de T en Q2 (c.q.ao). Wij bekijken hiervoor figuur 7.

De diepte t = 4 km van den oceaan (dichtheid 1.028) wordt na herleiding tot op dichtheid Qo'-

,(^2- 1.028)

02

Verder blijkt direct uit deze figuur de volgende vergelijking:

TX2,67=D2Q2 \ T- nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3,27 (81)

( nbsp;nbsp;nbsp;02 V

of

Voor Q2 hebben wij een grootere waarde te kiezen dan gx- omdat anders de voorwaarde C2 gt; Cx in het geheel niet te vervullen is. Nunbsp;kiezen wij bijvoorbeeld g2 = 2,97 (dus A2 = go—02 = 0,3). Ditnbsp;gesubstitueerd geeft dan voor (welke namelijk evenredig is metnbsp;het moment van de poolvluchtkracht uitgeoefend op een sialprismanbsp;van den oceaan):

Volgens MiLANKOVITCH moet nu gelden

C2 gt; Cl dus C2 gt; c'i dus

2.97

6.54X0,3 Na herleiding geeft dit als oplossing

rgt; 48,7 km.......

Hieraan beantwoordt een dikte van de continentale korst: Di = T 2ah = 48,7 2.725nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;51,4 km

(86)

59

en een dikte voor den oceaanbodem 0,6 7-8,544

0,3

6,54X0,2

dus, daar C2 gt; Cj moet zijn;

6 51^0,2 ^ ^

waaruit na herleiding en oplossing volgt:

7 gt;34.55 km.....

en dus D^ = 7 2a|hgt;37,3 km.

^ nbsp;nbsp;nbsp;0.6 7-8.691 ^^^.,,

7)2=-Ö2--gt;60,2 km.

Nemen wij dus voor den oceaanbodem de dichtheid 3,07 aan, dan kunnen wij voor 7 met een betrekkelijk kleine waarde volstaan,nbsp;alleen de dikte van de korst onder den oceaan wordt veel grooter,nbsp;zoodat deze uitkomst ook niet aanvaardbaar is.

Opmerking: Het verband tusschen Di en D2 (dus zonder iets over 7 te zeggen) is eveneens te vinden op de volgendenbsp;manier;

2 «2 7)9 Z02 ro3 gt; 2 Pi Dj Zqj ro3 po Do Zoo gt; Pl Dj Zqi

7)2 gt; nbsp;nbsp;nbsp;^ D\ of D2 gt; Dj 1/^'-3.

p2 Oj nbsp;nbsp;nbsp;1 P2 O,

Nu

Substitueer {3^ =: 2,67 en Qq = 3,27. Kies Ie. tgt;2 = 2,97. Dit geeft = 2.

en dus D2 gt;

Nemen wij D, =51,4 km (zie boven) dan is Do gt; 69 km.

Kies 2e. o.) = 3,07, dan is — = 3

«1

Nemen wij D^ = 37,3 km, dan volgt D2gt;60 km.

De langs dezen weg gevonden waarden voor T, Dj en D-^ zijn niet in overeenstemming te brengen met de uit de zwaartekrachts-resultaten gevolgde inzichten.

§ 24. Wij zullen thans probeeren, door de aannamen van Milankovitch iets te wijzigen en algemeener op te zetten, of hetnbsp;met behoud van C2 gt; c, mogelijk is, tot aanvaardbare onderstellingennbsp;omtrent T, D| en D2 te komen.

Wij nemen inplaats van constante dichtheid bij continent en idem Q2 bij den oceaanbodem nu zoowel bij continent als bij dennbsp;oceaanbodem twee lagen aan, de bovenste met dichtheid o^, denbsp;onderste met dichtheid p2- In de sialkorst komt dus een dichtheids-sprong voor. Deze aanname is in goede overeenstemming met denbsp;uit de seismologie 1), 2) en de gravimetric-^) gewonnen inzichten.nbsp;De dikten van beide lagen onder continent en oceaan nemen wij

’) B. Gutenberg and C. F. Richter, Bearbeitung von Aufzeichnungen einiger Weltbeken, Senckeberg, naturf. Ges. Abh. 40, 57 (1925).

^) P. ByeRLY, The dispersion of seismic waves of the Love type and the thickness of the surface layer of the Earth under the Pacific. Gerl. Beitr.nbsp;Geophysik 26, 156—157 (1930).

^) F. A. VENING MeineSZ, Gravity over the continental edges. Proceedings Ned. Akad. v. Wetenschappen, Vol. XLIV, No. 8, 1941.

61

verschillend aan. Het besprokene in § 23 is dan, zooals direct blijkt als grensgeval in dit meer algemeene geval begrepen.

Voor het continent nemen wij dus aan: De korst bestaat uit twee lagen, één (de bovenste) van dichtheid 2,67 en dikte T~i, en denbsp;onderste van dichtheid ^2 en dikte

Voor den oceaanbodem geldt hetzelfde wat de dichtheden betreft: de dikten der lagen stellen wij op To en H2 (wij denken ons eerstnbsp;het zeewater gecondenseerd tot dichtheid 2,67, hetgeen dus een

1,03

diepte geeft van: oorspronkelijke diepte vermenigvuldigd met-^-g^ .

Voor het continent geldt, vergelijkende met een laag waar het substratum onbedekt is, fig. 8.

(3,27)

Daaruit volgt da.n:

3,27 quot; ‘ ' 3,27 A2 3,27 — Q2-

Het zwaartepuntshoogteverschil voor de H^-laag wordt

¦ 3,27

en voor de Ti-laag:

62

De poolvluchtkracht voor een korstkolom is dus evenredig aan

M' = e, X i- ^27 nbsp;nbsp;nbsp; 2,67 7, X (H, T,

of

M' = 0,1529 82 ^2 H\ 0,817 H, 7, 0,245 7?.

Nemen wij A2 = 0,2 dan wordt dit:

M' = 0,0939Hf 0.1634 Hl 7, 0,245 7^ nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. (88)

Nemen wij A2 = 0,3 dan wordt dit:

M'= 0,1362 H? 0,245 Hl 7i 0,245 7u . . (89)

Nu moeten in verband met de aangenomen gemiddelde continent-hoogte van 0,5 km en de aangenomen gemiddelde zeediepte van 4 km de s^ (continent) en S2 (oceaan) zoo gekozen worden, dat

Verder moet gelden de aanname van MiLANKOViTCH:

Mquot; M' (dit is hetzelfde als C2 gt; Ci). . nbsp;nbsp;nbsp;. (91)

Kies nu A2 = 0,2. Dan wordt (90):

0,1835 (7i —72) 0,0612 (Hj—H2) =2,96 ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 (7i —72) (Hl —H2) =48,4

en de grenswaarde bij 91 (dus voor gelijkteeken) geeft in dit geval:

0,0939 {H\ - H\) 0,1634 (H, 7, - H2 T2) 0.245 {T\ - Tl) = 0. Kies nu A2 = 0,3. Dan wordt (90) na herleidingnbsp;2 (7i —72) (Hl —H2) =32,26nbsp;en de grens waarde (91) geeft:

0,1362 {Hl - Hl) 0,245 (H, 7. - H2 T2) 0,245 (Tl - Tl) = 0.

63

Van de vier grootheden nbsp;nbsp;nbsp;T^ H2 T2 kunnen wij er dus steeds

twee kiezen. Beide andere volgen dan uit bovenstaande vergelijkingen.

In tabel II zijn verwerkt, zoowel voor A2 = 0,2 en A = 0,3 de berekende waarden van en H2 onder aangenomen waardencombinaties voor T2 (resp. 0, 5 en 10 km) en (0, 10 en 20 km).

In tabel III is dan aangegeven, hoe de totale dikten voor continent (Dl = Tl Hl) en voor oceaanbodem (Do = T2 ^ H2) zich gedragen bij de keuze van 7’2 en Hi.

Uit deze tabellen blijkt, dat het in verband met de waarden die men voor Di en D2 vindt, niet mogelijk is met deze aannamen overnbsp;de siallaag tot bevredigende waarden te komen: het is namelijk vol-

64

komen onwaarschijnlijk te achten, dat de dikte D2 van de tweede korstlaag onder de oceanen zoo belangrijk veel grooter zou zijn dannbsp;onder de continenten.

Hieruit volgt dus, dat de conclusie van MiLANKOViTCH, dat Co gt; is, verworpen moet worden. Nemen wij C2 gt; dan is denbsp;richting van de poolbeweging ook bij MiLANKOViTCH van Siberiënbsp;naar Hawaï gericht.

Opmerkingen: 1. De berekening van § 23 is begrepen in die van § 24 door te kiezen =0 en To = 0.

2. In beide methoden (die van § 23 en § 24) is een klein verschil in reductie van de dichtheid van het zeewater. Innbsp;§ 23 is de zeediepte gereduceerd door het zeewater te ,,con-denseeren” tot de dichtheid Q2 (gt;2,67) en in § 24 tot eennbsp;dichtheid 2,67, onafhankelijk dus van de dichtheid Qo vannbsp;den zeebodem. Onmiddellijk is in te zien, dat dit op de eind-berekeningen slechts een zeer gering verschil geeft, dat nietnbsp;in de opgegeven eerste decimaal tot uiting komt.

De eindconclusie van deze berekeningen is dus, dat er eigenlijk overeenstemming bestaat tusschen onze berekeningen en die vannbsp;MiLANKOViTCH, wat betreft de richting van de poolbeweging. Op denbsp;vraag of de gevonden resultaten al of niet overeenstemmen met denbsp;data uit de paleoklimatologie willen wij hier niet ingaan.

HOOFDSTUK V.

De poolbaan.

§ 25. De zes gevonden traagheidspolen verde’elen het bolopper-vlak in acht congruente rechthoekige gelijkzijdige driehoeken. De baan van de noordpool verloopt in dien driehoek, welke tot hoekpunten heeft {(px)-!) {^2^2) snnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zal één van de vector-

lijnen van grad Q moeten zijn en wel die, welke in den genoemden driehoek door de tegenwoordige noordpool gaat. Wij gevennbsp;hier de afleiding van de vergelijking van de poolbaan volgensnbsp;Milankovitch daar de door ons gevonden poolbaan slechts weinignbsp;afwijkt van d'e door Milankovitch gevonden baan.

De poolbaan, waarvan hier de vergelijking wordt bepaald, is de zoogenaamde ongestoorde poolbaan, welke ontstaat als wij aan-nemen, dat het ü veld niet met den tijd verandert.

Om de vergelijking van de poolbaan af te leiden, gebruiken wij het assenstelsel van figuur 5, dus de Z'~as in de richting vannbsp;((Px^-x)' de richting van het minimale hoofdtraagheidsmoment. Denbsp;vectorlijnen van grad Q verloopen nu binnen den boldriehoeknbsp;X'Y'Z’ en beginnen alle in het punt Z' en eindigen alle in hetnbsp;punt X'. In het begin raken deze aan de grootcirkelboog Y'Z', in hetnbsp;eind aan de grootcirkelboog Y' X'.

In de beide eindpunten bereikt D extreme waarden, dus in die punten is grad f2 = 0 en ook de snelheid van de poolbeweging. Denbsp;genoemde punten X' en Z' stellen dus twee evenwichtstoestandennbsp;voor en wel Z’ den labielen en X' den stabielen toestand, Is de poolnbsp;oorspronkelijk in het punt Z' geweest dan zal de pool dit labiele puntnbsp;tengevolge van een of andere evenwichtsstoring verlaten hebbennbsp;en loopt nu langs een vectorlijn, tot zijn beweging tenslotte in hetnbsp;punt X’ eindigt.

De snelheid, in het begin nul, wordt steeds grooter, gaat door een maximum en neemt dan weer af naar nul. Het zal dus een oneindignbsp;langen tijd duren voor de pool in het punt X' is aangekomen,

5

66

Zijn nu 45 en W de poolcoördinaten (breedte en lengte) ten opzichte van het X'Y'Z'stelsel (zie fig. 5) waarbij Cp de hoek is dien de voerstraal naar het beschouwde punt maakt met het X' Y'~nbsp;vlak (dus tp is de breedte in het X' Y' Z'stelsel) terwijl W de hoeknbsp;is, welke de projectie van dien voerstraal op het X' Y'-vlak maaktnbsp;met de X'-as (dus is de lengte in het X'Y'Z'stelsel). Nemennbsp;wij nu in het willekeurige punt M (lt;p,W) der poolbaan den oorsprong van een vlak rechthoekig coördinatenstelsel aan, welks vlaknbsp;den aardbol raakt in M, waarvan de |-as raakt aan den grootcirkelnbsp;door M en Z' (f is positief in de richting van toenemende tp) terwijlnbsp;de rj-as loodrecht op deze 4-as staat en gericht is volgens toenemende W.

Dan geldt :

df = to dep dl] = ro cos (p d'F).......

De in die richtingten vallende snelheidscomponenten worden dan;

Noemen wij de eenheidsvectoren in en 9y-richting respectievelijk -gt; -gt;•

i en j dan is daar

diZ.dij-p nbsp;nbsp;nbsp;dü-p düZ

¦' = * ¦

de grondvergelijking der poolbeweging

v = n grad fJ

te schrijven als ;

dt

67

Vermenigvuldigen wij deze vectorvergelijking scalair met i, dan komt er

*=quot;«........

terwijl scalaire vermenigvuldiging van (95) met j voert tot:

........lt;»)

Uit (93) volgt dan met (95a, b) en (92)

dt vl Ö-? dt ~ rl cos2 Cp dW ' nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•

dus

dü

dW_ J öl'

dep cos^4gt;dQ.......^ ’

dep

Het traagheidsmoment Q ten opzichte van de lijn O M krijgen wij door in (60a) voor lx, ly en respectievelijk te nemen de hoofd-traagheidsmomenten lx', ly en inplaats van cp en k de ep en Wnbsp;en Ax = -Ay = Az — 0 te stellen.

Wij vinden dan:

Hom = lx’ cos^ (p cos^ 'P ly cos^ p sin^ W-\-lz' sin^ p . nbsp;nbsp;nbsp;(98)

Dit gesubstitueerd in (97) geeft:

dd'____{Iy-Ix')sin2T

dp^~ {h'-ly sin^ W - h' cos^ W) sin p ' nbsp;nbsp;nbsp;'

Noemen wij ter afkorting

.......ooo)

-'y' nbsp;nbsp;nbsp;¦'X'

dan kunnen wij na eenige herleiding voor (99) schrijven

k^-^y-^tgWdW= nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(101)

Sin 2 T nbsp;nbsp;nbsp;sin 2 lt;p

68

Dit is dan de differentiaalvergelijking der poolbaankromme. Daar

d W

sin 2 ¥

dlt;p

volgt door integratie van (101) de vergelijking

k Intg ¥ In cos ¥ = In tg p In C . nbsp;nbsp;nbsp;.

cos ¥ tg’^ W = tg p.....

als vergelijking der poolbaankromme in het (p ¥) stelsel. De constante Cl wordt bepaald doordat deze kromme door de tegenwoordige noordpool moet gaan. De tegenwoordige noordpool heeft in het X' Y' Z'-steïsel de coördinaten pg en ¥q (zie § 20) welke dus aannbsp;(103) moeten voldoen.

Substitutie geeft dan

cos ¥g tg^ ¥o

fg Po

waarin k bepaald is door (100) en volgens de berekening in § 20 Pg = ¥o = 59°,2.

Opmerking: Door uit te gaan van (96) en (98) geeft Milankovitch verder nog een afleiding over de seculairenbsp;beweging van de pool langs de poolbaan, dus een verbandnbsp;tusschen plaats en tijd. Hierin zit dan een voorloopignbsp;onbekende ,,tijdschaal” welke later, doordat de poolbaannbsp;bij Milankovitch overeenkwam met de ,,geologischenbsp;poolbaan” met een ,,schaalwaarde” kon worden aangegevennbsp;en dus de plaats op zekeren tijd bekend werd. Daar wij innbsp;onze berekening geen overeenstemming hebben met denbsp;,,geologische poolbaan” heeft deze afleiding voor ons geennbsp;zin, daar wij toch met een onbekende ,,schaalwaarde” voornbsp;de tijdschaal blijven zitten.

69

5 26. De numerieke berekening van de baan in het ( stelsel kan nu volgen.

De X'-as nbsp;nbsp;nbsp;snijdt dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aardbolnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;het punt 993nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15°,2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A3 =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—170°,1.

De y'-as nbsp;nbsp;nbsp;snijdt dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aardbolnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;het punt (p2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;26°,0,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^2 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 72°A-

De Z'-as nbsp;nbsp;nbsp;snijdt dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aardbolnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;het puntnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;59°,2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;72°,7.

De bijbehoorende hoofdtraagheidsmomenten zijn nbsp;nbsp;nbsp;(weggelaten de

factor 2n nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:

1^, =151,4; ly = 139,9: h, = 124,9.

In de eerste plaats volgt nu uit (100):

k = nbsp;nbsp;nbsp;= 2,304 (afgerond op 2,3).

In de tweede plaats is, daar tpQ = nbsp;nbsp;nbsp;= 59°,2 de te be

rekenen:

log Cl = log cos 59°,2 2,3 log tg 59°,2 — log tg 59°,2 = log cos 59°,2 1,3 log tg 59°,2 = 0,00138.

TABEL IV.

70

Cl = 1,0032 (afgerond 1). In de verdere berekeningen, die loga-rithmisch gebeuren, komt alleen log Ci voor. Van de ip W baan kunnen wij nu zooveel coördinaten van de punten berekenen als wijnbsp;willen, door in de formule

cos nbsp;nbsp;nbsp;tg

bijvoorbeeld voor W achtereenvolgens in te vullen de waarden 5°, 10°, 15° enz. t/m 90° en de bijbehoorende tp te berekenen.

Deze punten zijn gegeven in tabel IV.

71

Verder geeft figuur 9 de baan geteekend in het lt;p, !F-stelse] terwijl figuur 10 de coördinaten 0 en W uit tabel IV weergeeft innbsp;een rechthoekig assenstelsel, daar wij dit in de volgende paragraaf

kunnen gebruiken. Bovendien heeft figuur 10 dit voordeel, dat wij als controle kunnen zien, of de kromme een vloeiend verloop heeftnbsp;en als wij willen interpoleeren, kunnen wij dit beter doen in' figuurnbsp;10, dan in figuur 9.

§ 27. Het is practisch niet mogelijk, de vergelijking der poolbaan-kromme om te zetten vanuit de (cp m) coördinaten in een vergelijking in q) en l als coördinaten. Om de uitkomsten van dit hoofdstuk tenbsp;kunnen verg^jken met die uit de vorige hoofdstukken, is het welnbsp;gewenscht enkele punten der baan vanuit de (Cp W) coördinaten opnbsp;de {qgt;X) coördinaten om te rekenen. Dit kan op de volgende wijze.

Beschouw fig. 11. Hierin zijn in projectie op het aardequatorvlak geteekend het X Y Z-assenstelsel en het X' Y' Z'-assenstelsel.nbsp;P is de projectie der tegenwoordige Noordpool. De lijn Z' P M X'nbsp;stelt cJe poolbaan voor, waarvan M een willekeurig punt is met

72

coördinaten ((p !F) welke wij in qs en 7 willen omzetten. De ^j-coör-dinaat van M wordt voorgesteld door boog MM' en de !P-coör-

dinaat door boog X C Y A M'. Deze beide coördinaten zijn met eenige boldriehoeksmeting te berekenen.

Verder is in deze figuur

boog C Z' — lt;px boog BY' = (p2nbsp;boog AX' = (ps

en tevens

boog PX' = 90 — (pi boog PY' = 90—cp2nbsp;boog PZ' = 90 — 993nbsp;boog PM — 90 — cp.

73

Beschouw nu

Ie A M X'G yNaann ^GX'M=a.

Hierin geldt tg a =

sin T

2e APX' Y' waarin Z.P X' Y' = p.

sin (p2_ sin 26

cosqgt;, COS 15,2 ^ is een vaste waarde, onafhankelijk van de ligging van M.

3e A P X'M v^aarin Z.P X'M=(i-a.

Noem grootcirkelboog X'M:

Volgens den cosinusregel geldt dan

cos(90 — 99) = cos| cos(90 — 9)1)4-sin f sin (90 — (pi) cos (/S-of nbsp;nbsp;nbsp;sin cp = cos f sin cp^ sin f cos cp^ cos {fi — a).

Uit den rechthoekigen driehoek GX'M volgt nu

cos I = cos (p cos T.....

Uit (105) volgt:

sin cp cos f I sin 9), Z tg S cos cp^ cos (/S — «) (. Stel

tg S cos ifi—n) = tgy . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

dan wordt (107)

cos I sin (9)] y)

tg r

waarmee cp te berekenen is.

De waarde van 2 volgt uit ZPX'M door toepassen van den sinusregel:

sin (2 — 2i) = sin {fi — a). cos cp

Als met (109) de 9) bepaald is vinden wij hiermee de 2 waardoor de geografische coördinaten van M bekend zijn.

74

Opmerkingen: 1. In tabel IV zijn naast de waarden van Cp en W de bijbehoorende waarden van cp en l ingevuld, waardoor van een aantal punten der poolbaan de geografischenbsp;coördinaten bekend zijn.

2. Daar voor lt;p — 90° de 2 onbepaald wordt en het in verband met de resultaten van hoofdstuk II en III wenschelijknbsp;is hiermee de richting der poolbaan te controleeren, zijn de

berekende coördinaten gy en X van de poolbaan in fig. 12 in een rechthoekig stelsel uitgezet, waarbij als de 2 in hetnbsp;derde quadrant viel de waarde (2—180) is uitgezet (dit isnbsp;gebeurd voor het linkerdeel der kromme uit figuur 12). Beidenbsp;takken van de zoo verkregen kromme moeten elkaar snijdennbsp;voor (p = 90°. Als waarde voor de bij het snijpunt behooren-

75

de X vinden wij X = 55°, dus omgezet in het derde quadrant \25°W.L. Deze richting komt overeen met die in hoofdstuknbsp;II en III gevonden. Schrijven wij de resultaten bij elkaar;

Uit hoofdstuk II: X =. 125°,2 W.L.

Uit hoofdstuk III; X= 126°,3 W.L.

Uit hoofdstuk V: 2 — 125°,0 W.L.

De gemiddelde waarde ligt dus bij X — 125°,5 W.L. en dit is dan de richting waarin de pool zich momenteel tengevolge van de poolvluchtkracht beweegt.

HOOFDSTUK VI.

Energiebeschouwingen.

§ 28. Bij de afleiding van de formule voor de poolvluchtkracht-momenten is reeds gewezen op het feit, dat de energie voor de pool-vluchtkracht afkomstig moet zijn van de rotatie der aarde.

De vraag is nu echter nog open, of de voor de poolvluchtkracht beschikbare hoeveelheid energie voldoende groot is om de energie,nbsp;die bij de beweging van de korst door verschillende oorzaken verbruikt wordt, te compenseeren.

Een eerste oorzaak van energieverbruik is de wrijving, die op moet treden tusschen de korst en het substratum. Om over denbsp;grootte hiervan een schatting te kunnen maken, moet men denbsp;grootte-orde kennen van de viscositeitscoëfficiënt van het substratum. HieroVer zullen wij aan het einde van dit hoofdstuk ietsnbsp;zeggen, maar nu een tweede oorzaak, namelijk de deformatie die denbsp;korst bij de draaiing ondergaat, nader bekijken.

Immers is de korst aan de polen afgeplat en vertoont bij benadering den vorm van een afgeplatte omwentelingsellipsoïde. Leggen wij nu de plaats van de pool vast op het substratum, dan zullen bijnbsp;draaiing van de korst over deze pool heen andere punten van denbsp;korst boven de pool komen, terwijl de oorspronkelijk afgeplattenbsp;plaats van de korst ergens anders terecht komt. Daar wij mogennbsp;aannemen, dat de korst geen buigingsvastheid bezit, zullen dienbsp;punten der korst, die bij draaiing boven de pool komen, een dalingnbsp;ondergaan, terwijl de punten die de afplatting vormen, op anderenbsp;plaatsen gekomen, zullen gaan rijzen, waarmee dus plausibel gemaakt is, dat de korst een deformatie zal moeten ondergaan.

Over de grootte van de bij deze deformatie optredende defor-matie-energie valt nu met betrekkelijk groote nauwkeurigheid iets te zeggen en wij zullen nu eerst dfe deformatie-energie berekenen en deze daarna vergelijken met de energie die tengevolgenbsp;van de poolvluchtkracht beschikbaar is.

77

§ 29. Het meetkundige gedeelte van de berekening van de deformatie-energie.

Wij denken ons de aardkorst in den vorm van een afgeplatte ellipsoïde (figuur 13). In deze figuur is een meridiaandoorsnedenbsp;geteekend van de korst, waarbij de Y-as loodrecht het vlak vannbsp;teekening is genomen. Deze ellipsoïde laten wij over een hoek y omnbsp;de Y-as roteeren, waarbij de pool zich verplaatst in het geteekende

meridiaanvlak. In figuur 13 is tevens aangegeven de meridiaandoorsnede als deze over een hoek y gewenteld is. Wij noemen de groote as a, de kleine as e a en de as loodrecht het vlak van teekening b.

E is een getal iets kleiner dan 1.

De vergelijking van de niet-geroteerde ellipsoïde op het Xquot; Y Xquot;-stelsel is dan:

(112)

78

De meridiaandoorsnede heeft dus tot vergelijking

1.

De vergelijking van de geroteerde meridiaandoorsnede luidt (op eigen assen X' Z')

(113) of indien wij transformeeren op het Xquot;Zquot;~ste\sél (na herleiding):

xquot;^ a? (e^ cos^ y sin^ y) zquot;^ nbsp;nbsp;nbsp;(e^ sin^ y cos^ /) ^

x''z''a^\-e^)-s^a^ = 0. nbsp;nbsp;nbsp;\

Gemakkelijk is te bewijzen, dat deze beide ellipsen elkaar zullen snijden in 4 punten, liggende op de binrien- en buitenbissectrice vannbsp;den draaiingshoek y.

Deze bissectrices nemen wij nu als nieuwe X~ en Z~as aan en transformeeren zoowel (112) als (114) op dit assenstelsel. (112)nbsp;gaat dan na herleiding over in

x^ {ê cos^ */2 y sin^ '/z 7) nbsp;nbsp;nbsp;’/z 7 cos^ '/z 7) —

— xz (1 —e^) sin y — nbsp;nbsp;nbsp;= 0

(114) gaat over in

x^ (e^ cos^ Vz 7 nbsp;nbsp;nbsp;'/2 7) nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*/z 7 cos^ ’/z}')

xz{\ — £^) sin y — a^ — 0.

Wij merken op, dat de maximale indrukking gelijk is aan de maximale uitrekking. Deze verplaatsingen van de verschillendenbsp;punten zullen wij steeds meten in de richting van de voerstralen vannbsp;die punten, dus langs de lijnen z = px. De maximale verplaatsingennbsp;liggen dus op de lijnen z = ± x. Wij berekenen nu de maximalenbsp;verplaatsing als functie van den draaiingshoek 7.

Dus snijden wij (115) en (116) met de lijn z = x.

Uit (115) krijgen wij dan in het eerste quadrant als coördinaten van het snijpunt;

79

Op dezelfde wijze krijgen wij uit (116) in het eerste quadrant als coördinaten van het snijpunt:

= = . . . (118)

Daar het verschil in jc-coördinaten (xj—X2) gelijk is aan het verschil in z-coördinaten (zi—Z2), is de maximale verplaatsing dus te geven door (xj—X2) |/2 of uitgeschreven;

y ( \ — ja 1/2 ^_ -................ ....(

\\y {\ e^) — (1 — Ê^) siny |/(1 e^) (1 — e^) siny ^

Hiervoor schrijven wij:

lil

Nu is £ bijna gelijk aan 1. Wij vervangen nu in (1196) overal de s en £2 door 1, behalve natuurlijk in den factor (1—s). Echter isnbsp;1—e = (i (afplatting), dus gaat (119b) over in

V{y) = ^asiny (zie verder § 33) . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(119c)

§ 30. Wij nemen nu voor de ellipsoïde uit de vorige paragraaf de aardkorst aan, dus wij kunnen e — ^^^1297 — 0,996633 stellen.nbsp;Wij berekenen dan numeriek voor enkele waarden van y de maximalenbsp;indrukking en uitrekking met formule (119c) uitgedrukt in a.

80

Wij vinden:

§ 31. In paragraaf 10 hebben wij gevonden, dat bij een rotatie van de korst over een hoek y de poolvluchtkracht aan arbeid eennbsp;bedrag M y verricht, aangenomen dat y zoo klein is, dat M gedurende die draaiing constant genomen mag worden.

Wij weten echter dat M evenredig is met grad Q.

Deze grad ü is in het punt cpi gelijk aan nul, evenzoo in het punt 993 .^,3 en in andere punten een functie van de coördinatennbsp;(p en X, welke een maximumwaarde heeft (ongeveer in het middennbsp;van de poolbaan tusschen 991^1 en 993/I3).

Nemen wij nu eens aan, dat de pool inderdaad begonnen is in het punt q)xX.^ (zeker is dit niet) en daar vandaan naar haar tegenwoordige plaats gegaan is, niet langs de berekende baan, maar langs dennbsp;grootcirkelboog door 99^ en de tegenwoordige pool.

Voor dit eerste gedeelte der baan maakt deze onderstelling weinig verschil.

81

Wij kunnen dan aanemen, dat de grad ü, dus ook de M alleen afhankelijk is van (p (de breedte in het X' y'2'-stelsel), dus ooknbsp;alleen van den draaiingshoek y, die dan gelijk is aan de afname dernbsp;breedte p.

In dit geval is in verband met het bovenstaande voor het moment te schrijven

M = Mmax sin 2 y,

waarin M is het moment der poolvluchtkrachten in zeker punt tusschen qix 2^ (dit punt zelf inbegrepen) en de tegenwoordigenbsp;plaats ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;het grootste moment, dat in eenig punt van de ge-

heele baan optreden kan.

Uit figuur 11 blijkt, dat de lengte van den grootcirkelboog PZ'= (90—9?j) = ±30°.

In § 10 is echter het tegenwoordige moment berekend, dus het moment na een draaiing over /i = 30°.

Dit moment bedraagt 3 X lO^o dyne cm.

Substitueeren wij dit in (120) en voor y^ — 30° dan komt er

3X 1030 = M„ax sin 60°. . nbsp;nbsp;nbsp;.

3X1030

Dus Mraax = nbsp;nbsp;nbsp;= 2 1X3 X 1030 dyne cm.

De uitdrukking voor het moment bij de draaiing van (pi /l| tot de tegenwoordige plaats wordt dan

M= 2 1X3 X 1030 sin 2/......(122)

De verrichte arbeid bij draaiing over een hoek d y is

d A = Md)'= 2 X3 X 1030 sin 2 7 d7. . . . (123) Bij de draaiing over een hoek 71 is dus aan arbeid verricht

2 (X3 X 1030 sin^ 7i erg.

82

Indien de pool niet nbsp;nbsp;nbsp;als beginpunt heeft gehad, maar een

beginstand op een hoekafstand /o van het punt {cpxXi), dan is aan arbeid verricht:

A = 2 |/3 X 10^° (stn^ 7i —siri^ /o)

= 2 1X3 X 10^® sin (7, 7o) sin (71—70) erg.

Bij de draaiing van 0° tot 30°, dus over den afstand die de pool hoogstens gedraaid kan zijn, zou deze arbeid dus zijn

2 1X3 X 10^0 X 'A = '/2 X3 X 103°

§ 32. Om de deformatie-energie te berekenen, die ontstaat bij een bepaalde deformatie, gaan wij uit van het volgende:

Bij het te deformeeren lichaam nemen wij een X Y Z-assenstelsel aan. Wij beschouwen een punt met coördinaten x y z. Dit puntnbsp;ondergaat bij de deformatie een verplaatsing, waarvan wij de componenten in de richtingen der X Y Z-as respectievelijk u v wnbsp;noemen.

De specifieke verplaatsingen in de richting der assen worden dan resp.

De oorspronkelijk rechte hoeken ondergaan een verandering. Deze hoekverandering wordt volgens de elastidteitsleer gegeven door denbsp;volgende uitdrukkingen

Voor lichamen die de wet van HooKE volgen geeft de elas-ticiteitsleer bovendien als verband tusschen de verplaatsing en de spanningen in een punt, welke die verplaatsing veroorzaken:

In deze formules zijn Ox Oy en Oz normaalspanningen op opper-vlakjes gekozen loodrecht respectievelijk X-, Y- en Z~as en Tx.tyentz schuifspanningen op die oppervlakjes.

E is de elasticiteitsmodulus.

G is de glijdingsmodulus. m de constante van PoiSSON.

Uit deze grondvergelijkingen volgt nu voor den vormverande-ringsarbeid;

waarin px, py en pz totaalspanningen voorstellen op de betreffende zijvlakken van A V, dus px = \/'(Y- -f- 02 _|_

Kennen wij dus de spanningen, dan is met behulp van (129) de deformatie-energie voor het geheele lichaam te vinden, door (129)nbsp;te integreeren over het volume.

§ 33. In ons geval kunnen wij formule (129) toepassen, daar wij de spanningen, die in de aardkorst optreden, bij rotatie vannbsp;de korst kennen i) als deze gaat draaien over het substratum.

F. A. VenING MeiNESZ, Spanningen in de aardkorst tengevolge van poolverschuivingen. Verslagen Afd. Nat. Ned. Akad. v. Wetensch. Mei, 1943.

84

Noemen wij bijvoorbeeld den poolsafstand van een punt van de korst d en de geografische lengte noemen wij de normaalspanningnbsp;op een doorsnede van de korst langs een parallel Oy en die langsnbsp;een meridiaan ox , terwijl de schuifspanningen, die in deze beidenbsp;doorsneden aan elkaar gelijk zijn, t genoemd worden, dan geldennbsp;voor öy, ax en t de vergelijkingen

/5 E sin y sin è sin l.

In deze formules is y de hoek waarover de pool verplaatst is en ^ de afplatting, dus = 1—e, E de elasticiteitsmodulus en m denbsp;constante van POISSON.

Opmerkingen: 1. In de formules (130) komt de factor P sin y voor, welke volgens (119c) gelijk is aan

a

waarin wij, daar het bij deze beschouwingen om de aarde gaat, de a mogen vervangen door de Tq (gemiddelde aard-

Vly)

straal). Dus (isiny= - is de maximale uitwijking ge-

^0

deeld door den gemiddelden aardstraal.

2. De normaalspanning op de binnenzijde van de korst, Og. dus in de richting van den aardstraal, is klein ten opzichte van bovenstaande waarden, n.1.:

5m -j- 1

waarin T — korstdikte (voor h = 0).

Deze oq is bij de berekening der deformatie-energie te verwaar loozen. De verhouding

85

Met behulp van (130) berekenen wij nu eerst de totaalspanningen in de zijvlakjes teneinde die in de formule voor de deformatie-energienbsp;(129) in te kunnen vullen.

In de formules (130) nemen wij eerst voor m de waarde 3 waardoor deze overgaan in

Oy =z — iPE sin y sin S cos S cos l 0). = — % E sin Y sin d cos d cos lnbsp;r — ^ (i E sin y sin d sin i.

Nu wordt

p^ = a^ -j- nbsp;nbsp;nbsp;E^ sin^ y {sin^ d cos^ d cos^ l -j- siv? d sin^ A)

— af -j- E = nbsp;nbsp;nbsp;sin^ y {9sin^ ó cos^ ^ cos^ 2 -(- sin^ d sin^ A)

Px “tquot; nbsp;nbsp;nbsp;sin^ y sin^ ó cos^ d cos^ l ^^E^sin^ y sin^ d sin^ A.

(öy -j- axy = -4/3^ E^ sin^ y sin^ d cos^ A.

Vullen wij deze waarden in in de uitdrukking (129) voor AA dan komt er (als wij daar tevens m = 3 substitueenen)

zl A = d V [f (Ij sin^ ö cos^ d cos^ A -f- sin^ d siri^ A) — nbsp;nbsp;nbsp;)

— I sin^ d cos^ d cos^ A] FE sin^ y. ^

Nu is

dV= TrlsinddddX......

waarin T — korstdikte, lt;5 = poolsafstand, dus krijgen wij

dA = Tsin ö dd dl rfE sin^ y | jf sin^ d cos^ S cos^ A -f- fV sin^ d sin^ A — | sin^ d cos^ d cos^ A j -=^TrfE sin^ y | sin^ ó cos^ ö cos^ Idö dl

y\ sin^ ö sin^ Idd dl\.

86

en

^ j sin^ è cos^ è dd dl~ n ^ sin nbsp;nbsp;nbsp;^ .

~.'t/2 o nbsp;nbsp;nbsp;~ 7Tj2

Hieruit volgt dan voor (135)

A = T prlE sin^ 7 {tV Xt^ m nbsp;nbsp;nbsp;| Jr (=| 7t T/S^ r^Esin (136)

Substitueeren wij nu in deze formule ^ — 1 ^

E = 30 km = 3 X 10* cm Cq = 6370 km = 637 X 10* cmnbsp;E=2X 10«g/cm2.

Dan wordt

A = 3,4 X 10^° sin^ y erg

Wij hebben in het voorgaande voor m — 3 en voor E = 200.000 kg/cm2 genomen.

De waarden voor m kunnen tusschen 2 en 4 gekozen worden en die voor E tusschen b.v. 80.000 kg/cm^ (zandsteen) en 300.000nbsp;kg/cm2 (graniet).