DE

ALGEMENE DETERMINANTALE VARIËTEITEN IN R^

-M

/// y ^ / / nbsp;nbsp;nbsp;/p' 'f

DE

ALGEMENE DETERMINANTALE VARIËTEITEN IN R.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TEnbsp;UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS L. VAN VUUREN, HOOGLEERAAR IN DEnbsp;FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEERTE,nbsp;VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DERnbsp;UNIVERSITEIT IN HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 3 MEI 1943, DES NAMIDDAGS TE 2 UUR

DOOR

JOHANNES MIEDEMA

GEBOREN TE UTRECHT

AMSTERDAM - H. J. PARIS - MCMXLIII

Promotor: Prof. Dr J. A. BARRAU

AAN MIJN OUDERS

AAN DE NAGEDACHTENIS VAN DEN HEER R, RIJKSE

' /.. . ' gt;. .^

1. .â– 

^ x'.:

INHOUD

Pag-

Inleiding............. 1

HOOFDSTUK I

Het begrip projectief gegenereerde variëteit........ 6

Het verband met bekende meetkundige plaatsen in en nbsp;nbsp;nbsp;6

Definities....................• . . nbsp;nbsp;nbsp;14

HOOFDSTUK II

Algemene eigenschappen van de projectief gegenereerde variëteiten.......................17

HOOFDSTUK III

De vrijheidsgraad van een projectief gegenereerde variëteit 31 HOOFDSTUK IV

Birationaal toegevoegde variëteiten...........38

Gedegenereerde variëteiten................44

De graad van de algemene variëteit {\f, q\^^\ [n]).....48

INLEIDING

In 1938 verscheen van de hand van T. G. Room te Sydney, een hoek getiteld: ,,The geometry of determinantal loci”.

In ,,Nieuw Archief voor Wiskunde”, tweede reeks, deel XX, p. 195, vindt men er een bespreking van door Dr. J. A. Barrau.

In bovengenoemd werk wordt de determinantale variëteit, met als notatie {\p, q\r, [w]), gedefinieerd als de variëteit met het stelselnbsp;vergelijkingen, dat men krijgt als men van een matrix van p rijennbsp;en q kolommen de determinanten van de order 1 gelijk nul stelt.nbsp;De elementen der matrix zijn dan lineaire homogene functies dernbsp;coördn. {xq] . %„} van Rn.

In het hier volgende onderzoek worden deze elementen Xag

a = \, 2, . . . p f)=\,2....q

ondersteld homogene m-‘^^ graadsfuncties van de puntcoördn. van Rn te zijn. De hiermede corresponderende algemene variëteit wordtnbsp;genoteerd als: {\p, q\^fquot;\ [n]). Met het symbool {\p, qV^\ [w]) wordtnbsp;hier hetzelfde bedoeld als met {\p, q\r, [n]) in het boven vermeldenbsp;werk.

Substitueert men in de hier volgende eigenschappen voor de grootheid m de waarde 1, dan ontstaan, met dikwijls voorkomende vereenvoudiging in de redactie, de in het werk van Room behandelde eigenschappen.

Ook in de corresponderende bewijsvoering treden dan dikwijls vereenvoudigingen op, terwijl vooral enkele kenmerkende grootheden minder gecompliceerd worden door het verdwijnen vannbsp;machten van m of op andere wijze (zo b.v. de formule (23) en denbsp;in stelling 7. b. voorkomende vrijheidsgraad).

Zoals te verwachten was blijven de formules voor de dimensie van de verschillende variëteiten ongewijzigd, indien w ^ 1 genomen wordt (stellingen 2, 3 en 4).

Verrassend is de uitbreiding van de eigenschap dat de variëteit V == {\p, q\W, \n\) aequivalent is met V' = (|^ — \,q — 1 jd), [w])nbsp;en Vquot; = (1/), lt;? —[n- l]).

1

Naar aanleiding hiervan komt men op variëteiten, op de door-snijdingsfiguur van enige nbsp;nbsp;nbsp;’n (d.w.z. variëteiten van de

dimensie {n—1) van de graad m) gelegen.

In plaats van [w — 1 ] 'n in [w] komen dan graadsvariëteiten van de dimensie {n— 1). Een [w — 1] in [w] duiden we aan metnbsp;prime, een ^1¹5 ill [p] „prime” of „\n — 1]”.

Wat de notatie betreft dient opgemerkt te worden dat we onder de vergelijkingen x^i = 0 a = 1,2,. .. verstaan:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=0; AJgi = 0;...

;r^i=0.

a = 1,2, ... p

De notatie ^'aa' = nbsp;nbsp;nbsp;doM'BXh a' = 1,2, .. .p'

d = 0, [, . . . n

betekent dat de pp' mogelijke grootheden Zaa’ graadsfuncties zijn in de homogene coördn. Xq, . Xn van Rn-

a = \ ,2, . . . p

P^\,2,...q

de q vergelijkingen

^'2 ^21 “h • • • d” nbsp;nbsp;nbsp;^pi. “ 0

1 ^1-^12 “k ^2 -^22 d~ . . . “b nbsp;nbsp;nbsp;xpz = 0

.2iiXlq -\- nbsp;nbsp;nbsp;-p 2^p Xpq — 0

Zoals de definitie zegt heeft men bij elke variëteit [\p, nbsp;nbsp;nbsp;[n]}

te maken met een matrix van p rijen en q kolommen (/gt; onderstellen we lt; q.). De rang van die matrix is, p — 1. De vergelijkingen dernbsp;variëteit krijgt men dus door alle determinanten van de orde pnbsp;gelijk nul te stellen. Echter zijn al die aanwezige vergelijkingennbsp;niet onderling onafhankelijk.

Hiervoor geldt n.m.1. een eigenschap, die toegepast wordt bij het opzoeken van de hoofddeterminant van een matrix ¹).

Deze eigenschap welke dikwijls in het volgende wordt toegepast,, luidt als volgt:

Heeft men een matrix met p rijen en q kolommen [p lt; q, dus een z.g. liggende matrix) en zijn de (g — /gt; 1) determinanten van de

1

Zie b.v. F. Schub, Beknopte Hoogere Algebra, § 23.

orde, welke ontstaan door aan de eerste {f — 1) kolommen van de matrix telkens een der andere toe te voegen, alle nul, dannbsp;zijn alle determinanten van de p-^’^ orde dezer matrix, nul, zo innbsp;de matrix {p — 1) bij ^ gevormd door de eerste {p — 1) kolommen,nbsp;een van nul verschillende determinant van de [p — l)-lt;ie ordenbsp;voorkomt.

In de hoofdstukken I en IV wordt deze eigenschap toegepast in de omschrijving: De variëteit {\p,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[«]) omvat de punten die

voldoen aan [q — p -f 1) determinanten van de orde gelijk nul gesteld, verminderd met de variëteit die ontstaat door in de matrix,nbsp;die al deze {q — p -f- 1) determinanten gemeen hebben, de rangnbsp;r = p — 2 te stellen.

Voor het algemenere geval r ^p — 1 (de maximale waarde welke f kan bereiken!) luidt de stelling waarvan het bewijs in Schuhnbsp;wordt gevonden:

Is r lt; ^ (en dus r lt; q) en is er een van nul verschillende determinant van de orde in de matrix p bij q gevonden, dan is deze een hoofddeterminant, als de {p — r) [q — r) determinanten vannbsp;de (r orde, ontstaan uit de genoemde determinant doornbsp;randing met een der overige rijen en een der overige kolommennbsp;uit de matrix, alle nul zijn.

De vorm waarin deze eigenschap hier toegepast wordt is als volgt: De variëteit {\p, q\^^\ [w]), omvat de punten die voldoen aan [p —r) [q—r)nbsp;determinanten van d,e [rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;orde gelijk nul gesteld, verminderd

met de variëteit die ontstaat door de determinanten van de orde van de staande matrix p bij r gelijk nul te stellen.

Nadat de determinant van de r-^e orde die ^ 0 is (een hoofddeterminant), na eventuele verwisseling van rijen en kolommen, links bovenaan staat in de matrix p bij q-.

luiden de vergelijkingen van de bedoelde variëteit:

= 0.

Het is verder duidelijk dat, als een variëteit gegeven is dooreen matrix f bij q en een bepaalde rang r, verwisseling van rijen onderling en van kolommen onderling, ja zelfs van alle rijen en allenbsp;kolommen (waarbij dus een staande matrix een liggende wordt ennbsp;omgekeerd), geen andere variëteit oplevert, zo de rang r gehandhaafdnbsp;blijft. Immers al die verwisselingen veroorzaken in de verschillendenbsp;determinanten van de orde (r 1), die gelijk nul gesteld de variëteitnbsp;voorstellen, op zijn hoogst tekenverandering. Zoals dan ook blijkennbsp;zal zijn de variëteitennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;W) en i\q,-p\^^\ [«]) identiek.

Ten slotte zij nog het theorema van Bézout vermeld, dat in hoofdstuk IV bij de graadbepaling van de algemene variëteit {\p, q\^^\ [w]) wordt toegepast.

Dit theorema luidt als volgt: ¹)

Heeft men n vergelijkingen in n onbekenden %, nbsp;nbsp;nbsp;. . Xn'

fl (-^l» ^2’

i/a (%gt; ^2lt; [fn [Xi, Vg,

waarin de functies f^, f^,. . .,fn rationale veeltermen zijn in x^, x^,... Xn, resp. van de graden Wj, m^, . . ., w», dan is het aantal oplossingennbsp;van dit stelsel vergelijkingen, indien hzt eindig is: m^ m^m^ . . . mn.nbsp;Deze stelling wordt bewezen door volledige inductie, waarbij uit-

1

Zie b.v. F. Schuh, Beknopte Hoogere Algebra, de §§ 149 t/m 151; alleen het geval; 2 vergelijkingen van de graad m en ot in 2 onbekenden wordt hiernbsp;behandeld. Verder: F. Schuh, Lessen over Hoogere Algebra, deel II, achtste les.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;

gegaan wordt van twee vergelijkingen met twee onbekenden van de graad m-^ resp. m^.

Na rangschikking luiden deze dan;

/i nbsp;nbsp;nbsp;^2) —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; . . . ««tl = 0.

/2 (%- ^2) = nbsp;nbsp;nbsp;^ bm., = 0.

Hierin zijn dan a^, . . . am^, b^, nbsp;nbsp;nbsp;. . . bm^ gehele rationale veel

termen in de onbekende x^ van de graad, aangewezen door de index.

Men elimineert nu volgens Sylvester de x^ uit de beide vergelijkingen en vindt dan een determinant van [m-^^ rijen en kolommennbsp;met als elementennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . . a»ji; amp;q, b^, . . . bm^ of 0. Zoals onmiddellijk blijkt is deze determinant van denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;graad in de

onbekende x,^.

Bij elke behoort een waarde voor dus beide vergelijkingen hebbennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oplossingen.

Oneindig veel oplossingen treden echter op in het bijzondere geval, dat het eliminatieresultaat uit de beide vergelijkingen eennbsp;identiteit oplevert en ook als een van de mym^ oplossingen van x.^nbsp;de beide vergelijkingen [x-^, x^ = 0 en (%, x^ = 0 tot identiteiten maakt.

Aldus voortredenerend voor 3 vergelijkingen met 3 onbekenden komt men tot het vermelde resultaat voor n vergelijkingen metnbsp;n onbekenden.

Zoals men ziet is de mogelijkheid van 00 oplossingen een bijzonder geval.

In hoofdstuk IV waar het theorema wordt gebruikt, wordt de mogelijkheid van 00 oplossingen uitgeschakeld daar het gaat omnbsp;een formule voor het algemene geval geldig.

HOOFDSTUK I

HET BEGRIP PROJECTIEF GEGENEREERDE VARIËTEIT s HET VERBAND MET BEKENDE MEETKUNDIGEnbsp;PLAATSEN IN R, EN R,. DEFINITIES

verstaan we het stelsel vergelijkingen, dat verkregen wordt door alle determinanten van (1) van de orde r 1 gelijk nul te stellen.nbsp;De grootheden Xij zijn dan functies van de graad m in de w-dimen-sionale ruimte R«, ook wel voorgesteld door [«].

Aldus gedefinieerde variëteiten (1) noemen we ,,determinantale variëteiten”, of ook wel ,,projectief gegenereerde variëteiten”, afgekort: „p.g.v.”, welke laatste naam nog nader verklaard zal worden.nbsp;De zo gedefinieerde meetkundige plaats wordt kortweg genoteerd als (1^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\n\), waarbij p en q het aantal rijen resp.

kolommen van de matrix (1) aangeven, r de rang van (1) is en [n] aanduidt dat de meetk. plaats in een R„ gelegen is, terwijl tenslottenbsp;m de graad van de functies Xij in de puntcoördn. x^, %, . . . is.nbsp;Het blijkt dat zeer veel krommen, oppervlakken en variëteiten,nbsp;waarvan de projectieve eigenschappen zijn onderzocht, van hetnbsp;type (1) of hiervan afgeleide typen zijn.

Allereerst worden ter oriëntatie enkele voorbeelden beschouwd waarnaar later wordt terugverwezen.

§ 2 De vlakke nbsp;nbsp;nbsp;ontstaanswijze-, toepassing op de kegelsnede

Zijn de grootheden Xij hier functies van de graad in de coördinaten Xq, x-^ en xlt;j,, werkt men m.a.w. in de Rg, dan stelt (2) een 2OT-'ie graadskrommenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;voor.

Het aantal coëfficiënten van de 2wlt;i® graadskromme is

Elke minor van (2) bevat C” = | (w I) {m 2) coëfficiënten. Door geschikte keuze van de fundamentaaldriehoek kan mennbsp;zorgen dat de beide eerste 'n door de fundamentaalpuntennbsp;X,Y en Z gaan; in de beide eerste minoren vallen dan drie coëfficiënten weg.

We hebben dan dus 4 x ^ (m -{- \) {m 2) — 3 onbekenden en {2m !)(»* ]) vergelijkingen van de tweede graad. Daar m gt; 0nbsp;is, hebben we meer onbekenden dan vergelijkingen, dus steedsnbsp;zijn er oplossingen aanwezig.

Bewezen is thans dat elke nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mag worden voor gesteld door

een vergelijking (2).

Voor m = 2 stelt (2) een Ki^) voor, de Xij zijn dan quadratische functies in de puntcoördn. Xq, % en De 4 Xij’s stellen dan gelijknbsp;nul gesteld K(^gt; ’n voor. In dit geval kan men 2 van de 24 snijpuntennbsp;als cirkelpunten en nemen en M van de eerste kegelsnede alsnbsp;fundamentaalpunt O en een juist gekozen eenheidspunt. Mennbsp;krijgt dan 12 vergelijkingen van de tweede graad met 16 onbekenden.

Voor m = 1 stelt (2) een kegelsnede voor.

Algemeen is een vlakke Ki^^) dus steeds een (|2, nbsp;nbsp;nbsp;[2]).

De vergelijkingen

waarin l^ en 1-2, (variabele) constanten zijn, stellen in de snijpunten van corresponderende exemplaren van 2 projectief toegevoegde A’(quot;')-bundels voor, welke punten ook voldoen aan de vergelijking (2), dus een vormen, immers (3) is aequivalent met

waaruit (2) volgt.

Aan de vergelijking (2) van de algemene A(2»») zien we dus dat denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de meetkundige plaats is van de snijpunten van correspon-

derende exemplaren van 2 proj. toegevoegde Ki^'i-bundels. De dragers van deze beide i^(“)-bundels:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= X21 = O en x^^ = X22 = O

liggen op de voortgebrachte iï'(2»»).

Voor het bijzondere geval m = 1 krijgt men de bekende ontstaanswijze van een kegelsnede uit de snijpunten van corresponderende lijnen van 2 proj. toeg. waaiers, welke tevens gaat door denbsp;2 dragers van de waaiers.

Deze voortbrenging door middel van proj. toeg. ruimtenverzamelingen, verklaart tevens de naam p.g.v. (projectief gegenereerde variëteit).

§ 3 De 0(2»«), ontstaanswijze] toepassing op het quadratisch oppervlak Thans beschouwen we de vergelijkingen (2) en (3) in de Dg, dusnbsp;de Xij zijn nu wlt;ie machtsvergelijkingen in x^, x-^^, x^ en x^.

Nu stelt de vergelijking (2) een 0(2»») voor. Geheel analoog ziet men direct in dat elk Oi^^) door (2) kan worden voorgesteld.

Een 0(2»») is dus de p.g.v. (|2, 2|(quot;‘gt;, [3]).

De vergelijkingen (3) of ^ nbsp;nbsp;nbsp;en ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ stellen bij constante

li en I2 een doorönijdingskromme Di(»»h voor van 2 corresponderende OM’n van 2 proj. toegevoegde 0(»»)-bundels, welke D(»»b gelegennbsp;is op het 0(2»»): (2).

De variatie van l^ en l^ geeft allerlei D(»»h’w die het 0(2»») opbouwen. De basiskrommen van de beide 0(»»)-bundels: x¦^^^ =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0 en

%2 = ^22 = 0 liggen op het 0(2»»), behoren echter niet tot het stelsel K{”gt;‘)’n waartoe (3) behoren. Het tweede systeem van de het 0(2»»)nbsp;voortbrengende Ki”‘‘)’n wordt n.m.1. voorgesteld door

^12

m..

-»'22

= X21 = 0 resp. X12 ~ X22 == 0, dus de basiskrommen van de beide eerste 0(»») bundels, die de K(”‘^)’n van het eerste stelselnbsp;voort brengen.

Dit betekent:

de vier nbsp;nbsp;nbsp;hebben w® punten gemeen, een consequentie van het

nul-zijn van de boven gevonden determinant. Hieruit volgt nu een belangrijk onderscheid tussen de ruimtes en R^.

Het zojuist gevondene voor w = 1 in i?2 resp. R^ luidt n.m.1.: de rechten (3) en (4), dus de paren rechten van ,,verschillende”nbsp;soort, bepalen dezelfde puntenserie van de ofwel: denbsp;draagt één stelsel hem bepalende punten. In de R^ echter: Denbsp;4 vlakken (3) en (4), dus 2 vlakkenparen van verschillend stelsel,nbsp;hebben slechts één punt gemeen. Dit klopt met het feit dat rechtennbsp;op het van verschillend stelsel elkaar snijden. Het éh^hs dusnbsp;drager van twee verschillende stelsels rechten.

§ 4 De Ki”''! die twee punt m^-iallen van de nbsp;nbsp;nbsp;verbindt] het Otquot;®)

dat twee nbsp;nbsp;nbsp;van het 0(2»4 verbindt] toepassing op de kegel

snede en het quadr. oppervlak In de i?2 stelt de vergelijking

een voor, bevattende de nbsp;nbsp;nbsp;— 2m^ punten welke bepaald

worden door de vergelijkingen (3) en (4). Het is dus een welke de : (1) snijdt volgens de beide door (3) en (4) bepaalde puntnbsp;m^-tallen.

In de Rg. een lineaire vergelijking in Xij, dus is dit nu een 0(gt;«), bevattende de beide door (3) en (4) bepaalde K(”^°'i’n.

Voor m = 1 krijgt men resp. de verbindingslijn van 2 punten van de en het verbindingsvlak van 2 rechten van het 0(2), dusnbsp;het raakvlak aan het 0(2) in het snijpunt van de beide rechten.

10

§ 5 De nbsp;nbsp;nbsp;in R^, twee ontstaanswijzen; toepassing op de ruimte

lijke K(S)

Vervolgens onderzoeken we de vergelijkingen

In zijn dit twee nbsp;nbsp;nbsp;die = Vai = 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;punten, gemeenschappelijk hebben; (5) is dus een verzameling van 4m^ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 3m^

punten.

Interessanter zijn de vergelijkingen (5) in de R^, ze (n.m.1. (5a) en (5b)) stellen dan twee 0{^”^)’n voor, die eeni^(”»^):nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0

gemeen hebben.

De vergelijkingen (5) stellen dus een nbsp;nbsp;nbsp;: (|2, 31^”*^ [3]) voor.

Voor het geval,w = 1 krijgt men dan 2 Oi^)’n met een gemeenschappelijke generator. Zo hebben

de generator = X21 = 0 gemeen. Het derde oppervlak gaat door de Ki^) van de beide eerste, want alle punten die voldoen aan de beide eerste determinanten gelijk 0 gesteld, voldoennbsp;ook aan de derde quadr.vergelijking, uitgezonderd = X21 = 0nbsp;en dit is juist de genoemde generator.

De drie Oi^kn hebben dus de Ki^) gemeen.

bestaat uit 6 vergelijkingen en wel in de R^ : drie nbsp;nbsp;nbsp;en drie

0{m)’n. Totaal stellen ze voor een nbsp;nbsp;nbsp;dus een p.g.v.

(|2,3|(”U3]).

Uit deze vergelijkingen volgt onmiddellijk (door beschouwing n.m.1. van de drie laatste vergelijkingen); de KCSwquot;) is de meetk. plaats

11

van telkens snijpunten van corresponderende Oi*^'l’n van 3 proj. toeg. OM-bundels :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦

^11 nbsp;nbsp;nbsp;^1^21 ~ ^

1 ^2^12 nbsp;nbsp;nbsp;^1^22 ~ ^

Deze nbsp;nbsp;nbsp;is echter ook de doorsnijdingskromme van 3 Oi^^'i’n

die paarsgewijze een nbsp;nbsp;nbsp;gemeen hebben. Dragers van de 0(”*)-

bundels zijn = X21 = 0 enz., dus juist de nbsp;nbsp;nbsp;die de

aanvullen tot de volledige doorsnede van de corresponderende twee Oi^^kn.

Voor m = 1 vindt men de bekende eigenschap van de als de meetk. plaats van de snijpunten van corresponderende vlakkennbsp;van 3 proj. toeg. vlakkenbundels.

§ 6 Een nbsp;nbsp;nbsp;gaande door denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;toepassing op de ruimtelijke

De vergelijking

is in i?3 een 0(2quot;') gaande door de nbsp;nbsp;nbsp;: (5). De determinanten

\ nbsp;nbsp;nbsp;“t~ /^2^12 “h 1^3^13 — ^

\ nbsp;nbsp;nbsp;*1quot; t^2^22 ~i“ ,^3^23 ~ ^

waarbij dan Hx = m^m^' — m^m^' enz. en stellen een nbsp;nbsp;nbsp;voor

gelegen op het 0(2quot;»);

= 0,

welke deü'l^'whaanvult tot de volledige doorsnede van 2 stuks0(2gt;«)’w. Voor w= 1 stelt (6), zo fix, /M2 As variabel zijn, alle mogelijkenbsp;koorden van de voor.

12

§ 7 De en het 0(3»»); twee stelsels krommen op het 0(3»»)/ toepassing op het derdegraadsoppervlaknbsp;Als laatste voorbeeld beschouwen we

In Ro is dit een A(3«) en in 7?» een 0(3»«). De determinanten

zijn aequivalent met:

zodat (8) in een i^(6»«quot;-3»»q = nbsp;nbsp;nbsp;voorstelt. Immers (8) stelt

een 0(3«) en een voor, deze hebben een Al®”**) gemeen, hiervan wordt afgetrokken de gemeenschappelijke matrix, die een Al®”**)nbsp;voorstelt, dus is (8) een Al®»»*) gelegen op het Ol®»») : (7).

Door l-^, l^ en l^ te variëren krijgt men oo^ van zulke krommen. Twee ervan hebben gemeen de meetk. plaats voorgesteld door:

*¦11 nbsp;nbsp;nbsp;^12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Wnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;W

Xn-l nbsp;nbsp;nbsp;Xnnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;In

(10).

Twee van die krommen van verschillende familie liggen beide op het 01^»*);

13

^12

^22

^32

Wo

en vormen samen zijn volledige doorsnede met het 0(3»»); (7). Vergelijking (7) is het eliminatieresultaat vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en Ag uit de

vergelijkingen

1 ^l'3'll AgVj^g ~j~ nbsp;nbsp;nbsp;— O

1^21 “t“ A2^22 nbsp;nbsp;nbsp;^3^23 ~ O ............ (^2).

, ^1^31 ~t“ ^2^32 nbsp;nbsp;nbsp;^3^33 ~ ^

Deze stellen bij variërende A^, A2 en Ag alle Oi^l’n voor gaande door punten, dus een schoof Oi”)’n. Zo hebben we dan (de vergelijkingen zijn lineair in de A’s) drie proj. toegevoegde schoven van 0(»»)’«.nbsp;We komen aldus tot de eigenschap: Een algemeen 0(3»») is de meetk.nbsp;¦plaats van de snijdingen van corresponderende 0(»»)’n van 3 proj. toeg.nbsp;schoven.

Voor willek. A^, Ag en Ag zijn de vergelijkingen (12) onafhankelijk en elk stel A-waarden bepaalt een w^-puntental van de 0(3»»).

Er zijn nu (3'ip(’” ^)(»» 2)(»» 3)—2 —3^ waarden A die de vergelijkingen (12) afhankelijk maken. Deze waarden bepalen van de 0(3»») een Immers de determinanten van de derde orde in de A’s uit

«en matrix 3 bij C“ = ~ {m \) [m -j- 2) [m -j-3) moeten gelijk nul zijn. Dit aantal is dan; ^ (w -j- 1) (ot 2) (w 3) —3 -f 1.

Deze determinanten zijn nu alle determinanten met als elementen lineaire functies van de A’s. Ze hebben gemeenschappelijk eennbsp;matrix 2 bij 3 overeenkomende met 3 A-waarden.

Dezelfde redenering geldt voor het stelsel vergelijkingen:

I nbsp;nbsp;nbsp;1^2^21 ~f~ 1^3^31 ~ ^

\ 1^1^12 'b 1^2^22 ~b 1^3^32 “O............ (^3).

, nbsp;nbsp;nbsp;quot;b 1^2^23 ~b 1^3^33 ~ O

'Ook hier zijn er (dlup

van het 0(3»») bepalen.

ISleemt men nu in deze beschouwing, naar aanleiding van de vergelijking (7) de grootheid m gelijk aan I, dan stelt (7) een 0(3) voor;

14

(8) nbsp;nbsp;nbsp;is bij variërende A’s een oo^ grote tamiliQnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gelegen op dit 0(3);

(9) nbsp;nbsp;nbsp;stelt het punt voor dat 2 zulkenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gemeen hebben; twee

een van stelsel (8) en een K('^1 van de vergelijkingen (10), liggen samen op een O(^) bepaald door (11).

Dezelfde beschouwingen aangaande de vergelijkingen (12) en (13) leveren hier de dubbelzessen van het 0(3).

Bij de vergelijkingen (12) kan nog opgemerkt worden dat, als men Aj, A2 en A3 laat fungeren als puntcoördn. in een plat vlak, met elknbsp;punt van het platte vlak een w^-puntental van het 0(3»») correspondeert. Op het 0(3»«) zijn er echternbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ten getale van

— (ï» l)(»* 2)(» 3)—2 nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

(3 3 • nbsp;nbsp;nbsp;—3) aanwezig, die elk als geheel correspon

deren met één punt van het A-vlak.

Voor m = 1 krijgt men de afbeelding van het 0(3) op het platte vlak, 6 punten van het platte vlak corresponderen met lijnen van hetnbsp;oppervlak. Een vlakke doorsnede van het oppervlak wordt voorgesteld door een K(^) die door de 6 bijzondere punten van het plattenbsp;vlak gaat, een analoge eigenschap kan voor een vlakke doorsnedenbsp;van de 0(3»») niet gevonden worden, daar hier niet van een afbeelding sprake is.

Alvorens over te gaan tot de algemene projectief voortgebrachte variëteit, laten we eerst nog enkele definities van symbolen ennbsp;enige algemene meetkundige eigenschappen volgen.

§ 8 De symbolen [«] (0/ D») en ]r[(»»),' algem. meetk. eigenschappen Onder het symbool Rn of [«] wordt verstaan de verzameling vannbsp;co« punten, die lineair afhankelijk zijn van (w -f- 1) onderling onafhankelijk gelegen punten. Duaal tegenover de r-dimensionalenbsp;ruimte [r] staat de r-dimensionale ,,ster”: ]r [(i), dit is de verzamelingnbsp;van 00»¦ variëteiten van de eerste graad en dimensie {n — 1), ondersteld dat we in de Rn werken. ]r[(i) is dus in Rn een oo»quot; grotenbsp;verzameling vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(d.i. primes), lineair afhankelijk van een

stelsel van (r-|- 1) nbsp;nbsp;nbsp;die onderling onafh. ligging hebben.

Zoals een punt in Rn ook kan worden beschouwd als drager van een «-tal Rn-i’n of van n quot;V^^’n, kan men ook, uitgaande van eennbsp;punten-(w”)-tal, dit opvatten als drager van n stuks V^l’n waarbijnbsp;vi’ü] dan een «¦lt;J®-graads ,,prime” is.

15

Onder ]r[{»*) zullen we verstaan de verzameling van co’’ nbsp;nbsp;nbsp;in Rn.

Thans volgen enige veelvuldig voorkomende eigenschappen van de ruimtes en sterren in

In [w] hebben [r] en [s] bij algemene ligging t.o.v. elkaar een [r 5 —«] gemeen.

Immers een [r] is bepaald door r 1 punten, noemen we [a] de ruimte met onbekende dimensie die gemeenschappelijk is aan [r]nbsp;en [s], dan moet in elk geval voldaan worden aan de ongelijkheid:

(r l) (s l) — (a l)lt;w l of r s — alt;w, agt;rH-s—n. Bij algemene ligging geldt het gelijkteken.

In [n] is de vertex (d.i. de ,,drager” van de ster) van een ]s[(”») een

* n-s-1 nbsp;nbsp;nbsp;•

De ster ]s[('») is n.m.1. bepaald dooreen (s l)-tal nbsp;nbsp;nbsp;deze

hebben een nbsp;nbsp;nbsp;gemeenschappelijk.

De vrijheidsgraad van de projeatieve betrekking tussen twee \n\’n is n^ 2n. Idem (dualiteit) voor 2 ]m[(i)’w.

De projectieve toevoeging geschiedt n.m.1. door middel van een determinant met (w 1) rijen en kolommen, dus totaal {n j- 1)^nbsp;elementen die bepaald moeten worden om de projectiviteit vastnbsp;te leggen.

De vrijheidsgraad is dus (homogeniteit) (w 1)^— 1 =n^ nbsp;nbsp;nbsp;2n.

Een r-voudig gedegenereerde Rs in Rn is een Rs-r oo»' maal geteld. Analoog definiëert men een z-voudig gedegenereerde ster ]s[ innbsp;]n[ als de snijding van een gewone (d.i. niet gedegenereerde) ]s[nbsp;in [n r] door een [«], gaande door de vertex van de eerste.nbsp;Evenzo de r-voudig gedegenereerde ster ]s[(«). (Zie §9).

§ 9 De relatie tussen twee r-voudig gedegenereerde sterren De relatie tussen 2 r-voudig gedegenereerde sterren ]s[(»') moetnbsp;nader beschouwd worden. Men kan deze ontstaan denken doornbsp;middel van de relatie tussen een gewone ]s[(“) en een- r-voudignbsp;gedegenereerde ster ]s [(»»).

Daartoe beschouwen we als voorbeeld de relatie tussen twee enkel-

16

voudig gedegenereerde sterren ]1[W in de R^. De gewone ster is dan een bundel m-^’^ graadskrommen in het platte vlak.

Om de enkelvoudig gedegenereerde ]![(»») te krijgen snijden we, volgens definitie, in de een bundel van w'i® graadsoppervlakkennbsp;met een w'*® graadsoppervlak, gaande door de basiskromme vannbsp;de bundel oppervlakken. Op dit oppervlak hebben we dan eennbsp;enkelvoudig gedegenereerde ]![(“).

Met een algemene graadskromme van de niet-gedegene-reerde ] 1 [(») correspondeert steeds de vertex van de bundel graadsoppervlakken in R^. Er is echter één bepaalde ifl») dienbsp;correspondeert met het gekozen snijoppervlak van de bundelnbsp;oppervlakken, zodat dezenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;correspondeert met de „ruimte”

waarop zich deze ster bevindt in dit voorbeeld n.m.1. een Het kenmerkende van de correspondentie tussen 2 (enkelvoudig)nbsp;gedegenereerde sterren is dus, dat met één bepaalde ,,prime” vannbsp;de eerste ster de gehele „ruimte” van de twegde ster correspondeert en omgekeerd met één bepaalde prime van de tweede sternbsp;de gehele ,,ruimte” van de eerste ster correspondeert, een resultaatnbsp;dat later gebruikt zal worden.

Hetzelfde verschijnsel treedt op bij meervoudig gedegenereerde sterren.

HOOFDSTUK II

ALGEMENE EIGENSCHAPPEN VAN DE PROJECTIEF GEGENEREERDE VARIËTEITEN

§ 10 Definitie van de variëteit {\f, gj(«*), [n]); zijn vergelijkingen Onder het symbool {\p, q\[»]) verstaan we de variëteit, die voortgebracht wordt als de meetk. plaats van de snijdingen van corresponderende 'V^l’n van q proj. toegevoegde ]p —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in de

R„. De corresponderende ylfffl’n kunnen worden genoteerd als AaXal = 0, AaXa2 = 0 . . . AaXaq =0; a = \ ,2, . . . p.

De [\p, 5'](”*), [m]) is de meetk. plaats van de punten die aan deze vergelijkingen voldoen voor variërende U’s.

In het algemeen zullen de vertices van de q sterren ']p — 1 [(”*) een willekeurige stand in [n] ten opzichte van elkaar innemen en de pqnbsp;qn-Ae graadsfuncties Xap in de puntcoördn. Xq, %, . . . Xn willekeurignbsp;zijn.

De gevonden vergelijkingen kunnen kortweg genoteerd worden als:

a = \,2, . . p.

AaXap = 0 P = \ ,2, . . q. en Xap'= F*quot;* 1 s d^ps x$

(5 = 0, 1, . . n.

waarbij nbsp;nbsp;nbsp;een graadsfunctie in xs aanduidt.

Voor p^q kan men Aa uit (14) elimineren en krijgt dan als elimi-natieresultaat de vergelijkingen \\xa^\\p-i = i) ........... (15).

§ 11 De variëteiten {\p,q\^™\ \n]) en {\p,q\^'^\ [«'])

Voor n'wordt de variëteit [\p, qj'^h [n']) voorgesteld door dezelfde vergelijkingen (14) en (15), alleen zijn Xag nu i.p.v. m-A^nbsp;graadsvergelijkingen in Xg, %, . . . x„ dit in Xg, x^, . . . x„’.

Dus geldt de stelling:

Stelling 1. De var. {\p, qj.”'\ [w']) is de algemene door snij dings figuur van een \n''] met een {\p,q\^*^\ [n]) waarbij steeds p'^qnbsp;wordt ondersteld, (verklaring van dit laatste in § 12).

2

18

§ 12 De dimensie van [\p,q\^'^\ \n\)

Voor p'^q bestaat de variëteit {\p, q\^”'\ [«]) uit oo^quot;^ stuks gt;n (de vergelijkingen (14) zijn immers q in getal, van de graad m in \n\nbsp;en elk bevat p parameters X) dus cof-i variëteiten van de dimensienbsp;n — 5' of de dimensie is totaal {n — q) {p ¦— 1) — n — q p — 1-Deze dimensie moet gt;0 zijn.

Dus moet de ongelijkheid n — q p — 1^0 gelden of n — q-{-p ^ 1, n —[q—¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 1.

Nu is ondersteld p^q dus q^— nbsp;nbsp;nbsp;gt; 0, nodig is dan ngt; q — p,

voldoende hiervoor is n'gt;q. Dus is bewezen de stelling;

Stelling 2. De dimensie van een {\p,q\^”'\ ['n])is n-plt; q’^n.

Voor n lt; q — /gt; 1, dus negatieve dimensie, wordt door de vergelijkingen nog wel een variëteit gedefiniëerd, maar bij een zekere waarde van la is niet een bepaald puntental aan te wijzen datnbsp;aan de vergelijkingen voldoet.

Voor pgt; ngt;q geldt: de dimensie van de gedefinieerde variëteit is dus de variëteit vult de gehele Rn op. Wegens pgt; qnbsp;zijn de I’s niet uit de vergelijkingen (14) te elimineren.

Voor pgt; qgt; n is de dimensie gt;w, met elk punt van de Rn corresponderennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onafh. waarden van {^a}-

Indien er niets bij ondersteld wordt geldt voor de variëteit (1^, 5'j(»»), [w]) steeds de ongelijkheid p^q. Deze onderstellingnbsp;geldt niet voor de nog nader te definiëren variëteit {\p, qf^\ [w]).nbsp;Zoals nog zal blijken is in de variëteit {\p,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[w]) r = p — 1.

(Zie blz. 22, het einde van § 16).

§ 13 Definitie van de variëteit {\p,q\^Pquot;\ [«]); zijn vergelijkingen Onder het symbool {\p, q\^^^gt; {n\) verstaan we de variëteit dienbsp;voortgebracht wordt door de snijding van corresponderendenbsp;’n van q projectief toegevoegde ']p -— 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’n in de R^] n groot

genoeg ondersteld voor het bestaan van de variëteit.

De vergelijkingen van deze variëteit zijn

19

Elke vaste waarde van /3 geeft [p m-de graad zijn homognbsp;(16) luiden uitgeschreven:

X21 — ^2/^1 • • •

L2 ~ ^li^2 nbsp;nbsp;nbsp;^22 ~ ^2/^2 • • • ^P^ ~ ^Pf^2

(Vlg =: X-^piq X2q — nbsp;nbsp;nbsp;. . • Xpq = kppiq.

Eliminatie van de A’s geeft het stelsel:

Eliminatie hieruit van de pi’s levert o.a.

I ^12 ^22

I ^13 ^23 wat volgt uit deling op elkaar van de beide eerste gelijkheden innbsp;bovenstaand stelsel gelijkheden.

Het eliminatie-resultaat is dus 11 nbsp;nbsp;nbsp;11 ^ = 0.

§ 14 De dimensie van {\p, q\^^\ [n])

Aan de vergelijkingen (16) zien we: de variëteit bestaat uit co^“^ variëteiten {p homogene parameters Ao), bepaald door q rijennbsp;van elk [p — 1) vergelijkingen van de m-de graad, dus stuksnbsp;’n d.i. totaal een

w-^ 1 nbsp;nbsp;nbsp;q{n-p’\-l)-[q~l)n

De dimensie is dus n — [p — 1) {q — 1), derhalve luidt de stelling: Stelling3. Dedimensie vaneen {\p,q^}^\ \n\) isn — (p— 1) (q— 1).

20

Opmerkingen;

I. nbsp;nbsp;nbsp;{\p,q\^^\ [n]) en {\q,p\''™\ [n\) als puntverzamelingen, vormen

wegens de symmetrie van de vergelijkingen (16), eenzelfde variëteit. Ze bestaan uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;resp. oo^“^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;w.

II, nbsp;nbsp;nbsp;Terwijl hier in de formule voor de dimensie p en q onderlingnbsp;verwisselbaar zijn, is dit niet het geval voor de variëteit waarvannbsp;in de stellingen I en 2 sprake is.

§ 15 Definitie van de algemene p.g.v. {\p,q\l”\ [w])

Thans gaan we over tot de bespreking van de algemene proj. gegenereerde variëteit als de meetk, plaats van de snijdingen van de 00’’^^“'’^ stellen corresponderendenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van q proj. toeg.

]p — 1 [(’”') ’n in de Rn-

In deze definitie moet aangetoond worden dat er nbsp;nbsp;nbsp;variëteiten

te halen zijn uit

(P — nbsp;nbsp;nbsp;snijden elkaar volgens eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Dus wordt ge

vraagd: hoe dikwijls zijn er {p — r) 'n te halen uit oo^quot;^ variëteiten in RJ

Dit aantal is [p — r) {p — 1) — {p — r) {p — r — 1) = r — r) daar algemene ligging der Y^l ’n ondersteld wordt.

§ 16 De vergelijkingen en de dimensie van de algemene p.g.v.

De algemene variëteit heeft als vergelijkingen: a = \ ,2, . . . p

= 0 P = \,2, . . . q en ;ra|8 = nbsp;nbsp;nbsp;18 da^z xs . . (17).

e = \ ,2, . . . {p —r)

Immers voor ^ = 1 luiden deze:

^11^11 nbsp;nbsp;nbsp;^21^21 ~f~ ^31^31 “l~ . . . :........AplXpl = 0.

^12^11 ~t~ ^22^21 nbsp;nbsp;nbsp;^32^31 ~l~............“b ^p2Xpl = 0.1

Al, p-rXj^j^ -f- A2, p-rX2i T A3, p-fX^^ “b . . . -|“ A^, p-rXpi = 0.

dit is een nbsp;nbsp;nbsp;want het zijn {p — r) vergelijkingen van de w'ie

graad.

21

Zo krijgt men q van deze varëteiten met dezelfde coëfficiënten

dus 1 P™i-

De variëteit bestaat dus uit oo ’’ stuks nbsp;nbsp;nbsp;‘n, heeft dus de

dimensie; r {p — r) n — q [p — r) = n — {p — r) {q — r), een formule symmetrisch in p en q die als bijzonder geval st. 3. inhoudt, dus:

Stelling 4. De dimensie van {\p,q\^^\ [n]) is n — [p — r) {q — r). Om de ^ae te elimineren schrijven we de vergelijkingen (17) uit:nbsp;^11^11 ~t“ ^21^21

“b ^•2,p-rX2x ~b • • ~b ^p,p-rXpl —' 0

Aii%2 ^21-^22 nbsp;nbsp;nbsp;.........^pl^P2 — 0

^12^12 nbsp;nbsp;nbsp;^22^22nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;........ * “1” ^-p2Xp2 = 0

^ Alj p~r^l2 ^2, p-r^22 nbsp;nbsp;nbsp;^P, p—r^Pf quot; ^

“1“ ^21^2g “fquot;.........4“ ^pl^pq = 0

I ^12^1? “h ^'•22^2(7 H“.........“h ^p2^pq = 0 , ^1, p-r^lq -J- ^2, p~r^2q -j- . . -j- p-r^pq — 0

Beschouwt men nu de eerste rij vergelijkingen: dus telkens de eerste vergelijkingen van de q stelsels vergelijkingen, dan heeft mennbsp;hier q vergelijkingen met p A’s met als oplossing {

Het eliminatieresultaat hiervan is: de determinanten van de p-^^ orde = 0 uit \lxa^ j|.

Men ziet nu verder dat het beschouwde stelsel van q vergelijkingen ook nog tot oplossing heeft;

{ ^12gt; ^22gt; • •' nbsp;nbsp;nbsp;• • • { ^1, p-’’gt; ^2, p-r, • ¦ ^p, p-r},

dus er zijn totaal p —r oplossingen {Ai/}. De rang van de matrix moet dus p — {p — r) = r zijn.

Het eliminatieresultaat luidt dus tenslotte || Xap = 0 ... (18).

22

Daar deze vergelijkingen symmetrisch in p q zijn, stellen zij ook eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;W) voor, bestaande uit 00’'^®“''^ stuksnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’m.

Thans is het ook duidelijk dat nbsp;nbsp;nbsp;W) en {\p, q\^^l, \n\)

dezelfde variëteit voorstellen, immers de laatste ontstaat uit de

snijdingen van 00

]/gt; — 1 [W ’n in Rn en dit is juist de definitie van de variëteit {\p,q\(^h [n]).

Gebruik makend van de beide, in de inleiding vermelde, eigenschappen betreffende een hoofddeterminant van een matrix, kan men de stellingen 2, 3 en 4 ook langs een andere redenering bewijzen.nbsp;Immers de variëteit {\p, q\^^\ [n]) wordt bepaald door van eennbsp;matrix p bij q alle determinanten van de orde (r 1) gelijk nulnbsp;te stellen. De tweede der genoemde stellingen nu zegt, dat vannbsp;deze vergelijkingen er {p — r) [q — f) lineair onafhankelijk zijn.

In Rn heeft men dus {p — r) [q — r) vergelijkingen in de punt-coördn. van de graad nbsp;nbsp;nbsp;De dimensie van de hierdoor bepaalde

variëteit is dus n — [p ¦— r) {q — r).

Evenzo is de dimensie van {\p, g'|(«), [n\) gelijk aan n — q p~\, daar er hier nu sprake is van {q — p 1) vergelijkingen in denbsp;puntcoördn.

Het feit dat in beide gevallen van de gevonden variëteit een deel, n.m.1. de doorsnijding ervan met een andere variëteit, afgezonderd moet worden, verandert niets aan de dimensie (wel echternbsp;kan de graad veranderen).

§17 De variëteiten {\p, q\^^i, \n]) en {\p, q\^™\ [n\)] meervoudige ligging van de eerste variëteit op de tweedenbsp;Zoals gedefiniëerd is, is {\p,q''!'^\ [n\) de meetk. plaats van denbsp;00'’ stellennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’n van q proj. toeg. ]p ¦— 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;n in Rn. Daar

nu {\p, 5'|W, [ni) de meetk. plaats is van de snijpunten van corresponderende V^l’n van q proj. toegevoegde ip — 1 ’n en omdat {p — r) variëteitennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bepalen, kan men

concluderen dat {\p, q\^^\ [n]) meervoudig is gelegen op {\p, q\^”^\ W) == {\P. 7lp-i. W) ¹) of algemeen:

1

p—\ is n.m.1. de grootst mogelijke waarde die r kan bereiken.

23 nbsp;nbsp;nbsp;'

Stelling 5. (l/gt;, nbsp;nbsp;nbsp;[w]) is meervoudig gelegen op {\p,q\^^\ M).

Ook is deze stelling aldus te bewijzen:

{\p,q\^^\ [ri]) en {\p,q\^^, [«]) hebben dezelfde matrix, maar de tweede variëteit heeft meer onderdeterminanten die = 0 zijn.nbsp;Elk punt van de tweede variëteit ligt dus ook op de eerste. Bepaaltnbsp;men nu in een punt van de tweede variëteit aan de eerste de raakruimte, dan moet men de vergelijking van de eerste variëteit differentiëren en krijgt als coëfficiënten, vormen lineair in de determinanten ||Xa|3l]^_j, die wegens \\Xag\\f_i =0 ook =0 zijn.

De raakruimte is dus in zo’n punt onbepaald, dus de meetk. plaats van deze punten ligt meervoudig op de eerste variëteit.

§ 18 „Variëteiten tot dezelfde matrix behorend” en het begrip „sleutel-variëteit”

Variëteiten [ j Xag [ |r = 0, dus variëteiten met dezelfde matrix en verschillende waarden voor r, heten „variëteiten tot dezelfde matrixnbsp;behorendquot;.

De verzameling variëteiten {\p, nbsp;nbsp;nbsp;[n]) voor variërende waarden

van n daarentegen, wordt de „pq-serie” genoemd.

Van deze pq-serie onderscheidt zich één variëteit, de z.g. sleutel-

varièteit waarvoor geldt: ^ nbsp;nbsp;nbsp; 1) (w -|- 2).. (w m) — i = pq — 1 •

Hiervoor zijn dan alle Xag onafhankelijk en voor m = 1 kunnen ze tevens dienst doen als homogene coördn. inde \n] — [pq—1].nbsp;Uit stelling 5 volgt onmiddellijk dat alle variëteiten tot dezelfdenbsp;matrix behorend, met rang r lt;p — 1, meervoudig op {\p, qfp”fl, \n])nbsp;gelegen zijn, daar toch {p—\) de grootste waarde is die r kannbsp;bereiken.

Een voorbeeld van een sleutelvariëteit in R^, voor m = 1, luidt: immers hier is pq = 4.

De variëteit is dus een 0(2) door O.

Voor m = 2errn = 2 (dus in de geldt pq = 6, daar de vrijheidsgraad van kegelsneden in het pl. vlak 5 is. Dus heeft de variëteit tot vergelijkingen:

waarbij ai = Aix'^ Bixy Cij^ Dixz Eiyz FiZ^.

Volgens stelling 1 is de dimensie van deze variëteit nul. De matrix stelt 2 krommen van de 4-de graad voor die 16 ptn. gemeenschappelijk hebben, waarvan er 4 moeten worden uitgeschakeld. Dezenbsp;sleutelvariëteit bestaat dus uit een 12-tal punten.

Tot slot het geval m = 2 en w = 3. Dan geldt pq =¦- 10, want de vrijheidsgraadvanoppervlakken van de tweede graad in de is 9,nbsp;de variëteit is van de gedaante;

waarbij dan ai = Aix‘^ Biy^ nbsp;nbsp;nbsp; Eixy -|- Eixz -f- .. =0.

Passen we hierop de dimensie-formule toe, dan is het resultaat •— 1. Inderdaad geldt hier n lt; q — ^ 1. zodat hier niet van een eigenlijke variëteit sprake is (zie het opgemerkte na stelling 2).

Opmerking: De eenvoudigste sleutelvariëteit, voor w = 1, is in i^aoiet \\xqX-^^x^\\^^q = 0, algemeen in i?„niet: \ \x^Xj^ . . .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0,

daar de definitie van greep eist dat minstens één der coördn. yé 0 is.

§ 19 De variëteit )\p,q\^^\ [«](; zijn dimensie )\p,q\^^\ [w]( is de gedeeltelijk duale van de algemene variëteitnbsp;n.m.l. de meetk. plaats van de verbindingen vannbsp;met elkaar corresponderendenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’n van q projectief toe

gevoegde

‘Zoals bekend is bestaat {\p, nbsp;nbsp;nbsp;[n]) uit 00''^^“''^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’n.

,,Duaal : codP-f) nbsp;nbsp;nbsp;’n, de dimensie van )\p, q\'f^\ [w]( is

dus r {p —r)^pq — qr — 1 =pr—r^^pq—qr—1 ={qEr){p—z)—1, een uitkomst onafhankelijk dus zowel van m als van n, vooropgesteld weer dat n groot genoeg is, dus ngt; [q E r) (p — r) — 1.

Opmerking: De variëteiten {\p, nbsp;nbsp;nbsp;{n]) en {\q, pfj^\ [nj)

met dezelfde matrix zijn identiek wegens de symmetrie van de vergelijkingen \\xap\\r = 0; zij worden voortgebracht door

De beide variëteiten )\p,q\^^\ [w](

25

en )\q,p\^^\ [w]{ echtér zijn verschillend, wat o.a. te zien is aan de formule voor de dimensie van [\f, [nX) resp. )\p, q\^^\ [w](;nbsp;in de eerste: n — [p — r) {q — r) mogen p en q met elkaar verwisseld worden, in: (? r) — r) — 1 echter niet. Wel geldt datnbsp;)\p,q\^^f, [w](en )|5',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[w]( identiek zijn, wat direct is in te zien.

§ 20 De vertices van de ]p — 1 [(»«)’w en ]q — 1 [(^X’n door een punt van V*'’^ = {\p, q\[^\ [n]) gaande

Bij een punt van V = {\p, §’{(”*), [«]) behoort in het algemeen één stelsel waarden {Aa}, m.a.w. algemeen is het punt de doorsnijdingnbsp;van slechts één stelsel van q variëteitennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;afkomstig van q

proj. toeg. ]/gt; — 1 [(”*) ’n.

Behoren bij één punt echter twee grepen {^.a}, dan is dit punt het snijpunt van q corresponderendenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m.a.w. dan is het tevens

een punt van nbsp;nbsp;nbsp;= [\p, q\^^2gt; [”])nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n.m.1. opgebouwd is uit

Correspondeert in het algemeen een punt met r grepen {^}, dan ligt dit punt tevens opyCl = [\p, q\^^\ \n\) =nbsp;= {\q,p\^^\ [w])- Het is dan de doorsnede van corresponderendenbsp;V^_,_7 ’n van proj. toeg. '\p — 1 [^”*1 zowel als van corresponderendenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van proj. toeg. ]q — 1 [(”*gt; ’n, al naargelang van de wijze

waarop men zich de variëteit ontstaan denkt.

Door elke nbsp;nbsp;nbsp;gaan p — r onafh.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;terwijl de q corresponderendenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;elkaar snijden in eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;die de vertex

is van een der Iq — 1 [(»*)'» die eveneens de variëteit doen ontstaan. Dus geldt:

Stelling 6 Elk punt van F^)— nbsp;nbsp;nbsp;[w]) dat niet tevens op de

= (!/gt;, nbsp;nbsp;nbsp;[^]) gelegen, is een punt van de

vertices van [p — r) onafh. '\q — 1 !(”*) ’« en van {q — r) onafh. ']p — 1 [(’”) ’n welke de variëteit V voortbrengen. Ditnbsp;laatste wegens de symmetrie van p en q in de formules van V.

Passen we deze stelling toe op V {\p, q\^”^\ [w]) = {\p, q\^p% [n]): elk punt van V is een punt van de vertex van één 'jq — 1 [fquot;®) ennbsp;evenzo van [q — p 1) onafh. — 1 [(™) ’n.

Opmerking: In het bewijs van deze stelling is sprake van N^^'n ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waarom geëist moet worden: ngt;qgt;p. Echter

26

ook voor n lt; q blijft de stelling gelden; elke variëteit van een fq-sexie is immers de doorsnede van een andere variëteit metnbsp;dezelfde matrix (zie § 18). De — I [(”»)’w en — 1 [(“)’w kunnennbsp;dan gedegenereerd zijn.

§ 21 De variëteiten {\p —i, q\{™), [n]) en {\p, q i\M, [»]) zijn op de variëteit V = {\p, q\i.”'), [w]) gelegen', hun vrijheidsgraad ¹)nbsp;op V

De variëteit Y = [\p, q\('»h, \n]) wordt voortgebracht door o.a. q stuks quot;\p — 1 [(¹”) ’n.

Met een ]/gt; — i — I [(“) correspondeert in een tweede ]/gt; — 1 [(«) wegens het projectief-toegevoegd-zijn, een andere ]p — i — 1 [(”¹) enz.nbsp;Deze ]p — i —I [W'w [q in getal) brengen dus eenl(|^—i, q\iquot;‘\[n])nbsp;voort op de V gelegen. De vrijheidsgraad van deze {\p—i, ^|W,[w])nbsp;is gelijk aan die van de ]/gt; — i — 1 [(»»)’w in — 1 [W. Om deze tenbsp;bepalen vragen we ons af: wat is de vrijheidsgraad van {p — i)nbsp;onafh. ’n in eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;grote verzameling van Vj^^l ’n?

Dit aantal is, zoals direct is in te zien;

[p —i) [p — \) — [p — i) [p — i ¦

Dus:

i '^) [n 2) . . . [n m) — {q i)\^ ²)•

Voor het bewijs van 7.6. vragen we naar de vrijheidsgraad van ƒ onafh. 'lp — 1 [(“)’w. Het systeem ]/gt; — 1 [W'w, dat V voortbrengtnbsp;is [q— l)-voudig. De gezochte vrijh.graad is nu gelijk aan:

de vrijheidsgraad van j ^p — 1 [W’jt.................. (a)

verminderd met die van ƒ van zulke ]/gt; — 1 [(«¹)’w. in het systeem van

1

In hoofdstuk III worden twee vrijheidsgraden gedefinieerd: /s en/t,. Hier wordt steeds fs bedoeld.

2

*?) Stelling 11, blz. 36 levert deze grootheid langs geheel andere weg, stelling 9 moet dan bekend worden ondersteld.

27

QQ? j-i sterren — 1 [(»*)................................ (/?)

vermeerderd met de vrijheidsgraad van de relaties van de

ƒ sterren ]/gt; — 1 [(“) met een gegeven ']p — 1 [(“)....... (y).

De grootheid (a) wordt aldus gevonden:

Een — 1 is bepaald door p variëteiten Een heeft de vrijheidsgraad;

=J^,(n l)(n 2)...(n m)-l,

dus de vrijh.graad van een ]/gt; — 1 [(quot;*) is

^(n l)(n 2)..(n m)—p — p(p — l).

Voor ƒ stuks ]p — 1 is deze vrijheidsgraad dus

(^ 1) nbsp;nbsp;nbsp; 2) . . (w m) —^1...... . nbsp;nbsp;nbsp;(a)

{/3): Dit aantal is zoals direct is in te zien ƒ(§' ƒ — 1)...... (|8)

(y): Elke correspondentie tussen twee — 1 [(»»)’« heeft een vrijheidsgraad p^ — 1, dus het nbsp;nbsp;nbsp;gezochte getal is j {p^ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1)..... (y)

Hierbij dient opgemerkt te nbsp;nbsp;nbsp;worden dat, als de relatienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tussen de

ƒ nieuwe ']p — 1 nbsp;nbsp;nbsp;met een der oorspronkelijke ']p — 1 [W’n

bepaald is, automatisch nbsp;nbsp;nbsp;alle correspondentiesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tussennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de '

oo? Ei sterren ip — 1 [(»*) bepaald zijn.

(a) — (/9) (y) geeft het gevraagde getal:

ƒ 1^1 (« 1) (w 2) . . (w w) — (? /)|.

Opmerking bij de stellingen l.a. en 7.6.: voor V is ondersteld p'^q-

Hieraan is zeker voldaan bij de beide andere variëteiten, immers geldt; p — \lt;qamp;nplt;q j.

28

§22 De vergelijkingen van de variëteiten {\p—i,q\^‘^\[n]) en {\p,q i\(”\[n])

Stelt = o de — 1 voor behorende bij V = (\p, q\(”^), [n]), dan stellen Aa^ajS = 0 en Xakap = 0, q = \,2, . .i, '\p — i — 1 [(«)’wnbsp;voor die een {\p — i, [n]) voortbrengen. Luiden de vergelijkingen van V: \\Xa^\\p_^ = 0, dan zijn die van (j^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[«]);

a = 1,2,../).

= 0 nbsp;nbsp;nbsp;p=\,2,..q.

Q = 1,2,.. i.

Deze laatste vergelijkingen kunnen worden teruggebracht tot de gedaante \\Xp'^\\p-i-ï_ =0, q' = \ ,2, .. p — i, door n.m.1. met behulp van multiplicatoren an,n = \ ,2, . . i de rechter beneden-determinant van de r^e orde van

Xa^

^ap

terug te brengen tot de eenheidsdeterminant. Die matrix wordt dan

t gnbsp;i

Om de vergelijkingen voor {\p, q nbsp;nbsp;nbsp;[w]) te verkrijgen moeten

we nu ƒ onderling lin. onafh. ]p — 1 [(»)’« aan de q sterren ]p — 1 [(”*) toevoegen, dus Hayao = 0, u = 1,2, . . ƒ. De vergelijkingen worden dan;

a = \,2, . . p.

= 0 )S=1,2,

o- = 1,2, . . ƒ.

Thans is het verder duidelijk dat de vergelijkingen van een {\p — i,q -f ƒ W) gegeven worden door

yaa

k

-0

29

§23 De snijvariëteit van [\f — j.', ^|(”*), [w]) en {\p, q[n]) op V gelegen, is {\p,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[n])

Uit de gevonden vergelijkingen voor de {\p — i, q\i^), [n]) en {\p, q -i-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[n]) op V, volgt direct dat deze variëteiten gemeen

hebben {\p, nbsp;nbsp;nbsp;M), welke behalve op V (dit is volgens st. 5.)

ook meervoudig op (\p — i, ^[(»«), [«]) en {\p, q ~\-i\(''^'gt;, [n]) gelegen is. Immers de vergelijkingen van de beide laatste variëteiten luiden:

en

terwijl de vergelijkingen van [\p,q\^”l_^, [w]) luiden;

I ! Xag = 0.

Door de beide eerste vergelijkingen te differentiëren en te bedenken dat de determinanten van Xa/3 van de orde {p — i) gelijk nul zijn, ziet men in dat inderdaad de coëffn, van de raakruimtenbsp;in een punt van {\p,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[w]) gelijk nul zijn.

Ten slotte is aan de vergelijkingen van {\p — i, [m]) ook nog direct te zien; {\p—'i, ^'jW, [«]) en {\p — i', g'jW, [w]) liggen op Vnbsp;en hebben de variëteit {\p •—i — i', q\{’»^), [n]), (eveneens op Vnbsp;gelegen, wat ook door middel van st. 5. is in te zien), gemeen;nbsp;indien igt; i', dan is deze enkelvoudig op {\p—[w]) ennbsp;meervoudig op (j^—i', q\^‘^\ [w]).

30

§ 24 Snijding van nbsp;nbsp;nbsp;met een bijzonderenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;levert

[n~P i])

De variëteit Y = {\p, q\{'gt;”), [n]) wordt opgebouwd door b.v. q sterren ]/gt; — 1 [(»»).

We bepalen nu de snijfiguur van deze V met een nbsp;nbsp;nbsp;die de

vertex is van een ]p — i — 1 [(»»), die een van de de V voortbrengende sterren is. (Is i gt; 0, dan is deze dus gedegenereerd). De snijfiguur wordt bepaald langs de volgende redenering:

De met elkaar corresponderende Y^^^n van de overige [q — 1) ~\p — 1 [W’w die de V opbouwen, snijden de vertex volgensnbsp;een [\p, q— 1 ](«*), [n — p Y i])- Deze variëteit is in elk geval eennbsp;deel van de doorsnede van de Y^_^l met V, daar door elk puntnbsp;van de nu gevonden variëteit Yj^l’n van {q —^ 1) sterren ]p — 1nbsp;gaan en alle ’n van de ^-de — i [(«»). De gevonden variëteitnbsp;is de volledige doorsnede, omdat elk punt van V Y^”l’n bevat van qnbsp;projectief toegevoegde ]p — 1 [(«»)’«. Daar dezelfde beschouwingnbsp;geldt voor de V*’’^ = {\p, q\^^\ [»]), is hiermee de volgende stellingnbsp;bewezen:

Stelling 8. Een nbsp;nbsp;nbsp;die de vertex is van een ']p — 1 \j‘^\ die

voortbrengt, snijdt Y^'^ volgens een variëteit [\p,q — I [n — p f]), dus volgens een variëteit van een dimensienbsp;die 1 hoger is dan de algemene Y^^\-doorsnede van V^'’\

Voorbeeld: Zie de vergelijkingen (5) blz. 5.

Voor OT = 1 en w = 3 stellen deze vergelijkingen een jK'IS) = (|2, 3|(i), [3]) voor, dus p 2, g' = 3, n = 3 en f = 0. Denbsp;snijfiguur van dezenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;met zo’n bijzondere V(^* = [1] is een

(|2, 2|(i), [1]), dus tweeproj. toeg. ]1 p) «op die [1] d.i. 2 proj. toeg. puntenreeksen op die rechte. Deze collocale reeksen hebben 2 puntennbsp;gemeen dus de snijvariëteit bestaat uit twee punten, heeft dus denbsp;dimensie 0 en de rechte is bisecant van de Ki^). Een willek, rechtenbsp;heeft geen punten met de if (3) gemeen, de dimensieformule geeftnbsp;in dit geval als uitkomst: — 1.

HOOFDSTUK III

DE VRIJHEIDSGRAAD VAN EEN PROJECTIEF GEGENEREERDE VARIËTEIT

§ 25 Twee begrippen vrijheidsgraden: fs en fv Onder de variëteit V kunnen we verstaan de kromme, het oppervlak, ,,het hyperoppervlak”, dat de meetk. plaats is van de snij-figuren van corresponderende yjjül’n van projectief toegevoegdenbsp;sterren; dus alleen de m.p. zelf, zonder de hem voortbrengendenbsp;meetk. figuren te beschouwen. De variëteit aldus bezien noemennbsp;we V, de hierbij behorende vrijheidsgraad fvnbsp;Ook kan men de bovengenoemde meetk. plaats met de hem voortbrengende elementen beschouwen. Deze variëteit, dit systeemnbsp;duiden we aan met S en de vrijheidsgraad met fs. [V variëteit,nbsp;S systeem).

Uit de definities van fs en /„ volgt direct de ongelijkheid: fv ^ /s, daar soms oo tot een bepaalde macht genererende systemen tenbsp;vinden zijn bij één en dezelfde variëteit.

§ 26 Algebraische bepaling van fs

1) Allereerst bepalen we fs langs algebraïsche weg.

Zoals reeds bekend luiden de vergelijkingen van V:

dus q vergelijkingen, elk weer bestaande uit p vergelijkingen van de graad in (w 1) homogene coördn., verbonden door p A’s.nbsp;Daar men elk der q vergelijkingen door een constante kannbsp;delen zonder een ai^ere V te verkrijgen en elke vergelijkingnbsp;bepaald wordt door {pT'^^y — 1) coëffn., is het aantal ,,effectieve”,nbsp;d.i. niet-homogene constanten in dit stelsel vergelijkingen;

\) = pq nbsp;nbsp;nbsp; \) {n 2) ... {n -\- m)

32

Er zijn nbsp;nbsp;nbsp;sterren waaruit men er q kan halen, zodat er

van de vergelijkingen (14) gevonden kunnen worden die dezelfde V voorstellen; dus fs is q {q — 1) minder dan het gevonden aantalnbsp;niet-homogene constanten.

Dit feit wordt algebraïsch uitgedrukt door de mogelijkheid ^aXap = 0 te vervangen doornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0, waarbij = 1, 2, . . . ^

en dpp' een determinant is van de g'-lt;ïe orde en 0.

Steeds kan de vergelijking van een gekozen ster door één der q grootheden d^^' {fi' constant) gedeeld worden, zodat in elkenbsp;ster-vergelijking q — 1 grootheden dpp' overblijven. Voor de qnbsp;sterren dus q {q — 1).

Ten slotte moet, om /,, te verkrijgen, het aantal niet-homogene constanten nog verminderd worden met — 1, daar op de parameters la een transformatie kan worden toegepast zonder dat denbsp;variëteit V daardoor verandert. Dit laatste wordt algebraïschnbsp;verantwoord door het feit dat de vergelijkingen lad^p'Xap = 0nbsp;vervangen mogen worden door laCaa'dpp'Xap = 0, waarbijnbsp;a' = \, 2, ... p; Caa' is een determinant met p^ homogene factoren,nbsp;dus p^ — 1 niet-homogene constanten.

De einduitkomst luidt dus:

Opmerking: Niet steeds levert de gevonden formule tevens fv, n.m.1. niet in het geval p = q, n = \ , m willek. (gt; 0). Immersnbsp;dan is fs = q^m — q‘^ \, terwijl (|?,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[1]) een variëteit is

bestaande uit qm punten, daar deze variëteit kan worden gebracht in de vorm:

ï-1

Hierin zijn xu graadsvergelijkingen in de homogene punt-coördn. Vq en x.^, dus nu is fv = qni,, in.a.w. fv ^ fs-

33

§ 27 Meetkundige bepaling van ft, twee gevallen [a) en {b)

2) Ook langs meetkundige weg kan de boven gevonden uitkomst verkregen worden. We onderscheiden hier drie gevallen:

(a) Stel —^{n l){n-\-2)...{nP-m) — l gt; p — 1 (het eerste

getal = nbsp;nbsp;nbsp;—1, d.i. het aantal mogelijke V^l’n in [w]), dan

bestaat een ]p-— 1 nbsp;nbsp;nbsp;uit al denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gaande door een vertex

Y(mP)

Vr-p *

Aan de orde komen weer 3 grootheden;

(a) De vrijheidsgraad van de 'V^^’n van de —1 van de variëteit. Daar er q van zulke Vj^^’n zijn is dit getal:

(ot 1) (w 2) . . . (n w)

varië

teiten dus moet er nog p {p — 1) worden afgetrokken).

(/3) De vrijheidsgraad van de ^ variëteiten nbsp;nbsp;nbsp;in de [q—l)-vou-

dige verzameling is q {q — 1).

(y) De vrijheidsgraad van de betrekkingen tussen de ]/gt; — 1 [(»«)’«. Tussen twee ]/gt; — 1 [(”»)’« wordt een betrekking bepaald doornbsp;p^ — 1 niet-homog. grootheden. Is de relatie tussen één ]p — 1 [Wnbsp;en de overige (q—1) ']p—1 [W’w gegeven, dan ook tussen allenbsp;~\P — 1 [W’w onderling, dus de gezochte vrijh. graad is: {q—1) {p^—1).nbsp;Inderdaad geeft (a) — (/S) -f (y) dezelfde uitkomst als stelling 9.

(è) Stellen we nu (m 1) . . . [n m) — 1 = p — 1, dan bestaat een ]/gt; — 1 uit alle nbsp;nbsp;nbsp;in [n], is er dus niet van een

vrijheidsgraad van de vertex van zo’n ]/gt; — 1 [(”*) sprake. Dit klopt met de formule voor (a) die nu nul als uitkomst geeft.

De redenering blijft voor (/3) en (y) ongewijzigd.

34

§ 28 Het derde geval (c); hulpstelling over de vrijheidsgraad van de betrekkingen tussen q t-voudig gedegenereerde sterren

(c) Tenslotte het geval ^ (w 1) (w 2) .. . (n w) — 1 lt; /gt;

Nu hebben de grootheden (a) en (^) geen meetk. betekenis. Bestaat de var. V uit punten, dan zoeken we uit de oo?-i sterrennbsp;'\P — 1 die hem genereren q ']p — l[(”»)’w, die dus gedegenereerd zijn en derhalve een eigenlijke vertex hebben. Nadat wenbsp;dan (a) — (/3) bepaald hebben komt de vraag naar (y) voornbsp;gedegenereerde sterren aan de orde. Om deze grootheid (y) tenbsp;bepalen bewijzen we allereerst de volgende hulpstelling;

Stelling 10. De vrijheidsgraad van de betrekkingen tussen q t-voudig gedegenereerde sterren jp — 1 [(quot;») is

^^^1 nbsp;nbsp;nbsp;(/gt; 1) ¦¦•(/gt; w)— g —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 1,

zo dit getal gt;0 is.

Daar het op de waarde van de dimensie van de werkruimte waarin de q sterren lp — 1 [(”*) gelegen zijn, niet aankomt, wordennbsp;q ]p — 1 [W’w in een [/gt; — 1] beschouwd.

De i-voudig gedegenereerde ster ']p ¦— 1 [(”®) bestaat dan uit de 00^ maal geteldenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;door

een nbsp;nbsp;nbsp;Immers de vertex van een ~\p ¦—-t —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in [p — 1]

heeft de dimensie: p — 1^— [p — t-— 1)^— 1 = t — 1, dus de vertex is een V*quot;*^”^* —

IS een \

Is (A) zo’n ster en (B) de verzameling van alle nbsp;nbsp;nbsp;van de

[p— 1], dus een niet-gedegenereerde ster ]p ¦— 1 [(»»), dan luiden hun vergelijkingen resp.:

h iXt r 4- ?^t 2Xt-\-2 ¦ • • Xpxp = 0 nbsp;nbsp;nbsp;(A).

^lyi ¦ •. hyt h iyt i- h 2yt 2 ... r^pyp = 0 nbsp;nbsp;nbsp;(B).

Hierbij zijn dan Xi en yi graadsvergelijkingen in de p homogene puntcoördn. De betrekkingen tussen deze 2 sterren (A) en (B)nbsp;eisen dat er eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bepaald is in de [p — 1 ] en verder dat er betrekkingen best'’an tussen de twee ]/gt; — t — 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n.m.1. die welke

genoemde nbsp;nbsp;nbsp;als vertex heeft en die welke al de 'V^^l’n van de

eerste vergelijking bevat (A).

35

De vrijheidsgraad van nbsp;nbsp;nbsp;is

{P-t){c;-\)-{p-t){f-t~\)

en van de betrekkingen tussen (A) en de tweede ']p — t — 1 [(«*) ;

{p-tY-\.

iP — t)

m\

Voor q sterren ']p — t—1 [(«») proj. toeg. aan de gekozen ]/gt; — 1 [W (B) is dit aantal -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p [p ^ \) ... [p m) — q.

Daar de tussenschakel voor de proj. toev. relaties, de ]p — 1 [(»» met vergelijking (B), steeds door elke proj. toeg. ster van dezelfdenbsp;soort vervangen kan worden zonder dat de gevonden betrekkingennbsp;veranderen, moet de gevonden vrijh.graad nog met {p^— 1) verminderd worden (de transf. determinant is van de p-lt;^^ orde).nbsp;De einduitkomst luidt dus zoals Stelling 10 aangeeft.nbsp;Bovenstaande redenering kan niet toegepast worden wanneer denbsp;vergelijkingen van de gedegenereerde sterren in het geheel geennbsp;gemeenschappelijke 2’s hebben, b.v. in het geval: q = 2 en 2tgt; pnbsp;(of p — tlt; ty.

h-\-iyt i • • • 2pyp = 0 )

Algemeen kan men zeggen: is het gevonden getal gt; 0, dan is de stelling van toepassing.

Thans keren we terug tot de V = (\p, 5'jW, [w]).

Zoals reeds geconstateerd is zijn voor

^ (n -\- \) {n ~\- 2) ... [n y- m) — 1 lt;.p ¦—¦ 1

al de — 1 gedegenereerd. Hieronder komen dan {p —n — I )-voudig gedegenereerde sterren voor, d.i. alle nbsp;nbsp;nbsp;van de R„

^p-itr-i maal genomen; zo ook {p —w)-voudig gedegenereerde sterren met als vertex een puntental van Rn.

De vertex van een ]p — 1 wordt bepaald door de corresponderende nbsp;nbsp;nbsp;van p ^q — 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van het tweede systeem. Zul-

36

len p zulke Y^l’n in [w] elkaar in een puntental n.m.1. mP, snijden, dan moet worden voldaan aan pmP voorwaarden van de eerste

variëtéiten door het gegeven

puntental gaan, daar er nbsp;nbsp;nbsp;stelsels van Y^l’n zijn (dit alles

indien geldt: nbsp;nbsp;nbsp;lt; C“— 1).

Elk geschikt punten-w^-tal van de Rn is dus vertex van oo sterren, dus ook de q punt-m^-tallen van de Rn die vertex zijn vannbsp;de 5' ]p — 1 [M’n.

Dus i.p.v. de grootheid (a) — {(}) waarvan sprake was bij de /s-bepaling langs algebraïsche weg, komt nu: -—q {q — pmP — 1).nbsp;Hierbij moet dan nog worden opgeteld de uitkomst van stelling 10,nbsp;door hierin voor t de grootheid p —w in te vullen.

Dus vinden we voor /s in het geval (c):

fs = —'q {q — pmP — 1) ^^ p {p nbsp;nbsp;nbsp;¦ [p m) — q —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 1.

§ 29 Het systeem van twee variëteiten Y en W tweevoudig bezien'. W op Y en Y door W

Een algemeen geldende formule waarmee op geheel andere wijze de grootheid van stelling 7.6. gevonden kan worden luidt als volgt:

Stelling 11. fv -p vfw = fw wfv-

Hierin zijn dan V en TE algemene leden van verzamelingen van variëteiten in de Rn. De dimensie van V wordt ondersteld groternbsp;te zijn dan die van TF.

Verder worden de verzamelingen variëteiten van V en TE zodanig ondersteld, dat op elke V minstens één TE gelegen is en dat doornbsp;elke TE minstens één V gaat.

De symbolen hebben dan de volgende betekenis:

fv: de vrijheidsgraad van de variëteiten V in Rn', analoog fw

voor variëteiten TE.

vfw'. „ nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;TE op V.

wfv'. „ nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V door TE.

De bovenstaande gelijkheid is nu onmiddellijk in te zien. Het linker lid van de formule stelt n.m.1. de vrijheidsgraad voor van hetnbsp;systeem, bestaande uit V en TE er op gelegen, het rechter lid idem

37

van een systeem bestaande uit W en een V er doorheen. Beide systemen zijn in (1, l)-correspondentie te brengen door telkensnbsp;dezelfde combinatie van een V met eenzelfde W onder beide opzichten te beschouwen, waarmee de gelijkheid bewezen is.

Met behulp van deze stelling nu en met gebruikmaking van de uitkomst van stelling 9. kan nogmaals de vrijheidsgraad vannbsp;{\P — b W) op V bepaald worden. (Zie st. 7.amp;.).

V = [\p, ^](»«), [«]). Gevraagd de grootheid vfw als W = {\p, q 7jW, W).

U = Plt;1 nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{n 2) . . . [n m) — q — q {q—\) — {f^ — \)

fw = p{q j) ±-, (n-i-l)(n 2) . . . (n m)-q-/-(q j)(q /-l)-(p^-l)

(toep. V. stelling 9.).

= qj (toep. van stelling l.a. waarbij men dan moet letten op de gelijkheden

V={\p.qt\ W) = (1^./,|W W) en

pp _ nv, /7 4- viW Hieruit volgt dan voor vfw het reeds bekende resultaat;

' \^\ (^ ^) (^ 2) . . . (w w) — (5' /)|.

f rfl i nbsp;nbsp;nbsp;1

1

HOOFDSTUK IV

BIRATIONAAL TOEGEVOEGDE VARIËTEITEN; GEDEGENEREERDE VARIËTEITEN; DE GRAAD VAN DE ALGEMENE VARIËTEITnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;W)

§ 30 Uitbreiding van het begrip projectie

Stel een [n'] met hierin een variëteit 0 = [\p, p'\^l\ [w']), waarvan we de vergelijkingen noteren (zie ook § 13.) als:

a =1,2,.../). a' = \ ,2, . . .p'.

Hierin zijn dan lineaire functies in de puntcoördn. van de gegeven [«'].

Tussen de grootheden Zaa' die {pp' — 1) in aantal zijn, moeten dan pp' — 1 —n' betrekkingen bestaan:

Caa'pZaa' = 0 nbsp;nbsp;nbsp;§ = \ , 2, . . . Pf —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\........ (20).

We stellen verder een [n' — /gt;'] in [n'~\ gedefinieerd door de p' lineaire verg-elijkingen in de puntcoördn. van [«']: zxa' = 0.

Om nu de projectie te verkrijgen van de var. 0 vanuit die [w' — /)'] op een [p' ¦—1], moet men de grootheden

a = 2, 3, ... p

a' = 1,2, . . . ^'

uit de vergelijkingen (19) en (20) elimineren.

Indien we nu uitgaan van 0 = {\p, nbsp;nbsp;nbsp;[w']), dus m ^ 1 nemen,

dan krijgen we i.p.v. p' lineaire-, nu p' graadsvergelijkingen in de puntcoördn. van [ w'] : 2:1a' = 0. (De boven vermelde grootheid

1

39

(n' ]) {n' 2) .. . {n' m),

de „projectie” van 0 = {\p, p'\^^\ [«']) vanuit de nbsp;nbsp;nbsp;bepaald

door de p' graadsvergelijkingen zw = 0, blijven noemen. Deze „projectie” gaat dan voor m = 1 over in de algemeen bekendenbsp;definitie van projectie.

§ 31 De ,,projectie” van 0 vanuit een op 0 gelegen variëteit W if, Y ={\p, qli’n), [n-\)

Nu dit begrip „projectie” omschreven is, kan de eerste fundamentele stelling van dit hoofdstuk als volgt worden geformuleerd:

Stelling 12. Op de variëteit 0 = [\p, p'\^^\ [«']) bevinden zich

variëteiten W= [\p—\,p'\^^\ ,,\n'—/gt;']”). De „projectie” van 0 Op een [w] vanuit een „\n' — /gt;']” waarop een 0 is gelegen, is een variëteit V = (1^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[w])

waarbij

1

m\

en p^qlt; p p' — 2 en voor m ^ \ de grootheid n' groot genoeg ondersteld wordt dat de dimensie vannbsp;0^0 is.

,,[n' — p']” betekent hier een nbsp;nbsp;nbsp;in het symbool voor de

var. W duidt het aan dat deze variëteit op zo’n nbsp;nbsp;nbsp;gelegen is.

De dimensie van 0 (stelling 4) is:

n' — {p — 1) ip' — 1) = n' — pp' -f- 1 -Y p ~\- p' — 2.

Nu geldt p p' — 2'gt;qenpp' — ^ nbsp;nbsp;nbsp;“1“ ^ ^) = S'

en dus ook n' — pp' -f- 1 lt; — q. Voor w = 1 is de dimensie van 0 steeds gt;0, en behoeft verder niets van n' te worden ondersteld.nbsp;Voor m ^ 1 is de laatste onderstelling van stelling 12 noodzakelijk.nbsp;Voor het bewijs van de stelling gaan we uit van de vergelijkingennbsp;van 0\

a = \, 2, . . . p ^ ^aa'^a.^0.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 j 3, . . . ^

{Caa'pzaa'=0 ^ =\^2,.. .q=pp'--L (m' 1)(«' 2)... {u'j-m) (20),

d=0,l,...n'.

40

waarin ^aa' = nbsp;nbsp;nbsp;18 daa'S xs.

Hierin zijn de la’s de parameters, de variëteit (P ontstaat immers uit p' projectief toegevoegde ]p — 1 [M’n en bestaat uitnbsp;00^“^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Voor elke vaste a' staan er p w'i® graadsverge-

lijkingen in de puntcoördn. van [«'], dus een ]p — 1 [(»*). Door a' te laten lopen komen er p' sterren — 1 [(”»)

De grootheden Zaa' zijn graadsvergelijkingen in de puntcoördn. van [n'] of elke stelt eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in [n'] voor.

De vrijheidsgraad van Zaa' is dus

_ 1

^n' l nbsp;nbsp;nbsp;^

Daar a en a' variëren tussen 1 en p, resp. tussen 1 en p' en alle grootheden ^aa' met een constante mogen worden vermenigvuldigd zonder dat de variëteit 0 verandert, zijn er pp' — 1 niet-homogenenbsp;grootheden Zaa.'- Tussen de grootheden Zaa.’ moeten er dus

bestaan.

Nu beschouwen we de variëteit: W = [\p — 1, p'\}^\ ,,[w' — /gt;']”); vergelijken we W met 0, dan zien we dat we i.p.v. de grootheid p van 0 nu {p— 1) hebben en dus (stelling l.a.) dat eennbsp;lineaire relatie tussen de parameters la aanwezig is. Deze relatienbsp;is steeds (na eventuele transformatie der parameters) terug tenbsp;brengen tot de relatie; 1^ = 0.

De vergelijkingen van een variëteit W luiden dus;

(21).

41

Van deze variëteiten ’f' liggen er op 0 daar er f parameters fa aanwezig zijn en dusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lineaire betrekkingen hiertussen.

Wegens het eerste stelsel vergelijkingen (21) gecombineerd met f^ = 0 geldt: ^la' = lifa' = 0, dit is een „ruimte”, uitgesnedennbsp;door p'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dus met dimensie n' — p’, m.a.w. een VLTJ? of

een „[n' — p'J’ waarop W gelegen is.

In de vergelijkingen van W komen dus alleen voor 22a', •S’Sa', • • • zpa'. De „projectie” van 0 vanuit deze ,,[n' — p'Y’ op een [m] = \_p' — 1 ]nbsp;in [w'J krijgt men, naar analogie van de algemeen gedefiniëerdenbsp;projectiemethode, door de grootheden 22a', z%a.', . ¦ ¦ zpa' te elimineren uit de vergelijkingen van 0, dus uit de vergelijkingen (19).nbsp;We krijgen dan een resultaat alleen in de grootheden 2ia'. Dezenbsp;noemen we Xa', dus Xa' = 2ia' zijn dan grootheden corresponderendnbsp;met de [w] = [p' — 1] waarop geprojecteerd wordt. Dus

= zia' = lila' en daar 0,

Het eliminatieresultaat, dus de vergelijkingen van de ,,projectie”, luiden nu:

0 of C ,0 f X , = 0

aa p a

Deze vergelijkingen stellen een (lp, q\M, [n = p' — 1]) voor, die algemeen is daar aan de grootheden Caa'p geen beperkingen zijnnbsp;opgelegd. Immers bij vaste p staan er p m-^’^ graadsvergelijkingennbsp;in de coördn. Xq . . . xp', dus een ]/gt; — I [(»») in de [p' —1]. Totaalnbsp;dus q quot;lp — 1 in de [p' — 1], waarmee stelling 12 bewezen is.

§ 32 Birationaal aan elkaar toegevoegde variëteiten Daar nu in (P = {\p, p'\^i^\ [w']), de grootheden p en p' met elkaarnbsp;verwisseld kunnen worden zonder dat de variëteit daardoor verandert — immers voor n' geldt de gelijkheid:

q = pp' — ^ (jj' -j- I j nbsp;nbsp;nbsp;2) . . . {%' m)

welke ook na verwisseling van p en p' onderling, dezelfde blijft — volgt uit de zojuist bewezen stelling 12 dat 0 niet alleennbsp;V = (1^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 ]) als ,,projectie”-resultaat oplevert, maar

ook de variëteit W == nbsp;nbsp;nbsp;[^ —!])¦ Dus geldt de stelling:

42

Stelling 13. De variëteiten

V = (\f, nbsp;nbsp;nbsp;[p' — \]) eri' W = (\p\ ^K»), [p — \])

zijn in een {mP'-^, mP-^)-relatie aan elkaar toegevoegd; p^q en p''^q.

Immers aan elk (w^-i)-tal punten van V wordt een (w^i)-tal punten van W toegevoegd en omgekeerd, dit noemen we eennbsp;w^-i)-relatie. In het bijzondere geval m = 1 luidt ditnbsp;resultaat; Y en W zijn birationaal aan elkaar toegevoegd.

Stelling 13 kan ook direct, zonder dat men de variëteit 0 beschouwt, worden bewezen door n.m.1. uit de vergelijkingen:

Caa'jS la = 0 .................. (22)

de la resp. te elimineren waardoor men V resp. W verkrijgt. Beschouwt men n.m.1. de la’s als coördn. van een [p — 1], dan isnbsp;(22) een stelsel van q vergelijkingen in {|a} dat, daar qgt; p — 1,nbsp;in het algemeen niet een gemeenschappelijke greep {la} zal hebbennbsp;voor willek. Xa'’n; vult men echter voor de vormen Xa' waarden innbsp;die corresponderen met een (w^'-ij-puntental van V, dan krijgtnbsp;men een oplossing van {la} en wel één greep {la} voor elk {mP'-^)-puntental van V.

Er is dus-een correspondentie tussen de punt-(wlgt;'-i)-tallen van V en de grepen {|a} waarvoor het stelsel vergelijkingen (22) eennbsp;oplossing heeft.

Beschouwt men nu de Xa'’n als variërende vormen in een ruimte [p' — 1 ], dan komt men wegens qgt; p' — 1 analoog tot correspondentie tussen de punten van W\ {!„} en telkens {mP-^) grepen

{ Xa'}.

Dus zal in het algemeen met een (w/’-i)-puntental van W één bepaald (w^'-i)-tal punten van V corresponderen en omgekeerd.

§ 33 Nader onderzoek van de correspondentie tussen de variëteiten Y en W in het geval m = 1

We hebben reeds gezien dat in het algemeen met een (w^'-i)-tal punten van V een (w^-i)-tal van W correspondeert en omgekeerd.nbsp;In het geval m = 1 correspondeert met een punt van W één puntnbsp;van V en omgekeerd. Dit geval (dus m = \) kan nog nader onderzocht worden (Room; l.c. p. 49);

43

Stel dat bij de vergelijkingen (22) een greep {|^} aanwezig is zodanig dat in [p' — 1] de [p' — 2]’w:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0 alle door

een [r— 1] gaan, dan correspondeert met het punt {|^} van W de gehele \r — 1 ] op V.

Nu wordt in een [p' — 1] door {p' — r) [p' — 2]’» een [r—1] bepaald. We hebben er hier q dus moeten er [q — p' r) lineairnbsp;onafhankelijke betrekkingen aanwezig zijn tussen denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dus

= 0 nbsp;nbsp;nbsp;y=\.2,...q-p’ r.

Beschouwt men nu het gehele stelsel van q vergelijkingen van W\ Caa'pXa'ia = 0, dan zijn er telkens slechts {p' — r) vergelijkingennbsp;uit te halen die lin. onafh. zijn; vormt men dus uit die q vergelijkingen een determinant van de orde: p'—r \, dan zijn denbsp;elementen ervan coëffn. van afhankelijke vergelijkingen. Dus dezenbsp;determinant is nul of de variëteit van de punten {la} met dezenbsp;eigenschap is een {\q,p'\^^\, [p — 1]), immers:

W={\P',q^!^\ [^-1]) = {\P',qpl, [P-\]) = {\q,p’p\, [^-I]).

Volgens stelling 5 ligt {1°} op een meervoudig op W gelegen meetk. plaats.

Hiermee is bewezen:

Stelling 14. Met een \r — 1] o/) V, die de snij figuur is van corresponderende [p'—2]’n die de'variëteit V voortbrengen, correspondeert een punt van de meervoudig op W gelegen m.p.

o p m e r k i n g 1: In de boven bewezen stelling 12 valt niet zozeer de nadruk op de z.g. ,,projectie” — welke voor m = 1nbsp;overgaat in de bekende definitie van projectie —, als wel op denbsp;relaties die er daardoor tussen de variëteiten 0 en V bestaan.nbsp;Dit blijkt al direct o.a. in de eerste toepassing n.m.1. in stelling 13.

Opmerking 2: Op blz. 39 werd gevonden dat de variëteit W gelegen is op eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bepaald door de p' vergelijkingen

^la' = lila' = 0 a' = 1, 2, . . . ^'

van de graad in de puntcoördn. van de werk-[»'].

Daar we gezien hebben (blz. 40) dat er tussen de pp' grootheden Zaa'

44

lineaire betrekkingen Caa'^ ^aa' = O bestaan, kan men zich afvragen of die vormen zia', dus die p' grootheden Zaa' uit de eerste rij uitnbsp;de matrix Zaa', wel lineair onafhankelijk zijn!

Om dit in te zien moet men bedenken dat (vgl. § 13.) 0 bepaald wordt door de grootheden Zaa' in een matrix p bij p' geplaatst.nbsp;Van deze Zaa', pp' in getal zijn er

^ (m' 1) («' 2) . . . {n' m) ml

lineair onafhankelijk. Daar nu verwisseling van rijen onderling en evenzo van kolommen slechts tekenverandering van de onder-determinanten (van de tweede orde) veroorzaakt, dus de vergelijkingen van 0 onveranderd laat, kan men zorgen, dat de eerstenbsp;p' grootheden Zaa.' van de eerste rij (of eerste kolom) onderlingnbsp;onafh. zijn. (De dimensie van de werkruimte n' kan n.m.1. steedsnbsp;zo gekozen worden dat voldaan is aan de ongelijkheid

^ (w' -b 1) («' 2) . . . [n' -b m)).

In het geval m — 1 treden enkele vereenvoudigingen op.

Zoals we reeds hebben gezien aan de vergelijkingen (20) bestaan

tussen de grootheden Zaa.--nu lineaire vormen in de puntcoördn.

van [w'j — {pp' —n' — 1) relaties Coa’^Zaa' = 0. Men kan nu een punttransformatie toepassen zodanig dat de p' lin. onafh. grootheden Zaa' nu fundamentaal [n' — \ ]’n zijn en, door eventuele verwisseling van rijen onderling en kolommen, bewerken dat de ruimtenbsp;van W, een fundamentaalruimte van het fundamentaalsimplexnbsp;wordt. Nu is het tevens duidelijk dat hier sprake is van projectienbsp;vanuit dat fundamentaalsimplex.

O p m e r,k i n g 3: Wanneer men bepaalde gelijkheden tussen de grootheden p, p' en q aanneemt, blijken bijzondere gevallennbsp;van stelling 12 te voorschijn te komen.

§ 34 De variëteit {\p, p'^}^\ ,,\n' ¦— 1]”) degenereert in de variëteiten W={\p -\,p’\lt;~”\ „\n'-p'r) en X={\p, p' - 1 \!^\ .,[n' — p']quot;)nbsp;Een andere toepassing van stelling 12 wordt gevonden in de gedegenereerde variëteiten en wel in stelling 16 die weer steunt opnbsp;stelling 15 voor het geval m = \ .

45

Stelling 15. Elke „[n' — 1]” door een variëteit W = {\p — 1,

,,[n' — p'^”) op 0 = {\p, p'\x’*\ [w']) snijdt 0 verder in

een variëteit X — {\p,p' — 1,,\n' — ^']”) die W snijdt volgens een variëteit

{\f-hp' nbsp;nbsp;nbsp;-p-p' !]”)•

De variëteiten W en X samen zijn dus aequivalent met een ,,prime”-doorsnede: [\p,p'\''^\ ,,\e' — i]”)

Bewijs; Op blz. 39 is reeds gevonden dat de vergelijkingen van 0 luiden:

iW = la^a' nbsp;nbsp;nbsp;.................

!Caa'^W = 0 nbsp;nbsp;nbsp;^ p 2,’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;................. (20)

waarin Zaa' = X^'^h^daa'hxz. ó = 0, 1, . . . w'.

Nu wordt de gegeven variëteit IPg op 0 uitgesneden door een (n.m.1. door een „[n' — p']”).

Na eventuele verwisseling van rijen en kolommen luiden de vergelijkingen hiervan zia' = 0 (blz. 43, opmerking 2). De vergelijking van eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;door dezenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;luidt Ka' = 0 en deze

variëteit snijdt dus 0 in de meetk. plaats van puntgroepen, welker parameters ia en ia' bovendien voldoen aan Ka' ii ia' = 0, dusnbsp;i-^ — 0, deze voorwaarde levert Ïq.

{Ka'ia' = 0, deze voorwaarde geeft een variëteit X.

(Beide vergelijkingen zijn lineair in ia resp. ia', dit klopt met het feit dat de symbolen van ’F en X in elkaar overgaan door verwisseling van a en a', dus van p en p').

Omgekeerd bepaalt elke variëteit X een lineaire relatie in de ^„'’s en dus ligt elke X met Wq in eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(,,prime”). Na eventuele

transformatie van de parameters ia' luidt de relatie die correspondeert met een bepaalde W: nbsp;nbsp;nbsp;= 0.

De ,,prime” die deze X en 'F bevat is dan % = 0. Beide variëteiten X en W snijden elkaar volgens een variëteit met als vergelijkingennbsp;Zyy' = iyiy' 7 = 2, 3, ... ^; y — 2,2, ... pnbsp;dus volgens een (j^ — \,p' — l|i’”\„[«' — p — p' ^’j, gelegen op eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bepaald door de vergelijkingen

Za\ = 0 en Zla' = 0.

46

§35 De variëteit V = {\p,q\''^\ [n\) is aequivalent met

V'= {\p — \,q—\\{i), [«]) en Vquot; = {\p,q—\\{i), [w—1])

Met behulp van stelling 15 voor het geval m = 1 wordt nu de volgende stelling bewezen, die uitsluitend voor m = 1 geldigheid heeft:

Stelling 16. De variëteit V = {\p, g’jd), [n]) is aequivalent met de variëteiten

V'=(!^— 1. q — 1 W) en\quot;={\p, q—1 |(i), [n—1]), terwijl Vquot; gelegen is in een prime van de ruimte die Y'nbsp;bevat en V' dan snijdt volgens een primedoorsnede.

Om deze eigenschap ¹) te bewijzen denken we ons de variëteiten 0 en W, aan het begin van dit hoofdstuk gedefiniëerd, als volgtnbsp;gesplitst in 0' en 0quot;, resp. W en Wquot;\

[^' 1 - /gt;])

= {\p — 2,p'\^^\ [n' 4- 1 —2^']) op 0' gelegen = [lp —lyp' — 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[n' 4-2 — p — p']) op 0quot; gelegen.

Beide samenstellingen zijn verantwoord wegens stelling 15 voor m — 1 (dan wordt n.m.1. ,,prime”: prime en ,,\n' — /gt;']”: W — P']nbsp;enz.).

Nu projecteren we 0 vanuit W, d.w.z. 0' vanuit W en 0quot; vanuit 0quot;, hierbij stelling 12 voor m = 1 toepassend (hier is dus sprake vannbsp;projecteren in de gewone zin!), die dan schematisch weergegevennbsp;luidt als volgt:

Projectie van 0= {\p,p'\x'^, [w']) vanuit

0= {\p — \^p'j^\ in'—p']) is Y={\p,qf\ [n]).

Nu krijgen we: projectie vanuit 0' [p -^p — I en w' 4- 1 —p', verder bedenkend dat n — p' — 1 en 5' = pp' —w' 1— 1) is

V'= {\p — \, [p—\)p'—n'— \ ^p' — nbsp;nbsp;nbsp;\ [«])

en de projectie van 0quot; vanuit 0”

[p' ^P' — !,«'-gt;«' 4“ 1 — p amp;nn = p' — \ -^n — 1)

is dan

1

Zie Room, l.c. p. 60 e.v.

47

Vquot;= {\p,p{p' — \)—n' — \ p — \W, [n—\]).

Dus; de variëteit 'V = {\p, q\{'^), [«]) is aequivalent met

= (1^-1,9-1 |d), W)

!vquot; = (|/gt;, 9 — 1 [w — 1]). omdat nu immers geldt q = pp' — n' — 1.

De redenering geldt alleen voor m = 1, daar de splitsingen van 0 in 0' = (l/gt;—K 1-^']) en 0quot; = {\p,p'—\\^;^\ in’ \-p])nbsp;door stelling 15 niet gerechtvaardigd is. De stelling zou n.m.1. welnbsp;juist zijn voor 0’ = [\p ¦— 1,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;„[«' 1 —p'^”) en

^quot; = {\p,p'„K 1 -PT)-¹)

§ 36 De snijfiguur van U = [\p, q\{”), [n p — 1]) met een bijzondere nbsp;nbsp;nbsp;1 degenereert in V' en Vquot;

Ten slotte wordt de boven gevonden degeneratie nog van een ander standpunt bezien in de volgende stelling:

Stelling 17. Snijding van de variëteit U — {\p, 9|1quot;‘), \np-p — 1]) door een algemeen gelegennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;levert de variëteit

V= {|^,9llt;”gt;. ..W”)-

Er zijn onder die snijdingen van U met een nbsp;nbsp;nbsp;¹ va

riëteiten die uiteenvallen in

— nbsp;nbsp;nbsp;,,[n — 1]”) en

^quot; = {\p — \,q—\\T'\ „[n]’’)

waarbij Vquot; door V' volgens een ,,prime”-doorsnede wordt gesneden.

Bewijs: Zijn VajS m-^^ graadsvergelijkingen in de [n j-p — 1], dan wordt U gegeven door de vergelijkingen lxag\p-i = 0.

Een bijzondere nbsp;nbsp;nbsp;kan worden gegeven door de vergelijkingen;

Xpi

Tp

1

Ook mag de variëteit {\p, p'\^T'^, [gt;¹']) niet opgevat worden als een bijzonder geval van de variëteit (\p, p'\)T\ nbsp;nbsp;nbsp;waarbij men dan de

Iaat ontaarden, daar dan bij 0 b.v. de variëteiten Zaa! niet onderling zoveel mogelijk onafh. gelegen zijn.

48

Dit zijn dus p — 1 vergelijkingen van de graad in de punt-coördn. van de werk-[« ^— 1],

De snijding van U met deze nbsp;nbsp;nbsp;wordt dus gegeven door de

vergelijkingen;

II I ( nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^11nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^21nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^pX

ll¹.plU=Oen^ = j-=.,. = ^.

Deze m.p. door beide stelsels vergelijkingen voorgesteld, Valt uiteen in een variëteit V', geheel gelegen in denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;met

= 0 en een Vquot; die niet geheel in

ö = 1,2, . . nbsp;nbsp;nbsp;,

_i - - nbsp;nbsp;nbsp;_ o onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IS gelegen m

2, o, ^

%i = X.2X = ¦ ¦ ¦ = xp\ = 0, dus V' == (j/), 5' — 1 |W, „{n — 1]”). De vergelijkingen die Vquot; bepalen, luiden; \\)iaXap.\\p_t = 0, d.i. eennbsp;matrix ^ bij 5' — 1 met als eerste rij ü’s, a = \ ,2, . . p;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 2,3,. . q,

dus Vquot; heeft als symbool {\p — \, q — 1 jW, ,,[«]”).

Het is duidelijk dat V' en Vquot; een variëteit gemeen hebben, die de snijding is van Vquot; met de ,,prime” in de ,,[w]” van Vquot; met vergelijkingen :rai = 0.

Dit resultaat levert voor m = 1 een ander bewijs voor stelling 16.

§ 37 De graad van {\p, q\^P'^, [w])

Naar aanleiding van het ontaardingsverschijnsel komt men tot de vraag naar de graad van de besproken variëteiten, dus van

{\p, nbsp;nbsp;nbsp;W).

Hiervoor geldt de fundamentele eigenschap;

De graad van de variëteit die bepaald wordt doordat men alle determinanten van de orde r -\- \ in een matrix van p rijen en q kolommen, waarin elk element een m-^^ graadsvergelijking is in de puntcoördn.nbsp;van de werkruimte ¹), gelijk nul stelt, is ;

{p-r){g^)(q\ {p q~-r~\,p~r—\}

V / m - nbsp;nbsp;nbsp;((«))

waarbij { a, o } =

(23)

1

de dimensie n doet hier niets ter zake.

49

Dit is dus de graad N van de variëteit {\f, q\y \ {n\) ¹)

Voor m = } vindt men voor de graad van de var. (jp, [n]):

terwijl voor de veelvuldig voorkomende waarde van r, namelijk r = p — 1 het resultaat luidt:

(y) nbsp;nbsp;nbsp;gyaad van {\p,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[«]) = {\p, qf \ [n]).

Deze laatste uitkomst is toe te passen op het resultaat van stelling 16, dat opnieuw als bijzonder geval van stelling 17 gevonden is. Inderdaad geldt dat de graad van V gelijk is aan de som van denbsp;graden van V' en Vquot;, immers:

Volgens een bekende eigenschap uit de combinatieleer geldt inderdaad:

\p

De uitkomst (23) wordt zonder bewijs gegeven door Baker ²) onder verwijzing naar een artikel van Segre ³), waarin dezenbsp;laatste de aandacht wil vestigen op de formule, „die Schubertnbsp;in 1890 gevonden en later als zeker uitgesproken heeft (zonder ernbsp;het bewijs van te publiceren)”.

Opmerking. Met behulp van bovenstaande formules kan de graad van een variëteit bepaald worden, zodra zo’n variëteitnbsp;gegeven wordt door zijn symbool.

Zo hebben we in hoofdstuk I reeds gezien dat de vergelijkingen (5) eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= (|2, 3|fgt;, [3]) voorstellen.

Inderdaad geeft de formule (23) die voor dit geval teruggebracht

1

Zie noot blz. 48.

2

*’•') Principles of geometry VI, p. 108—112.

3

C. Segre: Rend. Acc. Lincei 5/9, lOOOj, p. 25.8 ss.

50

wordt tot N

resultaat nbsp;nbsp;nbsp;(In dit geval is r = p

accoladevormen steeds

§ 38 Het bewijs van formule (23) voor het geval r = p — 1 enq — p~\-l Door de volgende redenering kan men voor de variëteitnbsp;{\p, q\i^), [n]) de grootheid N vinden en wel zoals blijken zal voornbsp;het geval q — 'p = \ oi q = pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Straks wordt m 1 onder

steld.)

Zoals bekend, is de dimensie van {\p, 5'|0), [w]) gelijk aan n — qHp — 1 (stelling 2).

Om de graad van deze variëteit in Rn te bepalen moeten we dus snijden met n — {q — ^ 1) lineair onafh. vergelijkingen van denbsp;eerste graad in de coördn. {xq, x^, . . . Xn}-

De variëteit zelf wordt gegeven door een matrix p bij q, waarbij de elementen lineaire functies zijn in de puntcoördn.

De var. {\p, q\y-), [n]) wordt dus bepaald door {q — p 1) determinanten van de orde p gelijk nul gesteld, dus [q — p 1) vergelijkingen van de graad p in { Xq, x^, . . . Xn }•

Deze vergelijkingen hebben echter een variëteit gemeenschappelijk die correspondeert met een matrix phi]p—1, dus p—{p — 1) -f-1 = 2nbsp;vergelijkingen van de graad p — 1 die weer een matrix p — 1nbsp;bij p — 2, dus p — 1 — {p — 2) 1 = 2 vergelijkingen van denbsp;{p—2)'*^® graad gemeen hebben, enz., .... die een matrixnbsp;p — {p — 2) bij p — {p — 1) gemeen hebben dus:

q — pHi vergelijkingen van de p-^lt;^ graad; hiervan moeten worden afgescheiden:

2 vergelijkingen van de [p—l)-lt;ie graad; toegevoegd moeten worden:

2 vergelijkingen van de [p — 2)-de graad; weer afgescheiden moeten worden:

2 vergelijkingen van de {p — 3)'de graad; enz.

..............toegevoegd of afgescheiden worden tenslotte

2 vergelijkingen van de eerste graad.

Op dit stelsel vergelijkingen met den — [q — p H i) lineair onafh.

51

vergelijkingen van de eerste graad die voor de graadbepaling dienen, wordt het theorema van Bézout (Inleiding) toegepast.

Het aantal oplossingen der vergelijkingen, dus de gezochte graad zou dan worden;

pq-p l _ nbsp;nbsp;nbsp;_ 1)2 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ 2)2 _nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ 3)2 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12_

Bedoeld is dat de getallen tussen de haken positief of gelijk nul zijn. Na de nul moet de formule worden afgebroken.

Bovenstaande redenering nu geldt alleen voor het geval q — f = I, omdat we hier in het geval q ^ \ werken met variëteiten vannbsp;verschillende dimensies. Zo zijn we n.m.1. uitgegaan van een matrixnbsp;^ bij q, r = p — 1, dus (stelling 2) de dimensie van die variëteitnbsp;is n — q ^ p ¦— 1.

Daarna kwam er een matrix p h\] p — 1 ter sprake, r = p — I, dus de dimensie van deze variëteit is n — p-\^ [p — 1) — 1 =n — 2.nbsp;Van de verder volgende variëteiten zijn de dimensies alle wel n — 2nbsp;(n.m.1.:

n—(^—1) {p—2) —\-n~{p—2) (/gt;—3) —1;...;w—2 1 —1)),

maar de dimensie van de variëteit waarvan we uit zijn gegaan is n — a p — 1.

Zodra die dimensies verschillen mag bovenstaande redenering niet gebruikt worden. Dit blijkt duidelijk uit het volgende voorbeeld:nbsp;Gevraagd de graad van de gemeenschappelijke meetk. plaats vannbsp;twee Od)’M in R-^. Deze is zoals bekend = 16. Als m.p. krijgen wenbsp;n.m.1. een Ad®!

Nu dezelfde vraag als de beide Od)’w worden opgebouwd door twee Oi^hn: A en B, resp. B en C. Beide OW’n hebben m.a.w. eennbsp;0(2); B gemeen.

De voorgaande redenering zou in dit geval als graad van de door-snijdingskromme geven; 4x4 verminderd met de graad van de gemeenschappelijke meetk. plaats, dus 16 — 2 = 14, terwijl denbsp;uitkomst 4 moet luiden.

In dit voorbeeld moet dan geredeneerd worden als volgt: De gevraagde graad van de doorsnijdingskromme is 4 x 4, verminderd met de graad van de doorsnijdingskromme van B en A {2 X 2),nbsp;idem met die van B en C (2 x 2) en ten slotte nog met de graadnbsp;van de doorsnijdingskromme van B met zich zelf (ook 2x2),

52

welke laatste doorsnijdingskromme men als limiet van twee tot B naderende oppervlakken B' en B” moet ontstaan denken!

Daar nu de dimensie van de oorspronkelijke variëteit n-— q f — I was en die van de andere ter sprake komende variëteiten n~2,nbsp;vervalt het genoemde bezwaar voor q = p \,

Zo hebben we hiermee langs directe weg, (Schubert gaat uit van een eigenschap die Segre aan het begin van het op blz. 49 genoemde artikel vermeldt), uitgaande van de definitie van de graadnbsp;van een variëteit in Rn, bewezen:

Indien q — p == \ , is de graad van de variëteit {\p, nbsp;nbsp;nbsp;[n]) gelijk

aan p^ ¦— {p — 1 )^ (^ — 2)^ — ¦ • ¦ ± 1

Beschouwen we dezelfde variëteit, waarbij nu de elementen van de hem bepalende matrix graadsfuncties der puntcoördn. zijn,nbsp;dan mag, daar hierdoor niets aan de dimensies der betreffendenbsp;variëteiten veranderd wordt, ook hierop weer de stelling van Bézoutnbsp;worden toegepast voor het geval q — p = \. De {\p, q\j^\ [n])nbsp;wordt dus nu bepaald door [q — p j- 1) determinanten van denbsp;orde p gelijk nul gesteld; dit zijn even zoveel vergelijkingen vannbsp;de graad mp in {x^, x^, . . . Xn}. Hiervan moeten worden afgezonderd twee vergelijkingen van de graad m [p — 1), erbij komennbsp;twee vergelijkingen van de graad m (j) — 2) enz.

Voor q — p ~ \ wordt dus het aantal oplossingen, of de gezochte graad,

{mp)^~P ^—{m {p — 1) }^ {m[p — 2)— {m{p — 3) nbsp;nbsp;nbsp;¦. ih rri^.

of na eliminatie van q\

{mp)^ — {p — 1)2 nbsp;nbsp;nbsp;(/) — 2)2 — {p — 3)^ • • • ± ^2.

Thans is dus bewezen;

De graad van de variëteit [\p, q\(.'gt;^), [w]) voor het geval q — p = 1, veordt gegeven door de formule :

m^p^ — {p ¦— 1)2 nbsp;nbsp;nbsp;{p — 2)2

Om te bewijzen dat dit resultaat voor het bijzondere geval q — p = 1, voor de, q\i^), [n]), in overeenstemming is met de form. (23), dient

53

gelijk is aan de uitkomst die (23) geeft voor r'= p — leng — p = 1. Deze laatste grootheid luidt:

nbsp;nbsp;nbsp; jj X I = X Ip [p 1).

Dus moet nog aangetoond worden:

IP {p \) P^ - {p - \f {p -2Y ~ nbsp;nbsp;nbsp;. ±\\

Dit doen we met volledige inductie:

i X 1 X 2 = P.

I X 2 X 3 == 3 = 22 — 12.

-I X 3 X 4 = 6 = 32 —22 12.

Stel dat de te bewijzen formule geldig is voor p = n dus:

(w— 1)2 („ — 2)2 — ... ± 12

Wij tonen aan dat dan de formule ook voor /gt; = w 1 juist is. De geldigheid van de formule is dan voor elke waarde van p bewezen.

Te bew.: {n 1)^— (n — 1)2 —... T 1^ =

Bewijs:

(n 1)2—w2 (m_1)2_. . . ^ 12^

2 '¦' ' 2 Dus geldt voor alle (gehele) waarden van p de gelijkheid:

!/gt; (^ 1) = nbsp;nbsp;nbsp;- 1)' (^ - 2)2 - . . . ± 12.

Daar voor de variëteit (|2, 3j|“', [3]) gegeven door de vergelijkingen (5) aan de voorwaarde q — p = \ wordt voldaan, mag bovenstaandnbsp;resultaat hierop worden toegepast. Inderdaad vindt men p = 2nbsp;substituerend: 2^ni^ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 3m^, een resultaat, dat in hoofdstuk I

zonder formule voor de graad gevonden werd en ook nog door de meest algemene formule (23) op blz. 48 en 49 werd bevestigd.nbsp;Zo ook vinden we rnet de gevonden formule voor de sleutelvariëteit

54

in i?2 (zie § 18), daar p = 2, m = 2, het getal 12, wat klopt, daar de var. üit 12 punten bestaat.

Na achtereenvolgens een formule voor N te hebben bepaald, waarbij werd uitgegaan van [\p,q\^^\ M), daarna van (|/), g'|M, [n]),gd,3.n wenbsp;nu uit van de algemene variëteit {\p, q\^^\ [n]).

Deze variëteit wordt bepaald door een matrix p bij q waarvan alle determinanten van de {r 1)-^® orde gelijk nul zijn. De algemenenbsp;stelling betreffende een hoofddeterminant, in de inleiding besproken,nbsp;leert dat er [p — r) [q — r) lineair onafh. vergelijkingen onder zijn.nbsp;Daar de variëteit dus bepaald wordt door {p — r) {q — r) determinanten van de (r -h 1 )'lt;5® orde gelijk nul gesteld, moet de graad-bepaling geschieden door middel van n — {p — r) {q — r) lin. onafh.nbsp;eerste graadsvergelijkingen in de puntcoördn. {xq, x^, . . . Xn}.nbsp;Daar de elementen van de matrix p bij q, bij de variëteit behorend,nbsp;w-de graadsfuncties in {xq, x-^^, ... Xn} zijn, gaan we dus nu uitnbsp;van {p — r) {q — r) vergelijkingen van de graad m (r 1).

Op dezelfde wijze als in de beide voorafgaande gevallen blijkt dat hiervan moet worden afgescheiden:

een matrix r bij p, rang (r— 1), dus {p — r 1) vergelijkingen van de graad (mr); moet worden toegevoegdnbsp;een matrix r bij {r— 1), rang {r — 2), dus r — r -f- 1 1 = 2nbsp;vergelijkingen van de graad m {r— 1);

weer afgescheiden moeten worden: 2 vergelijkingen van de graad m (r — 2) enz.

De graad van de variëteit zou dan worden:

{m{r -(- 1) }(^-»') (ï-d — [mr)P~^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;— 1)^—m^{r—2)^ •. . i

een formule die, [zoals behoort voor r = p — 1 overgaat in de voor de variëteit {\p,q\(^\ [fi]) gevonden formule (blz. 52).

Om dezelfde reden als in de vorige gevallen, gaat de redenering alleen op voor het geval: {p — r) {q — r) = 2 en p — r 1 =2nbsp;of voor r = p — 1 en q — p = \ dus juist de beide voorwaardennbsp;die het onderzoek beperken tot het gevonden resultaat voor de

var.

Het resultaat van § 36 kan dus aldus worden omschreven: Correcties vermijdend, die nodig zijn om het theorema van Bézoutnbsp;doorgang te doen vinden, vindt men een formule voor de-variëteit

55

met maximale rang van de bijbehorende matrix terwijl bovendien geldt q — p = 1.

Door volledige inductie is aangetoond, dat het gevonden resultaat in overeenstemming is met de in de litteratuur opgegevennbsp;formule (23).

Het is echter de vraag of de boven gevolgde methode voor uitbreiding vatbaar is zodat het bewijs ook geldig is buiten de 2 beperkingen r = p — 1 en5' = ^ l.

Zoals onmiddellijk duidelijk is, — ook uit de formule (23) is het direct te voorspellen —, wordt de te volgen redenering bij schrapping van elk der beide beperkingen veel ingewikkelder.

STELLINGEN

I

In het bewijs van de eigenschap dat de projectie van een variëteit 0 =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[w']) vanuit een erop gelegen variëteit

0= [\p — nbsp;nbsp;nbsp;[n' — p']) de variëteit V = {\p,q'\^^\ \n]) is,

waarbij geldt q = pp' —n' ¦— \, n = p' — 1 en p'^q^p p' — 2, wordt gebruik gemaakt van het feit dat de p' grootheden zia' = 0nbsp;onderling lin. onafh. zijn.

Dit dient nader aangetoond te worden.

T. G. Roo.m, The geometry of determinantal loei, Cambridge 1938, p. 48.

II

De samenhang tussen de cf. (16g) van Kummer in en de uitbreiding hiervan: de cf. (6428) ™ door middel van diagrammen, is nog beter in te zien door het door Barrau gegeven diagram vannbsp;de cf. (lög) te vervangen door een zo algemeen mogelijk schema.

J. A. Barrau, Bijdragen tot de theorie der configuraties, academisch proefschrift, Amsterdam 1907, p, 71 en 96.

III

Bij het voorbereidend hoger onderwijs wordt in het algemeen onvoldoende de aandacht gevestigd op de wet; vèrdeling van de inhoud van een lichaam veroorzaakt vergroting van het relatievenbsp;oppervlak. Dit geschiedt ondanks het feit dat zeer veel toepassingennbsp;van deze wet te vinden zijn in de levende en levenloze natuur.nbsp;J. MIEDEMA

IV

Het quadraat van elk (geheel) getal, dat zelf de som is van zes quadraten, is op minstens vier manieren te schrijven als de som,nbsp;van vier quadraten. Dit geldt voorwaardelijk.

D. N. Lelyveld, Afbeelding van bewegingen om een punt in R^, en R^, diss. Utrecht 1943, p. 13.

V

Het quadraat van elk (geheel) getal, dat zelf de som is van acht quadraten, is op minstens acht manieren te schrijven als de somnbsp;van vier quadraten. Dit geldt voorwaardelijk.

D. N. Lelyveld, Afbeelding van bewegingen om een punt in R^, R.^ en R^, diss. Utrecht 1943, p. 10.

VI

In veel moderne natuurkundeleerboeken wordt de peervormige ruimte van de max.- en min.thermometer van Six-Bellani beschreven als uitsluitend aether en verz. aetherdamp bevattend. Dit isnbsp;onjuist.

VII

kromme Ki”) om in een Ki^”) waarvan n van zijn oneigenlijke punten richtingen aangeven loodrecht op de richtingen aangewezen doornbsp;de oneigenlijke punten van de Ki”). De overigewoneigenlijke puntennbsp;van de Ki^”) worden verzameld in het oneigenlijke punt van de Y-as.

VIII

Zijn \aij\ en \bij\ twee orthogonale determinanten van de orde (i == 1, 2, . . . w; ƒ = 1,2, ... w), met beide dezelfde waarde 1nbsp;of — 1 dan zijn de determinanten

[KjOLij -j- fi'jbij\ (p (2, f^) en \fijUij -f- nbsp;nbsp;nbsp;= cp [ju, A)

identiek. Deze stelling van Siacci kan eenvoudiger worden bewezen^ dan volgens de methode die Siacci volgt.

G. Kowalewski, Einführung in die Determinantentheorie. Leipzig 1909, p. 164 en 165.

IX

Aan de door von Brieszen en Steube voorgestelde vergelijking tussen radiolamp, photocel én photograptiische plaat, zijn bezwaren verbonden.

Zeitschrift für angewandte Photographic 2, 27, 1940.

X

De eigenschap: de variëteit V = [\p, q\W, [n]) is aequivalent met V' = (1^ — \,q — 11W, [«]) en Vquot; — {\p, q — 1 |W, [n — 1 ]), is nietnbsp;tot de variëteiten met dezelfde notatie en m 1 uit te breidennbsp;door i.p.v. lineaire functies graadsfuncties in de puntcoördn.